高中数学函数定义域的求法

函数定义域的求法
函数的定义域是函数三要素之一，是指函数式中自变量的取值范围。 高考中考查函数的
定义域的题目多以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在大题中作为其中一问。以 考查
对数和根号两个知识点居多。
求函数的定义域的基本方法有以下几种：
1、 已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值
范围。一般有以下几种 情况：
? 整式表达式是任意实数；
? 分式中的分母不为零；
? 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
? 奇次方根下的数（或式）是任意实数；
? 零指数幂的底数不等于零；
? 指数式的底数大于零且不等于一；
? 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别 求出满足每一个条件的自变量
的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
例1 函数
y?log
2

2

、求函数f(x)?
2x?1
的定义域为
3?x
x
2
?5x?6
的定义域
x?2
0
（x?3）
3、 求函数y＝
3x?2
＋的定义域
3
2x?3
1、分析：对数式的真数大于零。
解：依题意知：

2x?1
?0

3?x
即
(2x?1)(3?x)?0

解之，得
1
?x?3

2
∴函数的定义域为
?
x|
点评：对数式的真数为
?
?
1
?
?x?3
?
2
?
2x?12x?1
?0
已包，本来需要考虑分母
3?x?0
，但由于
3?x3?x
含
3?x?0
的情况，因此不再列出。
2、抽象函数的定义域的求法。
已知
y?f(x)
的定义域为
?< br>m,n
?
，求
y?f
?
g(x)
?
的定义域 ，可由
m?g(x)?n
解出x
的范围，即为
y?f
?
g( x)
?
的定义域。
例2 （1）已知f(x)的定义域为[-1，1]，求f(2x-1)的定义域。
（2）已知f(2x-1)的定义域为（-1，5］，求函数f(x)的定义域。

（3）已知f(2x-5)的定义域为（-1，5］，求函数f(2-5x)的定义域。
分析：
⑴f(2x-1)要有意义，-1≤2x-1≤1,0≤x≤1，
∴f(x)的定义域为[0，1]
（2）由题知 -1＜x≤5，得-3＜2x-1≤9,
所以，原函数的定义域为｛Xｌ-3＜2x-1≤9｝.
(3)由题意知 -1＜x≤5，所以-3＜2x-1≤9，
7
≤x＜1
5
7
原函数定义域为｛xｌ-≤x＜1｝
5
则-3＜2-5x≤9，所以-
评注 ：已知f(x)的定义域为D，求f[g(x)]的定义域，实质是解不等式g(x)∈D；而已知
f[ g(x)]定义域为D，求f(x)定义域，是根据x∈D，求g(x)的取值范围。此时，一定要注意题
目中给的条件，不要被它造成的假象所迷惑，尤其分清说的是x还是别的。
三、逆向型
即 已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为
R
,求
参 数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例3、已知函数
y?mx
2
?6mx?m?8
的定义域为
R
求实数
m
的取值范围。
2
2
分析：函数的定义域为
R
，表明
mx?6mx?m?8?0
，使一切
x?R
都成立，由
x
项的系数是
m
，所以应分< br>m?0
或
m?0
进行讨论。
解：当
m?0
时，函数的定义域为
R
；
当
m?0
时，
mx?6mx?m?8?0
是二次不等式，其对一切实数
x
都成 立的充要条
2
?
m?0
件是
?

?0?m?1

2
?
??(?6m)?4m(m?8)?0
综上可知
0?m?1
。
评注：不少学生容易忽略
m?0
的情况，希望通过此例解决问题。
练习：已知函数
f(x)?
巩固练习
1、函数
y?
kx? 7
的定义域是
R
，求实数
k
的取值范围。
2
kx ?4kx?3
1
3?2x?x
2
2
的定义域为 。
2、函数y＝
log
1
(x?1)
的定义域是＿＿＿＿。 3、若函数
y?f(2x)
的定义域为
?
1,2
?
，则
f(x)
的定义域为 。
4、若函数
y?f(x)
的定义域为
?
0,1
?
，则
f(x?a)?f(x?a)< br>(其中a?0)
的定义域
为 。