高中数学-求函数解析式的几种常用方法

高中数学-求函数解析式的几种常用方法
函数是高中数学的核心内容，也是学习高等数 学的基础，是数学中最重要的概念之一，
它贯穿中学数学的始终。求函数解析式是函数部分的基础，在高 考试题中多以选择、填空形
式出现，属中低档题目，同学们务必要拿分。下面就向同学们介绍几种求函数 解析式的常用
方法：
[题型一]配凑法
例1.已知f(■+1)=x+2■，求f(x)。
分析：函数的解析式y=f(x)是自变量x 确定y值的关系式，其实质是对应法则f：x→y，
因此解决这类问题的关键是弄清对“x”而言，“y ”是怎样的规律。
解：∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1
(■+11)
∴f(x)=x2-1(x1)
小结：此种解法为配凑法，通过观察 、分析，将右端“x+2■”变为接受对象“■+1”的
表达式，即变为含(■+1)的表达式，这种解 法对变形能力、观察能力有一定的要求。
[题型二]换元法
例2.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)。
分析：视1-cosx为一整体，应用数学的整体化思想，换元即得。
解：设t=1-cosx
∵-1cosx1 ∴01-cosx2 即0t2
∴cosx=1-t
∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t
∴f(t)=-t2+2t(0t2)
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即f(x)=-x2+2x(0x2)
小结：①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g( x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，
由此能解出x=(t)，将x=(t) 代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得
f(x)的解析式。
注意：换元后要确定新元t的取值范围。
②换元法就是通过引入一个或几个新的变量 来替换原来的某些变量的解题方法，它的基
本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转 换，从而达到顺利解题的目的。
常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换 元等，它的应用极
为广泛。
[题型三]待定系数法
例3.设二次函数f( x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点
(0，3)， 求f(x)的解析式。
分析：由于f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可用待定系数法处理。
解：设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)
由f(x+2)=f(2-x)可知，该函数图象关于直线x=2对称
∴-■=2，即b=-4a……①
又图象过点(0，3) ∴c=3……②
由方程f(x)=0的两实根平方和为10，得(-■)2-■=0
即b2-2ac=10a2……③
由①②③解得a=1，b=-4，c=3
∴f(x)=x2-4x+3
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小结：我们只要明确所求函 数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数
即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函 数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数
时，可设f(x)=■(k≠0)； f(x)为二次函数时，根据条件可设
①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
[题型四]消元法
例4.已知函数y=f(x)满足af(x)+bf(■)=cx，其中a、b、c都是非零常数，a≠±b，求
函数y=f(x)的解析式。
分析：求函数y=f(x)的解析式，由已知条件知必须消 去f(■)，不难想到再寻找一个方
程，构成方程组，消去f(■)得f(x)。如何构成呢？充分利用 x和■的倒数关系，用■去替
换已知中的x便可得到另一个方程。
解：在已知等式中，将 x换成■，得af(■)+bf(x)=■，把它与原条件式联立，得
af(x)+bf(■)=cx… …①af(■)+bf(x)=■……②
①×a-②×b得(a2-b2)f(x)=c(ax-■)
∵a≠±b ∴f(x)=■(ax-■)(x≠0)
(周六继续刊登)
有同学通过QQ询问下面的数学题，我们请天津四中的孟黎辉老师来回答。
问1.已知：方程：x 2+ax+a+1=0的两根满足一个条件：一根大于k，一根小于k(k是实数)，
求a的取值范围。 (此题一种方法是图象法，还有一种方法，能告诉这两种方法吗？)
答：方法一：∵f(x)=x2+ax+a+1图象为开口向上的抛物线，因此只需f(k)＜0即可。
∴k2+ak+a+1＜0，即a(k+1)＜-k2-1
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∴当k＞-1时，a＜■；当k＜-1时，a＞■；当k=-1时，a无解。
方法二：(x1-k)(x2-k)＜0△＞0
只需(x1-k)(x2-k)＜0即可，x1x2-k(x1+x2)+k2＜0
即a+1+ka+k2＜0，以下同方法一。
问2.为什么求解时只需求(x1-k)(x2-k)＜0，而不需再求根的判别式是否大于0？
答：法二不需要验判别式，原因可以举个简单例子说明，如：若研究x2+ax+b=0两根满
足：一个 根大于0，一个根小于0，只需x1x2＜0，即：b<0，此时就可以保证△=a2-4b＞0恒
成立 。

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