高一数学函数测试

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)
一、选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共50分．在每题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中在[1,2]内有零点的是( )
A．f(x)＝3x
2
－4x＋5 B．f(x)＝x
3
－5x－5
C．f(x)＝ln x－3x－6 D．f(x)＝e
x
＋3x－6
【解读】 对于A、B、C中的函数f(1)·f(2)>0，只有D项中f(1)·f(2)<0.故
选D.
【答案】 D
2．下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝2x－1 B．f(x)＝ln x＋2x－6
C．f(x)＝x
2
－4x＋4 D．f(x)＝3
x
－1
【解读】 选项A、B、D中函数都是单调函数，故能用二分法求零点，选
项C中函数具有二重 零根，故不能用二分法求零点，故选C.
【答案】 C
3．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是
( )

【解读】 把y=f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无
交点．故选C.
【答案】 C
4．方程log
3
x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,2) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【解读】 令f(x)＝log
3
x＋x－3，则
2
f(2)＝log
32＋2－3＝log
3
3
<0，
f(3)＝log
3
3＋3－3＝1>0，
∴f(x)的零点在区间(2, 3)内，即方程log
3
x＋x＝3的解所在区间是(2,3)．故选
C.
【答案】 C
5．若函数f(x)＝2ax
2
－x＋1在(0,1)内恰有 一个零点，则a的取值为( )
A．a>0 B．a<0
C．－1【解读】 f(0)＝1，f(1)＝2a，由零点存在性定理得f(0)·f(1) ＝2a<0，∴a<0.
故选B.
【答案】 B
6．下图是函数f(x)的图象， 它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个
区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区 间是( )

A．[-2.1，-1] B．[4.1,5]
C．[1.9,2.3] D．[5,6.1]
【解读】 由图象易知，在[1.9,2.3]内的零点不能用二分法求．故选C.
【答案】 C
7． 某宾馆共有客床100张，各床每晚收费10元时可全部住满，若每晚收费
每提高2元，便减少10张客 床租出，则总收入y(y>0)元与每床每晚收费应提高
x(假设x是2的正整数倍)元的关系式为( )
A．y＝(10＋x)(100－5x)
B．y＝(10＋x)(100－5x)，x∈N
C．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8，…，18
D．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8
【解读】 由题可得总收入y 与x之间的函数关系式为：y＝(10＋x)(100－
5x)，x＝2,4,6,8，…，18.故选 C.
【答案】 C
8．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规 定：
每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月超过8吨，超过部分加倍收费，
某职工某 月缴费20元，则该职工这个月实际用水( )
A．10吨 B．13吨
C．11吨 D．9吨

【解读】 设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8.
则水费y＝16＋2×2(x－8)
＝4x－16＝20，
∴x＝9.故选D.
【答案】 D
9．函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则( )
A．k<0 B．k>0
C．0≤k<1 D．k＝0
【解读】 在同一坐标系中画出y
1< br>＝|x|和y
2
＝－k，若f(x)有两个零点，必
有－k>0，即k<0.故 选A.

【答案】 A
10.

利用一根长6 M的木料，做一个如图的矩形窗框(包括中间两条横档)，则窗
框的高和宽的比值为多少时透过的光线最 多(即矩形窗框围成的面积最大)( )
A．1.5 B．2
C．0.5 D．1
【解读】 设窗框的宽为x，高为h，
则2h＋4x＝6，
即h＋2x＝3，∴h＝3－2x，
∴矩形窗框围成的面积
S＝x(3－2x)
3
＝－2x
2
＋3x(02
)，
33
当x＝－＝
4
＝0.75时，
2×(－2)
S有最大值．
∴h＝3－2x＝1.5，
∴高与宽之比为2.故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题
中横线上) 11．函数f(x)＝(x
2
－2)(x
2
－3x＋2)的零点为___ _____．
【解读】 由f(x)＝(x
2
－2)(x
2
－3x＋2)＝0得

x＝±2或x＝1或x＝2.
∴函数f(x)的零点为－2，1，2，2.
【答案】 －2，1，2，2
12．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1
，x
2
，…，x
2 009
，则x
1
＋x
2
＋…＋x
2 009
＝________.
【解读】 定义在R上的奇函数f(x)必有f(0)＝0，则 x
1
，x
2
，…，x
2 009
中
必有一个是0，其余的2 008个零点分别在x轴上，关于坐标原点两两对称．
【答案】 0
13．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知 该
商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为
_______ _元．
【解读】 设该商品每个涨价x元时，利润为y元，则y＝(10＋x)(400－20x)< br>＝－20(x－5)
2
＋4 500,0≤x<20.
当x＝5时，y取最大值4 500.
【答案】 95
14．函数y＝x
2
与函数y＝2ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的是________．
【答案】 y＝x
2
< br>三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤)
15．(12分)若函数y＝ax
2
－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．
【解读】 (1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，函数必有一个零点－
1. < br>(2)若a≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax
2
－x－1＝0只有一个实数根，
1
所以Δ＝1＋4a＝0，得a＝－
4
.
1
综上，当a＝0和－
4
时函数只有一个零点．
16．(12分) 设函数f(x)＝ax
2
＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2；
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
【解读】 (1)∵f(x)的两个零点是－3和2，

∴函数图象过点(－3,0)、(2,0)，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②
①－②得b＝a＋8.③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a
2
＋3a＝0.
∵a≠0，a＝－3，∴b＝a＋8＝5.
∴f(x)＝－3x
2
－3x＋18.
13
(2)由(1)得f( x)＝－3x
2
－3x＋18＝－3(x＋
2
)
2
＋
4
＋18，图象的对称轴方程是
1
x＝－
2
，又0≤x≤1， < br>∴f(x)
min
＝f(1)＝12，f(x)
max
＝f(0)＝1 8，
∴函数f(x)的值域是[12,18]．
17．(12分)某公司拟投资100万元 ，有两种获利的可能可供选择：一种是年
利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年 利率9%，按每年
复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种投资
比另一种投资可多得利息多少元？(注：单利是指当年的本金转为下一年初的本
金，复利是指当年的本 金和利息转为下一年初的本金)．
(1.09
5
≈1.538 6)
【解读】 ∵本金为100万元，按单利计算时，
年利率为10%，
5年后的本利和为
100(1＋10%×5)＝150(万元)，
按复利计算，年利率为9%,5年后的本利和为
100(1＋9%)
5
＝1 00×1.09
5
≈153.86(万元)．
由此可见，按年利率9%的复利计算投 资要比年利率10%的单利计算更有利，
5年后多得利息3.86万元．
18．(14分)某 地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度．本年度计划将电
价调至0.55～0.75元之间，经测 算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿
度)与(x－0.4)元成反比例．又当x＝0.65 元时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若每度电的 成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益
将比上年度增加20%？[收益＝用电量 ×(实际电价－成本价)]
【解读】 (1)∵y与x－0.4成反比例，
∴设y＝
k
(k≠0)．
x－0.4
k
，
0.65－0.4
把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝
k＝0.2.
∴y＝
0.21
＝.
x－0.45x－2
即y与x之间的函数关系式为y＝
(2)由题意得
1
.
5x－2
1
??
?
1＋
5x－2< br>?
·(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)
??
整理得x
2
－1.1x＋0.3＝0.
解得x
1
＝0.5或x
2
＝0.6.
经检验x
1
＝0.5或x
2
＝0.6都是方程的根．
因x的取值范围在0.55～0.75之间，
∴x＝0.6，
答：电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.