高 中 数 学 函 数 的 凸 凹 性 例 讲

高 中 数 学 函 数 的 凸 凹 性 例 讲

山西忻州五寨一中 摄爱忠





函数凹凸性问题是高考中的一种新题< br>型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学
生的创新能力和潜在的数学素质.





一、凸凹
函数定义：

设函数< br>f
为定义在区间
I
上的函数，若对（
a,
（1）
f(
①掌握增量法解决凹凸曲线问题
②函数的凹凸性定义及图像特征


b
）上任意两点
x
1
、
x
2
，恒有： < br>x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
，则称
f
为（
a,b
）上的下凸函数；
)?
2 2
x?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
（2 ）
f(
1
，则称
f
为（
a,b
）上的上凸函数。
)?
22

二、
凹
凸
函数的几何特征：



1.形状特征








图1（下凸函数） 图2（上凸函数）

下凸函数的形状特征是：
其函数曲线任意两点
A
1
与A
2
之间的部分位于弦
A
1
A
2
的下方;

1

上凸函数的形状特征是：
其函数曲线任意两点
A
1
与
A
2
之间的部分位于弦
A
1
A2
的上方。




2切线斜率特征







图3（下凸函数） 图4（上凸函数）

下凸函数 的切线斜率特征是：
切线的斜率
y?f(x)
随
x
增大而增大； < br>上凸函数的切线斜率特征是：
切线的斜率
y?f(x)
随
x
增 大而减小；
简记为：斜率凹增凸减。

．．．．．．

3增量特征：








图5（下凸函数） 图6（凸函数）
下凸函数的增量特征是：
?y
i
越来越大；
上凸函数的增量特征是：
?y
i
越来越小；
简记为：增量下大上小。

．．．．．．
弄清了上述两类凸函数及其图象的 本质区别和变化的规律，就可准确迅
速、简捷明了地解决有关凸的曲线问题．

三、凸函数与导数的关系
定理1
（可导函数与凹凸函数的等价命题）：
（1） 设
f(x)
为区间
I
上的可导函数,则：
f(x)
为
I
上的下凸函数
?
f
?
(x)
为
I
上的增函数；

2

（2） 设
f(x)< br>为区间
I
上的可导函数,则：
f(x)
为
I
上的上凸 函数
?
f(x)
为
I
上的减函数；

定理2（可导函数与二阶导数的关系）：
（1）设
f(x)
为区 间
I
上的可导函数,则：
f(x)
为
I
上的下凸函数
?
f
??
(x)?0
且
f
??
(x)
不 在
I
上的
任一子区间上恒为零.
（2）设
f(x)
为区间
I
上的可导函数,则：
f(x)
为I上的上凸函数
?
f??
(x)?0
且
f
??
(x)
不在
I
上的
任一子区间上恒为零.
四、函数凹凸性的应用




题型1：图形与图像问题
◇题目：一高为Ｈ满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图7 所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若
鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数
V? f(h)
的大致图象可能是图8中的（ ）．




图7


图8

解：据 四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位
增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关
于ｈ 的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．
练一练：

◇题目：向高为Ｈ的水瓶中注 水，注满为止，如果注水量V与水深ｈ的函数关系的图象如图9所示，那么
水
10
瓶的
中的）
形状是（图

3

（ ）．（1998年全国高考题）


图9 图10
解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量 Δｈ，V
的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选Ｂ．

讲一讲：

◇题目：在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微 机记录后再显示的图象如下图所
示．现给出下面说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快； ②前5分钟温度增加的速度越来越慢；
③5分钟以后温度保持匀速增加； ④5分钟以后温度保持不变．
其中正确的说法是（ ）．
Ａ．①④ Ｂ．②④ Ｃ．②③ Ｄ．①③

解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先上凸后平行直线，即5分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ
相应的增量Δｙ越来越小，而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ．
注：本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1～2
图说画”．
法就反成了“看
练一练：

◇题目：（06重庆 理）如下图所示，单位圆 中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积
的２倍，则函数y=f(x)的图象 是（ ）


4
A
B

C

图17


解：易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=ｘ-sinｘ．由于 ｙ
１
＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，
ｙ
１
的对应增量Δ ｙ不变；而ｙ
２
＝sinｘ是正弦曲线，在［0，π］上是上凸的，在［π，2π］上是下凸的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ
２
对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［ 0，π］上越
来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的f(x) 的变化，在ｘ∈
［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在ｘ∈［π，2π ］上，其增量Δf(x)ｉ则
越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是下凸的 ，后来在［π，2π］上是上凸
的，故选D．
◇题目：（07 江西） 四位好朋友在一次 聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、
杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛 满酒后他们约定：先各自饮杯中
酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则 它们的
大小关系正确的是（ ）


A．h
2
＞h
1
＞h
4
B．h
1
＞h
2
＞h
3
C．h
3
＞h
2
＞h
4
D．h
2
＞h
4
＞h
1
解： 设内空高度为H, 剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次 为V
1
（h）、V
2
（h）、V
3
(h)、
V
4
（h），根据酒杯的形状可知函数V< br>1
（h）、V
2
（h）、V
4
（h） 的图象可为上右
图.


5

因为函数V
1
（h）、V
2
（h）为
下凸
函数, V
1
（h）当h从Ｏ→H，Δh增加一个单位增量， ΔVｉ（ｉ
＝1，2，3，…）增大，则h
1
> 0.5H =h
4
；同理V
2
（h）当h从Ｏ→H，Δh增加一个单位增量，ΔV
ｉ
（ｉ＝1， 2，3，…）增大，则h
2
> 0.5H =h
4
；所以h
1
> h
4
、 h
2
> h
4
；
由V
1
（h）、V
2
（h）图象可知，h 从H→h
2
，ΔV
1
（h）>ΔV
2
（h）,而0.5 V
1
（h）>ΔV
1
（h）,ΔV
2
（h）=0.5 V
2
（h）,则当ΔV
1
（h）=0.5 V
1
（h）时h
1
> h
2
，所以答案为A.

题型2：函数与图像问题

◇题目： 在
y?2,y?log
2
x,y?x,y?cos2x
这四个函数中,当
0?x
1
?x2
时，
x2
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?
恒成立的函数的个数是( ).
22
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】： 运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x
1
,x
2
∈I,且x
1
2
,当f(x)总满足
f(
x
1
? x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?
时,函 数f(x)在区间I上的图象是“上凸”的,由此否定
22
y=2
x
,y=x
2
,y=cos2x，应选B。本小题主要考查函数的凹凸性，试题给出了四个基本初等函数， 要
求考生根据函数的图像研究函数的性质---凸性，对试题中的不等关系式：
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?
，既可以利用函数的图像直观的认识，也可以通过代数式的不等关
22
系来理解 。考查的重点是结合函数的图像准确理解上下凸的含义.
练一练：

◇题目1：（ 05北京卷理13）对于函数
f(x)
定义域中任意的
x
1
,x2
(x
1
?x
2
)
有如下结论：
①
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)f(x
2
)
；

②
f(x
1
?x
2
) ?f(x
1
)?f(x
2
)
；
③
f(x
1
)?f(x
2
)
x?x
2
f(x
1
)? f(x
2
)
?0
； ④
f(
1
)?
.
x
1
?x
2
22
当
f(x)?lgx
时，上述结论中正确结论的序号是 （②③.

6

【分析】：本题把对数的运算（①②）、对数函数的 单调性（③）、对数函数图像的凹凸性（④）等知识
有机的合成为一道多项填空题，若对函数的性质有较 清楚的理解便不会有困难，而靠死记硬背的
考生就会有问题。


看一看

通过以上的例子可以看出在高三复习时，有必要留意以高等数学知识为背景的创新题与信息题，也有
必要让学生了解简单高等数学与初等数学结合的知识，这样既可以达到简化运算、避免易错点的目的，
还可以突破难点，找到规律性的解题途径，更为高等数学的学习打下良好的基础。同时使学生们认识到
知识学的越多、越深入，解决起问题来越有规律性、越简单。从而使他们渴望学习，渴望积累，更进一
步的增加分析问题，解决问题的能力。
◇题目2
：
如下图所示，半径为2的 ⊙Ｍ切直线ＡＢ于Ｏ，射线ＯＣ从ＯＡ出发绕着Ｏ点顺时针旋转到Ｏ
Ｂ．旋转过程中，ＯＣ交⊙Ｍ于Ｐ． 记∠ＰＭＯ为ｘ、弓形ＰｎＯ的面积为Ｓ=ｆ（ｘ），那
么ｆ（ｘ）的图象是图中的
（ ）．

解：易得弓形ＰｎＯ的面积为Ｓ=2（ｘ-sinｘ）．由于ｙ
１
＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ
１
的对应增量Δｙ不变； 而ｙ
２
＝sinｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的， < br>故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ
２
对应的增量Δｙ
ｉ
（ｉ=1， 2，3，…）在［0，π］上越来越小，在
［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时 ，对应的Ｓ的变化，开始时在ｘ∈［0，π］上其

7