高一数学函数的定义域与区间

课 题：
2.1.2函数－区间的概念及求定义域的方法

教学目的：
1．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数
定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法；
2．培养抽象概括能力和分析解决问题的能力；
教学重点：“区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法
教学难点：正确求分式函数、根式函数定义域
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
函数的 三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数
的核心(它规定了x和y之间的某 种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则
相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定 义域和对应法则一经确定，值域
就随之确定
前面我们已经学习了函数的概念，，今天我们来学习区间的概念和记号
二、讲解新课：
1．区间的概念和记号
在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.
设a,b
?
R ,且a①满足不等式a
?
x
?
b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
②满足不等式a③满足不等式a
?
x?
b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示
为[a，b) ,(a，b].
这里的实数a和b叫做相应区间的端点.
在数轴上，这些区间都可以用一条 以a和b为端点的线段来表示，在图中，用
实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间 内的端点：
定 义
{x|a
?
x
?
b}
{x|a{x|a
?
x}
名 称
闭区间
开区间
左闭右开区间
符 号
[a，b]
数 轴 表 示

(a，b)

[a，b]

{x|a?
b
}
左开右闭区间 (a，b)

这样实数集R也可用区间表示为(-
?< br>,+
?
),“
?
”读作“无穷大”，“-
?
”读作< br>“负无穷大”，“+
?
”读作“正无穷大”.还可把满足x
?
a，x> a，x
?
b，x的集合分别表示为[a，+
?
)
，（a，+
?
）,(-
?
,b
]
,(-
?
,b).
注意：书写区间记号时：
①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；
②有两个区间端点，且左端点小于右端点；
③两个端点之间用“，”隔开.
2．求函数定义域的基本方法
我们知道，根据函数 的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定
义域和对应法则（此时值域也往往随着确定） ，不指明这两点是不能算给定了一个函
数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于 用解析式表示函
数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就
是能使这个式子有意义的所有实数x的集合.有这个约定，我们在用解析式给出函数
的对应法则的同时 也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出
使式子有意义的所有实数组成的集合.
3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应
法则不同，这样 的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.
4．复合函数：设 f(x)=2x?3，g(x)=x
2
+2，则称 f[g(x)] =2(x
2
+2)?3=2x
2
+1（或g[f(x)]
=(2x?3)
2
+2=4x
2
?12x+11）为复合函数
三、讲解范例：下面举例说明函数定义域的求法.
(x?0)
?
0
f(1)?2;f(?1)?0;f(0)?
?
?
f(x)?
?
例1 已知
(x?0)

?

?
f{f[f(?1)]}?< br>?
?1
?
x?1
(x?0)
?
例2已知f(x)=x
2
?1 g(x)=
解：f[g(x)]=（
x?1
求f[g(x)]
x?1
）
2
?1=x+2
x

例3 求下列函数的定义域：
①
f(x)?4?x?1
②
f(x)?
2
x
2
?3x?4

x?1?2< /p>

③
f(x)?
1
1?
1
1?
1
x
④
f(x)?
(x?1)
0
x?x

⑤
y?x?2?3?
3
1
3x?7

解：①要使函数有意义，必须：
4?x?1
即：
?3?x?3

∴函数
f(x)?
2
4?x
2
?1
的定义域为： [
?3,3
]
?
x
2
?3x?4?0
?
x??4或x??1
?
?
②要使函数有意义，必须：
?

?
x??3且x?1
?
x?1?2?0

?x??3或?3?x??1或x?4

∴定义域为：{ x|
x??3或?3?x??1或x?4
}
?
x?0
?
?
1
?
③要使函数有意义，必须：
?
1??0
?
x
?
?
1?
1?0
1
?
1?
?
x
1
∴函数的定义域为：
{x|x?R且x?0,?1,?}

2
?
x?0
?
?
x??1

?
x ??
1
?
2
?
x?1?0
?
x??1
④要 使函数有意义，必须：
?

?
?

x?x?0
?
?
x?0
∴定义域为：
?
x|x??1或?1?x?0
?

?
?
x?2?3?0
?
x?R
7
⑤要使函数有意义，必须：
?

?
?
x??
?
?
3x?7?0
3
?
77
7
即 x<
?
或 x>
?
∴定义域为：
{x|x??}

33
3

例4 若函数
y?ax
2
?ax?
2
1
的定义域是R，求实数a 的取值范围
a
解：∵定义域是R,∴
ax?ax?
1
?0恒成立，
< br>a
a?0
?
?
1
∴
等价于
?
?0? a?2

??a
2
?4a??0
?
a
?
例5 若函数
y?f(x)
的定义域为[?1，1]，求函数
y?f(x?
定义域
解：要使函数有意义，必须：
11
)?f(x?)
的
44
1
??
5
?1?x??1??x?
??
4
?
?4
?
13
?
?1?x??1
?
??x?
4??
4
∴函数
y?f(x?
3
4
??
3
?x?
3

5
44
4
3
?
?

4
?
11
3
?
)?f(x?)
的定义域为：
?
x|??x?
44
4
?
求用解析式y=f(x)表示的函数的定 义域时，常有以下几种情况：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数
集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都
有意义的实数集合 ；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.
例6 已 知f(x)满足
2f(x)?f(
1
)?3x
，求
f(x)
；
x
∵已知
2f(x)?f(
1
)?3x
①，
x
将①中x换成
1
得
2f(
1
)?f(x) ?
3
②，
x
xx
31
∴
f(x)?2x?
.
xx
例7 设二次函数
f(x)
满 足
f(x?2)?f(2?x)
且
f(x)
=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求
f(x)
的解析式.
①×2-②得
3f(x) ?6x?

解：设
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0),
∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3；
又∵f(x)满足< br>f(x?2)?f(2?x)
且
f(x)
=0的两实根平方和为10，
∴得对称轴x=2且
x
1
?x
2
?(x
1
?x< br>2
)
2
?2x
1
x
2
=10，
2 2
b
b
2
6
?2
且
2
??10
， ∴a=1，b=-4，∴
f(x)?x
2
?4x?3
即
?
2a
a
a
四、练习：
1．设
f(x)
的定义域是[?3，
2
]，求函数
f(x?2)
的定义域
解：要使函数有意义，必须：
?3?
∵
x?2?2
得：
?1?x?2?2

x
≥0 ∴
0?x?2?2

0?x?6?42

∴ 函数
f(x?2)
的定域义为：
x|0?x?6?42

2．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x?1, 求f(x)的解析式
解：设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x?1
??
?
?< br>k
2
?4
?
k?2
1
或 则
?
?
?
b??
?
(k?1)b??1
?
3
?
∴
f(x)?2x?
?
k??2

?
?
b?1
1
或
f(x)??2x?1

3
3．若
f(x?1）?x?2x
,求f(x)
解法一（换元法）：令t=
x?1
则x=t?1, t≥1代入原式有

f(t)?(t?1)?2(t?1)?t?1

∴
f(x)?x?1
（x≥1）
解法二（定义法）：
x?2x?(x?1)
2
?1

∴
f(x?1)?(x?1)
2
?1

2
22
2
x?1
≥1

∴
f(x)?x
2
?1
(x≥1)
五、小结 本节课学习了以下内容：
区间的概念和记号，求函数定义域的基本方法，求解析式的方法，分段函数；
复合函数
六、课后作业：课本第52页习题2.1：6
补充：1 已知：
f(x)
=x?x+3 求： f(x+1), f(
解：f(
2
1
)
x
11
2
1
)=()?+3；
xxx
22
2
f(x+1)=(x+1)?(x+1)+3=x+x+3
2 已知函数
f(x)
=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x) ]，g[f(x)]，g[g(x)].
解：f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15；
f[g(x)]=4g(x)+3=4x+3；
g[f(x)]=[f(x)]=(4x+3)=16x+24x+9；
g[g(x)]=[g(x)]=(x)=x.
3 若
f()?
2224
222
2
1
x
x
求f(x)
1?x
1
11
1
解： 令
t?
则
x?
(t?0) 则
f(t)?
t
?

1
t?1
xt
1?
t
1
∴f(x)= (x?0且x?1)
x?1
七、板书设计（略）
八、课后记：课 题：
1.1集合－集合的概念（2）

教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法
（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
（3）会运用集合的两种常用表示方法
教学重点：集合的表示方法
教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
授课类型：新授课
课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：上节所学集合的有关概念
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素
2、常用数集及记法
（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N，
N?
?
0,1,2,?
?< br>
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N
*
或N
+

，
N
*
?
?
1,2,3,?
?

?1，?2，?
?
（3）整数集：全体整数的集合记作Z ,
Z?
?
0，
?
（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,
Q?
?
所有整数与分数
（5）实数集：全体实数的集合记作R，
R?
?
数轴上所有点所对应的数
?

3、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
a?A

4、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，
或者不在，不能模棱两可
（2）互异性：集合中的元素没有重复
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
5、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q??
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q??
（2）“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写

二、讲解新课： （二）集合的表示方法
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合
例如，由方程
x?1?0
的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}
注：（1）有些集合亦可如下表示：
从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，?，100}
所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，?}
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只
有一个元素
2

2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条
件写在大括号内表示集合的方法
格式：{x∈A| P（x）}
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合
例如，不等式
x?3?2
的 解集可以表示为：
{x?R|x?3?2}
或
{x|x?3?2}

所有直角三角形的集合可以表示为：
{x|x是直角三角形}

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分
如：{直角三角形}；{大于10
4
的实数}
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法
4、何时用列举法？何时用描述法？
⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法 表示，只能用列
举法如：集合
{x,3x?2,5y?x,x?y}

232 2
⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一
列举出来，常用描述 法
如：集合
{(x,y)|y?x?1}
；集合{1000以内的质数}
例 集合
{(x,y)|y?x?1}
与集合
{y|y?x?1}
是 同一个集合吗？
答：不是因为集合
{(x,y)|y?x?1}
是抛物线
y ?x?1
上所有的点构
2
22
22
22
成的集合，集合{y|y?x?1}
=
{y|y?1}
是函数
y?x?1
的所有函数值构成
的数集
（三） 有限集与无限集
1、 有限集：含有有限个元素的集合
2、 无限集：含有无限个元素的集合
3、 空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：
{x?R|x?1?0}

2
三、练习题：
1、用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13}
{x|x?3n?2,n?N且n?5}

②{-2，-4，-6，-8，-10}
{x|x??2n,n?N且n?5}

2、用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数} {1，3，5，15}
②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}
{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}
注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}
③
{(x,y)|
?
?
x?y?2
82
}

{(,?)}

33
?
x?2y?4
④
{x|x? (?1)
n
,n?N}
{-1，1}
⑤
{(x,y)|3x?2y?16,x?N,y?N}
{（0，8）（2，5），（4，2）}
⑥
{(x,y)|x,y分别是4的正整数约数}

{（1，1），（1， 2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），
（4，4）} < br>3、关于x的方程ax＋b=0，当a,b满足条件____时，解集是有限集；当a,b满足
条 件_____时，解集是无限集
4、用描述法表示下列集合：
(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }=
(2) { 0,±
4
3
12
, ±, ±, ±, ??}=
2510
17
四、小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：有限集、 无限集、空集
2．集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记：