乐乐课堂高中数学必修三-高中数学基本初等函数知识框架图
高中导数与函数知识点总结归纳
一、基本概念
1. 导数的定义:
设
x
0
是函数
y?f(x)
定义域的一点,如果自变量
x
在
x
0
处有增量
?x
,则函数值
y
也引起
相应的增量
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
;比值<
br>率;如果极限
lim
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
称为函数
y?f(x)
在点
x
0
到
x
0
??x
之间的平均变化
?
?x?x
f(x
0??x)?f(x
0
)
?y
存在,则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导,并把这个极限叫做
?lim
?x?0
?
x
?x?0
?x
y?f(x)
在
x
0
处的导数。
f
?
x
?
在点
x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0
?f
?
(x
0
)?lim<
br>?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x
2 导数的几何意义:(求函数在某点处的切线方程)
函数
y?f(x
)
在点
x
0
处的导数的几何意义就是曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x))
处的切线的斜率,也就是说,曲
'
线<
br>y?f(x)
在点
P
(x
0
,f(x))
处的切线的
斜率是
f(x
0
)
,切线方程为
y?y
0
?f(x
)(x?x
0
).
'
3.基本常见函数的导数:
n
①
C
?
?0;
(C为常数)
②
x
??
?
?nx
xx
n?1
;
③
(sinx)
?
?cosx
;
④
(cosx)
?
??sinx
;
⑤
(e)
?
?e;
⑥
(a)
?
?alna
;
⑦
?
lnx
?
?
?
xx
11
;
⑧
?
log
a
x
?
?
?log
a
e
.
xx
二、导数的运算
1.导数的四则运算:
法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:
?
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导
数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数,即:
?
?
?f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
fx?gx
?
????
??
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:
(Cf(x))
'
?Cf
'
(x).
(
C
为常数)
法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的
平方:
?
f
?
x
?
?
?
f
??
x
?
g
?
x
?
?f
?
x<
br>?
g
?
?
x
?
g
?
x
?<
br>?0
?
。
?
??
?
2
?
?
g
?
x
?
?
?
g
?
x
?
?
?
2.复合函数的导数
形如
y?f[
?
(x)]
的函数称为复合函数。法则:
f
?
[
?
(x)]?f
?
(
?
)*
?
?
(x)
.
三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
(1)设函数
y?f(x)
在某个区间
(a,b)
可导,
如果
如果
f
'
(x)
?0
,则
f(x)
在
此区间上为增函数;
f
'
(x)?0
,则
f(x)
在此区间上为减函数。
f
'
(x)?0
,则
f(x)
为常函数。 (2)如果在某
区间内恒有
2.函数的极点与极值:当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时,
①如果在
x
0
附近的左侧
f(x)
>0,右
侧
f(x)
<0,那么
f(x
0
)
是极大值;
②
如果在
x
0
附近的左侧
f(x)
<0,右侧
f(x)
>0,那么
f(x
0
)
是极小值.
''
''
3.函数的最值:
一般地,在区间
[a,b]
上
连续的函数
f(x)
在
[a,b]
上必有最大值与最小值。函数
值点
处取得。
f(x)
在区间
[a,b]上的最值
只可能在区间端点及
极
求函数
f(x)
在区间
[a,b]上最值
的一般步骤:①求函数<
br>f(x)
的导数,令导数
f
'
(x)?0
解出方程的跟
f
'
(x),f(x)
的表格,求出极值及
f(a)、f(b)
的
值;③比较端点及极值点处的函数值的大②在区间
[a,b]
列出
x,
小,从
而得出函数的最值。
4.相关结论总结:
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
四、函数的概念
1.函数的概念
①设
A
、
B
是两个非空的数集,如果按照某种对应
法则
f
,对于集合
A
中任何一个数
x
,在集合
B<
br>中都有唯
)叫做集合一确定的数
f(x)
和它对应,那么这样的对应(包括集合
A
,
B
以及
A
到
B
的对应法则
f
f:A?B
.
A
到
B
的一个函数,记作
<
br>②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.
③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.
五、函数的性质
1.函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
定义
性 质 <
br>如果对于属于定义域I内某
个区间上的任意两个自变量
的值x
1
、x<
br>2
,当x< x时,都
12
..
...
有f(x)
..
.........
f(x)在这个区间上是增函数.
...
(1)利用定义
(2)利用已知函数的
图象 判定方法
y
y=f(X)
f(x )
1
f(x )
2
单调性
(3)利用函数图象(在
o
x
1
x
2
x
某
个区间图
象上升为增)
(4)利用复合函数
(1)利用定义
函数的
单调性
如果对于属于定义域I内某
个区间上的任意两个自变量的值x
1
、x
2
,当x< x时,都
12
..
...
有f(x)>f(x),那么就说
12
..
.........
f(x)在这个区间上是减函数.
...
(2)利用已知函数的
y
f(x
)
1
y=f(X)
f(x )
2
单调性
(3)利用函数图
象(在
o
x
1
x
2
x
某个区间图
象下降为减)
(4)利用复合函数
②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,
两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,
减函数减去一个增函数为减函数.
③对于复合函数
y?f[g(x)]
,令
u?g(x)
,若
y?f
(u)
y?f(u)
为减,
为增,
u?g(x)
为增,则
y
y?f[g(x)]
为增;若
u?g(x)
为减,则
y?
f[g(x)]
为增;若
y?f(u)
为增,
u?g(x)
为减,则
y?f[g(x)]
为减;若
y?f(u)
为减,
u?g(x)为增,则
y?f[g(x)]
为减.
(2)打“√”函数
a
f(x)?x?(a?0)
的图像与性质
x
o
x
f(x)
分别在
(??,?a]
、
[a,??)
上为增函数,分别在
[?a,0)
、
(0,a]
上为减函数.
2.最大(小)值(较常用导数求函数最值,类比记忆函数的极值)
①一
般地,设函数
y?f(x)
的定义域为
I
,如果存在实数
M
满足:(1)对于任意的
x?I
,都有
f(x)?M
;
.
(2)存在
x
0
?I
,使得
②一般地,设函数
f(x
0
)?M
.那么,我们称
M
是函数
f(x)
的最大值,记作
f
max
(x)?M
y?f(x)
的定义域为
I
,如果存在实数
m
满足:(1)对于任意的
x?I
,都有
f(x)?m
;
(2)存在
x
0
?I
,使得
f(
x
0
)?m
.那么,我们称
m
是函数
f(x)
的最
小值,记作
f
max
(x)?m
.
3.奇偶性
①定义及判定方法
函数的
定义
性 质
如果对于函数f(x)
定义域内
任意一个x,都有
.
f(-x)=-
......
f(x)
,那么函数f(x)叫做奇函
......
数.
.
函数的
奇偶性
如果对于函数f(x)定义域内
任意一个x,都有
.
f(-
x)=f(x),
.........
那么函数f(x)叫做偶函数.
...
关于原点对称)
(1)利用定义(要先
判断定义域是否关于
原点对称)
(2)利用图象(图象
关于y轴对称)
(1)利用定义(要先
判断定义域是否关于
原点对称)
(2)利用图象(图象
图象 判定方法
②若函数
f(x)
为奇函数
,且在
x?0
处有定义,则
f(0)?0
.
③奇函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数
)
的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.
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