高中数学函数知识点归纳及常考题型.docx

《函数》知识要点和基本方法
1.
映射定义：设非空集合
A,B,
若对集合
A
中任一元素
a,
在集合
B
中有唯一元素
b
与之对应，则称从八到
B
的对应为 映
射。若集合
A中有
m
个元素，集合
B
中有
n
个元素，则从
A
到
B
可建立
n”
个映射。
2.
函数定义：函数 就是定义在非空数集
A,B
上的映射
f
。此时称数集
A
为函 数
f(x)
的定义域，集合
C={f(x)|xEA}
为值 域，
且
CcBo
3.
定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。
相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。(两点必须同时具备)
4.
求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为
0；②
偶次根式中被开方数不小于
0；
③对数的真数大于
0,
底数大 于零
且不等于
1；
④零指数 幕的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在
y
轴上。
5.
函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。
6.
函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。
7.
函数单调性及证明方法：
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值
X1,X2，
当
X1时,都有
f(X1)< f(X2)(
或
f(Xi)>f(X2))
，那么
? ?
就说
f(x)
在这个区
I'
可上是增函数(或减函数)。
第一步：设
XI
、
X2
是给定区间内的两个任意的值，
H
X
KX2；
第二步：作差
f(X2)-f(xj,
并对“差式”变形,主要方 法是：整式一一分解因式或配方；分式一一通分；根式一
—分子有理化，等)；
第三步：判断差式
f(X2)-f(xJ
的正负号，从而证得其增减性。
&函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增界减原则。
9.
函数的奇偶 性：如果对于函数
f(x)
的定义域内任意一个
x,
都有
f (-X)=f (x)
(或
f (-X)=-f (x)),
那么函数
f(x)
就叫 做偶函数
(或奇函数)。如
f (
X
)=
X
2
+2, f (x) =X
3
-X
等。
10.
定义域关于原点对称是两数具有奇偶性的 必耍条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶 函
数。
11.
判断函数奇偶性的常用形式：
奇函数：
f (-X)=-f (x), f (-x)+f (x)=o(
对数函数),
f
(一
x) =_] (f (x)H0)(
指数函数)；
f(x)
偶函数：
f(-x)=f(x), f(-x)-f(x)=o, f
(一
x)=i(fx)H0)
。
f(x)
12.
①若奇函数
f(x)
在
x=0
处有定义，则
f (0)=0,
常用于待定系数；
② 偶函数
f(x)
满足
f(x)=f(|x|)；
③ 定义域关于原点对称月.函数值恒为
0
的函数既是奇函数又是偶函数。
13.
①奇函数的图象关于原点对称，反之，图象关于原点对称的函数是奇函数；
② 偶函数的图彖关于
y
轴对称，反之，图彖关于
y
轴对称的函数是偶函数；
③ 关于原点对称的区间上，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反。

14.
函数图像变换：
① 平移变换：形如
y
二
f(x+R：
把 函数
y
二
f(x)
的图象沿
x
轴方向向左
(a>0 )
或向右
(a
〈
0)
平移
|a
丨个单位，就得到
y=f

(x+a)
的图彖；形如
y
二
f(x)+ a：
把函数
y
二
f(x)
的图彖沿
y
轴方向向上< br>(a>0)
或向下
(a
〈
0)
平移
|a|
个 单位，就得到
y=f(x)+a
的
图象。
② 对称变换：
y=f (x) -* y=f (-x),
关于
y
轴对称;
y=f (x) -* y=-f (x)
，关于
x
轴对称。
③ 翻折变换:
y
= f(x)->y=f(|x|),
(左折变换)把
y
轴右边的图象保留，然后将
y
轴右边部分关于
y
轴对称
；y=f(x) ->y=|f(x)| (上折变换)把
x
轴上方的图彖保留，
x
轴下方的图彖关于
x< br>轴对称。
15.
反函数：
f Q)
二
bo a
二厂
(b)
。原函数的定义域和值域分别是反函数的值域及定义域。
17
.求反函数的步骤：①求反函数的定义域(即尸
f(x)
的值域)
；
②将
x,y
互换，得
y
二广
(x)；
③将
y=f( x)
看成关于
x
的方
程，解出
x=f
1
(y),
若有两解，要注意解的选择。
互为反函数的图象间的关系：关于直线尸
x
对称；
19.
原函数 与反函数的图彖交点可在直线
y=x
上，也可是关于直线
y=x
对称的两点。
20.
原函数与反函数在对称区间上具有相同的单调性；奇函数的反函数仍为奇函数。
21.
在定义域上单调的函数一定具有反函数；反之，并不成立(如
y
二
1x) o
22.
复合函数的定义域求法：①已知
y
二
f(x)
的定 义域为
A,
求
y=f [g(x)J
的定义域时，可令
g(x)WA,
求得
x
的収值范 围 即
可。②已知
y
二
f[g(x)]
的定义域为
A,
求
y
二
f(x)
的定义域时，可令
xeA,
求得
g (x)
的函数值范围即可。
23.
复合函数
y=f[g(x)]
的值域求法：首先根据定义域求出
u=g(x)
的取值范围
A,
在
u WA
的情况下，求出
y=f (u)
的值域 即
可。
24
?复合函数内层函数与外层函数在定义域内单调性相同，则函数是增函数；单调性不同则函数是减函数。增增、 减 减为
增；增减、减增才减(同增异减)。
①
f (x)
与
f (x)+c (c
为常数)具有相同的单调性；
②
f (x)
与
c ? f (x)
当
c>0
是单调性相同，当
c<0
时具有相反的单调性；
③ 当
f (x)
恒不为
0
时，
f (x)
与
1f (x)
具有相反的单调性；
④ 当
f (x)
恒为非负时，
f (x)
与具有相同的单调性；
⑤ 当
f( x)
、
g(x)
都是增(减)函数时，
f(x)+g(x)
也是增( 减)函数。
⑥ 设
f(x)
、
g(x)
都是增(减)函数，则f(x)?g(x)
当
f (x), g(x)
两者都恒大于
0
时也是增(减)函数，当两者都恒 小于
0
时是
减(增)函数。
25.
二次函数求最值问题：根据抛物线的对称轴与区间关系进行分析。
I
、若顶点的横坐标在给定的区间上，则
a>0
时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
以
0
时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得。
II >
若顶点的横坐标不在给定的区间上，则
a
〉
0
时 ：最小值在离对称轴近的端点处取得，最大值在离对称轴远的端点处取得;

以
0
时：最大值在离对称轴近的端点处取得，最小值在离对称轴远的端点处取得。
26.
一元二次方程实根分布问题解法：
① 将方程的根视为二次函数的图像与
x
轴交点的横坐标；
② 从抛物线开口方向、对称轴、判别式、区间端点函数值等方面分析限制条件。
27.
分式函 数
y
二
(ax+b)(cx+d)
的图像画法：①确定定义域渐近线
x-dc；
②确定值域渐近线
y=ac；
③根据
y
轴上的 交点坐
标确定曲线所在象限位置。
2
&指数运算法则：
Q>0, b>0, m, n
丘
R)
?a-a=a
nB
，
n
；
②吐列； ③(叨壬屮
；
④纟二忙；
⑤(ab)
n
=a
n
-b
n
o
b b”

化为质因数的幕的形式、化根式为分数指数幕、化负指数幕为正指数幕等都是指数运算的常用方法。
29.
对数的定义及对数式及指数式
Z
间的相互转化关系:
二
NO b=logaN(
其中
a>0
且
aHl, N>0)
。
特别地，常用对数(以
10
为底的对数)：
log10
N=lg；
自然对数(以无理数
e~2? 71828
为底的对数
)：log
e
N=lnNo
①负数和零没有 对数；②
1
的对数是零，正数本身的对数是
1
。即
log
a
l=0, log
fI
a=l(a>0
且
aHl)；
③对数恒等式:
a
iogaN
= N
(a>0
且
aHl)
。
30.
对数运算法则：
(1 ) loga (M*N)
=10gaM+10gaN；
⑷
log
a
VM
=丄
log.M
n
'log
b
a
(2) loga(MN)=loguM-log
a
N；
(5)log
a
? M = — log
a
M
；

(8)
廳皿二咚輕(换底公式);
logb
a

(3) logjf-nlogaM；
(6) logi
M
M
”

=

— log
a
M n
(9) logub
#
logba=l；
(10)
log b =

1
o
这里
a>0
且
aHl, b>0
且
bHl,
且
M>0,N>0, m,neN*,n>lo
为基本公式
31
.指数函数、对数函数的图像与性质:
名
定
定义
值
称
义
域
域

指数函数 对数函数
y=a
x
(a>0
且
aHl)
(—8, +8)
(0, +8)

y=log
a
x (a>0
且
aH 1)
(0, +8)
(—8, +8)
a>l
图

象
0

过定点
(0, 1)
a>l
在泄义域内单调递增
在定义域内单调递减

(1,0)
在定义域内单调递增
在定义域内单调递减
单调性
0a>l
函数值的
变化情况
” >l(x>0) e (0,l)(x < 0)

>0(x> 1)
<0(0<0(
兀>
1)
> 0(0 ■
无
底数越大，图象越靠近
X
轴；
底数越小，图象越靠近
y
轴。
0奇偶性
6 (0,1)(
兀 >
0)
y
>l(x<0)
无
在第一象限内，函
底数越大，图象越靠近
y
轴； 底数
数图像与底数关系
越小，图象越靠近
X
轴。
32.
比较两个指数或对数的大小的基本力法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对 数，还
要注意与
1
比较或与
0
比较。

33.
抽彖函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
①f (xi+x
2
)=f (xi)+f (x
2
):
正比例函数
f (x)
二
kx(kHO)；
②
f (xi+x
2
)=f (xi) ? f (x
2
) ； f (xi-x
2
)=f (x))f (x
2
):
指数函数
y=a
x
；
③
f (xi?X2)
二
f (x
】)+
f (x?) ； f (xix
2
)=f (xi)-f (x
2
):
对数函数
y=log
a
x；
④
f (xi*x
2
)=f (xi) ? f(X2) ； f (xix2)=f (xi)f(X2):
幕函数
y=x
a
o

34.
如果
f (a+x) =f (b-x)
成立，则
y=f (x)
图像关于
x=(a+b) 2
对称；特别地,
f (x) = f (-x)
成立,贝
>J y=f (x)
图像关于
y
轴对
称。
如果
f (a+x) =f (b+x)
成立
(aHb),
则
y=f (x)
是周期函数,
21 a-b |
是它的一个周期;
两个函数
y=f (a+x)
和
y
二
f (b-x)
的图象关于直线
x = -
~~对称。
2
35. a>f (x)
恒成立
O a>f (x)
的最大值;
a恒成立
O a的最小值；
a>f (x)tH
有解
U> a>f (x)
的最小值；
a恒有解
u> a的最大值；
a=f (x)
恒有解
O fmin(x) WaWfmax(x) o

【题型
1
】映射与函数的概念问题
映射与函数的概念是学习函数的基础，应予以充分重视。
例
1.
设集合A
和
B
都是坐标平面上的点集
{(x, y)|xeR,
yeR},
映射
f:A
T
B
使集合
A
中的元素< br>(x, y)
映射成集合
B
屮的元素
(x+y,x-y),
则在映射
f
下，
(2,1)
的原彖是(
例
2
.下列各组函数中，是同一函数的是( )
)A. (3, 1) B. ( - , 1 ) C. (-,-1) D. (1,3)
2 2 2 2
B. y=logaX
2
与
y=21oguX
(其中
a>0
且
aHl)
C. y = |x +1|
与
y
二
U(X + 1)
【题型
2
】函数的定义域问题
D. y = (g
与
y = b
艮八(其中
a>0
且
a^l)
1.
己知函数解析式，求函数定义域
例
3
?求下列函数定义域:
(1) y=lg(l~tanx)；
2.
复合函数的定义域
例
4
.若
y
二
f (x+3)
的定义域是[-
5, -2],
则
y
二
f (x+1) +f (xT)
的定义域是 __________ 。
3.
实际问题所确定的函数定义域问题
例
5.—
个圆柱形容器的底面直径为
d cm,
高度为
h cm,
现以每秒
s on'
的速度向容器内注入某种溶液，求容器内 溶液高度
y
与注入时间
t
(秒)的函数关系式及其定义域。
4.
己知函数定义域，求参数的值或范
RI
例
6.
已知函数
y = Jmx，-6mx + m + 8
的定义域是
R,
则实数
m
的取值范围是 ________________ 。
【题型
3]
求函数解析式问题
1.
2.

凑配法 __________________________________________ 例
7
.已知
f(Vx+l) = x + 2Vx ,
则
f(x)
二 。

换元法 以上题为例。
例&如果
f [f (x)]=4x-l,
则整系数一次函数
f (x)
二 _________________
o 3.
待定系数法
4.
消元法 __________________________________________ ___________________________________ 例
9
.
设
f(x)
是定义在
(0, +oo)
上的一个函数，且有
f(x) = 2'(
丄)?娱-
1，
则
f(x)= __________________________________
。
5.
特殊值法 例
10.
设
f (x)
是
R
上的函数, 且满足
f(0)=l,
并且对任意实数
x, y
都有
f(x-y)= f (x)-y (2x-y+l),
则
f(x)
的表达式是 _____________
o
【题型
4
】求函数值问题
例
11
.设定义在
N
上的函数
f(
n
) =
n + l3
(n
- ,则
f(2003)
二 ___________________ 。
f[f(n-18)](n>2000)
2000)

例
12
.设函数
y = f(x) = Jl — (x —1
尸
(OWxWl)
的反函数为
f
1
(x),
则
f-'(l)
的值为
例
13
.已知
f (cosx)=l-sin2x, x(0,—),
则
f (sin2L)= ___________________
。
2 12
【题型
5
】函数值域与最值问题
函数的值域与函数的最值是反映函数值的范 围的两个概念，因而它们之间既有分别又有联系，在初等函数中，求
函数的值域与求函数的最值方法相同。
1.
已知函数解析式，求函数值域(最值)
函数值域是由函数定义域及法则唯一确定的，因此在求函数值域(最值)时，应首先考虑函数定义域。其 方法主要
有：图彖法、配方法、换元法、单调性法、逆求法、判别式法、不等式法、导数法、分离常数法，等等。
例
14
.求下列函数的值域：
2
(1)y = V3x-74-x
2
(2) y =— (x > 3)
x-3
2.
几何最值
例
15
.边长为
a
的正方形
ABCD< br>中，
M
、
N
分别是
AB
、
CD
上的 点，沿眼将梯形
BCNM
翻折，使
B
点落在
AD
上，
问怎 样才能使被折的梯形
BCNM
的面积最小？
3.
函数值域的逆向问题
例
16.
已知函数
f(x)=2+bx + c(bvo)
的值域是
［1, 3］,
求
b, c
之值。
x
2
+1
【题型
6
】函数图象的有关问题
函数图象是函数性质的直观反映，应用十分广泛。
1
?作函数的图象
例
17
.作下列函数的图象：
(1) y=2
xl
-l
2.
利用图象变换求解析式
(2) y=log
2
|x+l |
例
1&
已知函数
f(x)
的图彖沿直线
y
二
-x
向右下方平移
2
血个单位，得到函数
y=lgx
的图象，则< br>f(x)
的解析式为( )
A. f (x)=lg(x+2) +2 B. f (x) =lg(x-2) +2 C. f (x) =lg(x~2)-2 D. f (x) =lg(x+2)-2
3.
函数图象的应用问题
例
19
.方程
j4 + 4x-X?
=上△的实根共有(
x-1
【题型
7
】函数的单调性
)A. 1
个
B.2
个
C. 3
个
D. 4
个
1.
证明函数单调性
例
20.
用定义证明函数
f(
x
) = (l)
x2
~
2x+3
在
［1, +°°)
上是减函数。

例
21
.已知
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，且在
(-co, 0)
上单调递增,判断函数
f(x)
在
(0, +oo)
上的单调性，并证明你的
2.
讨论函数的单调性
例
22
.讨论函数
f(x) = -^-(-l的单调性。
1 _x~
3.
求函数的单调区间
求函数单调区间的常用方法有：图彖法、定义法、复合函数法、导数法等。
例
23.
函数
f(x)=log
2
(-x
2
+2x+8)
的递增区间是 ______________ 。
4.
己知函数单调区间，确定参数取值范围
例
24
.设
f(x) =

^±l
在(-
2,+8)
上为增函数，则实数
a
的取值范圉是 ________________
o
x + 2
5.
函数单调性的应用
函数单调性的应用主要有：比较函数值或代数式的大小；解方程或不等式。
例
25.
设尸
f (x)
是
R
上的单调函数，证明 ：方程
f(x)=O
在
R
上至多有一个实数根。
【题型
8
】函数的奇偶性
1.
判断函数的奇偶性
例
26
.判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x) =lg(4+x) +lg(4-x) (2) f(x) = ?
6
7x'O
1-e~
x
,x<0
2.
已知函数的奇偶性，求参数值
例
27.
已知
f(x) = x
?(丄+町是偶函数，则实数
a
之值为 ______________
o
2
X
-1
3.
已知函数的奇偶性，求函数解析式
例
28.
已知函数
y=f (x)
是定义在
R
上的奇函数，且当
x>0
时，
f (x) =log
2
(x+l),
则当
x<0
时,
f(x)
的解析式是
【题型
9
】函数性质的综合问题
例
29
.已 知
f(x)
是定义在整数集
Z
上的奇函数，且对定义域内的任意
x,
有
f(x)= f(x-l)+f(x+l),
若
f(l)=88,
则
f(2003)= _________ o
例
30
、设函数
f(x)
对于任意的实数
x,y,
都有
f (x+y)=f(x)+f(y),
且
x>0
时，
f(x)<0, f(l)=-2
9
(1)
求证:
f(x)
是奇函数；
(2)
试问：当
XG
[-3, 3]
时，f(x)
是否有最值？若有，求出最值；若没有，说明理由。

【题型
10
】函数的应用问题
应用题的解法一般遵循以下步骤：①阅读理解，认真审题；②引入数 学符号，建立数学模型；③解答数学模型， 求得
结杲；④将结杲转译成实际问题。
例
31
.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为
1
万元辆，出厂价为1.2
万元辆，年销售量为
1000
辆，本
年度为适应市场需求，计划 提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为
x(0则 出厂价相应的
提高比例
0. 75x,
同吋预计销售量增加的比例为
0. 6x,
已知年利润=(出厂价-投入成本)
X
年销售量。
(1)
写出本年度的年利润
y
与投入成本增加的比例
x
的关系式；
(2)
为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例
x
应在什么范围？
题型
11
、函数、方程、不等式三者联系问题
例
33
、设函数
f(x) = 7x
2
+1 -ax ,
其中
a>0
。
(1)
解不等式
f(x)Wl；
(2)
求
a
的取值范围，使函数
f(x)
在区间
［0,+8)
上是单调函数。
例
34
.设
a, b, cWR,< br>且它们的绝对值都不大于
1,
求证：
ab+bc+ca+lM0
。
［练习］
练习
1.
求函数
y
二
x
「2x+l
在
［0,2］
上的值域是 ________
o
练习
2.
已知函数
f (x)
满足
f (cosx-1)
二
cos'x,
则
f (x)
的解析式为 _____________
o
练习
3
.设
xHk
兀
(k E Z),
贝!
J
函数
y = sin
2
x H ----
彳一的最小值是 __________ 。
sin
2
x
4 3
练习
4.
函数
f(x) = x +x
的奇偶性是( )
X + 1
A
?奇函数
B.
偶函数
C.
既奇又偶函数
D.
非奇非偶函数
练习
5.
函数
y=log(,5(xMx+3)
的单调增区间是 __________
o
练习
6.
已知函数
fE -3) = lg-^—,
则函数
f(x)
的定义域是 ____________________
o
x_ -4
练习
7.
函数
y = x + VD
的最小值是 ____________
o
练习&函数
y= X—X_2
的值域是 _______________
o
X
2
+3
X
+

2
练习
9
.对所有的实数
x,
不等式
x
2
log
(a + 1)
4-2x log,—4-logJ
a +
!
)
2
a ' a + 1
>0
恒成立，求实数辺的取值范围。
_
4a
2


［数学思想方法］
1.
数形结合法
例
1.
已知
8>0,
且
3
工
1,
使方程
log
a
( x-ak) = log
a2
(x
2
-a
2
)
有解的实数
k
的取值范围是 __________________
2.
分类讨论思想
例
2.
求函数
y=ax
2
-2x+l (aG R)
在
［T, 1］
上的最值。
。

例
3.
已知函数
f (x)=mx'+(in-3)x+l
的图象与
x
轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数
m
的収值范围 是

。
3.
转化与化归思想
例
4.
已知过原 点
O
的一条直线与函数
y=
的图象交于
A
、
B两点，分别过
A
、
B
作
y
轴的平行线与函数
y =log
2
x
的 图
象交于
C
、
D
两点。
(1)
证明：
C,D
和原点
0
在同一直线上；
(2)
当
BC
平行于
x
轴吋，求点
A
的坐标。
例
5.
定义在
［-2, 2］
上的偶函数
f(x)
在区间
［0, 2］
上单调递减，若
f(l-m)贝
U
实数
m
的取值范围是 __________ 。
4.
对称思想
例
6
.己知
f (x+1)
是偶函数，且当
xWl
时，
f (x)=x
2
+ x,
则当
x>l
时，
f(x)
的解析式为 _______________
o
5.
方程思想
例
7
.函数
f (x)
满足
af(x) + bf(—
x
) = cx(abc 0,a
2
b
2
) ?
则
f (x)
二 ----------------- 。
6.
函数思想
例&若关于
x
的方程
cos
2
x-sinx+a=0
在
(0,
兰］上有解，则实数
a
的収值范围是 _______________ 。
2
7.
方程思想
例
9
.函数
y = 2x + 7x
2
4-x + l
的值域是 _________
o
8.
整体思想
例
10
.设
a>0, b>0
且
aHb,
求函数< br>y=(asin
2
x+bcos
2
x) ? (acos
2
x+bsin
2
x)
何时取得最大值?最大值是多少?
9.
逆反思想
例
11
.已知
f(x)
是定义在
(0,+s)
上的增函数，
f(2)
二
1,
且对任意正数< br>x,y,
都有
f(xy)=f(x)+f(y),
则满足
f(a)+f(a-2)<3
的实
数
8
的取值范围是 _____________________________ 。
例
12
.设函 数
f(x)=4
x
-2
x+l
+l(x>0)
的反函数为厂
(x),
则
f
'⑼二 _______________
o
10.
换元思想
例
13
.若关于
x
的方程4
x
+2
x
-a+a+l=0
有实根，则
a
的 取值范围是 ____________ 。
［强化训练］
1.
已知映射
f: A
T
B,
其中集合
A={-3, -2,-1,0, 1,2,
3,4},
集合
B
中的元素都是
A< br>中元素在映射
f
下的象，且对任意 的
ae
A,
在
B
中的对应元素是
|a|,
则集合
B
中的元素个数是(
A
、
4 B
、
5 C
、
6 D
、
7
2.
设函数
y=f (x)
定义在实数集上，则函数
y=f (x-1)
与函数
y=f (1-x)
的图象关于直线( )对称。
A
、
y
二
0 B
、
x=0 C
、
y=l D
、
x=l

)

3.
已知
f (x)
二
ksinx+ax
且
f (-2) =10,
那么
f (2)=(
A
、
-26 B
、
-18 C
、
18 D
、
10
4.
)
若奇函数
f(x)
在区间
［3, 7］
上
是增函数且最小值 为
5,
那么
f(x)
在
［-7,-3］
上是( )
A
、增函数且最小值为-
5 B
、增函数且最大值为-
5
C
、减函数且最小值为-
5 D
、减函数且最大值为-
5
5.
函数
y =
竺二二的反函数是( )
2
A^
奇函数，它在
(0,+8)
上是减函数
B
、偶函数，它在
(0,+8)
上是减函数
C
、奇函数，它在
(0,+8)
上是增函数
D
、偶函数，它在
(0,+->)
上是增函数
6.
定义 在
(_8,+8)
上的任意函数
f(x)
都可以表示为一个奇函数
g (x)
与一个偶函数
h(x)
之和。如果
f(x)=lg(10
x< br>+l),x
W (-8, 4-00),
那么( )
A. g (x) =x, h (x) =lg (10
x
+10
_x
+2)
B. g(x) = 1 [lg (10
x
2 2
+l)+x], h(x) = l [lg(10
x
+l)-x]
C. g(x) = —, h(x)=lg(10
x
+l)-_

2 2
D. g(x)=-—, h(x)=lg(10
x
2 2
+l)+ —
7.
若函数
y=f (x)
的反函数是
y=g(x), f (a) =b,
abHO,
则
f *b)( )
A. a B. a
1
C. b D. b
1

&若
a>b>l, M = Jlga ? lgb , N = — (lga + lgb)?
2 2
p = ]g
a +
,
贝
9 ( )
A. P9.
设
f(x),g(x)
都是单调函数 ,有如下四个命题：①若
f(x)
单调递增,
g(x)
单调递增,则
f(x)-g(x)
单调递增;②若
f(x)
单调递增，
g(x)
单调递减，则
f (x)-g(x)< br>单调递增;③若
f(x)
单调递减，
g(x)
单调递增,则
f (x)-g(x)
单调递减;
④若
f(x)
单调递减，
g(x)
单调递减，则
f (x)-g(x)
单调递减。则正确的命题是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
10.
设
f(x)
是
(_8,+8)
上的奇 函数，
f(x+2)=-f(x),
当
OWxWl
吋，
f(x)=x,
则
f(7. 5) = ( )
A. 0. 5 B. -0. 5 C. 1. 5 D. -1. 5
11.
方程
sinx=lgx
解的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12.
若
F(x) = (l+
」一)?
f(x),( xHO)
是偶函数，且
f(x)
不恒为零,则 仏)是( )
2
X
-I
A
、奇函数
B
、偶函数
C
、既奇又偶函数
D
、非奇非偶函数
13.
函数
y= ］
_的定义域为 ___________
O
Jlog2_x)
14.
方程
log
2
(x+1)
2
+logi (x+1) =5
的解是 _________ 。
15.
不等式(*)宀
>3
亠的解集是 。

16.
已知函数
f (x) = (x-l) ? (log
3
a)
2
-6x*log
3
a+x+l
在
［0, 1］
上的值恒为正,则实数
a
的取值范围是 _____________
17.
若
loga72则实数
a
的収值范围是 。
18.
设
0y>l,
则
a
x
, a
v
, x
a
, log
n
x, log
n
y
的大小顺序是 _______________________ 。
19.
当
xG
⑵
6)
时，
f(x)
二
IgGx'+kxTZ)
有意义，则实 数
k
的取值范围是 ________________ 。

20.



解关于
x
的不等式
J31og&x-2 < 21og
a
x-l (a>0
且
aHl)
。



21.
已知函数
f(x) =
竺二
1 (a>0
且
aHl)
。

a
x
+1


(1)
求
f(x)
的定义域及值域；
(2)
讨论
f(x)
的奇偶性；
(3)
讨论
f(x)
的单调性。



22.
设
a>0
且
aHl, t>0,
比较
llog
a
t
与
log
a
^
的大小，并证明你的结论。


23.
设计?一幅宣传画，要求画面面积为
4840 cm
2
,
画面的宽与高之比为
X (0画面的上、



右留
5 cm
的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸才能使宣传画所用纸张面积最小？



24.
设二次函数
f (x) =ax
2
+bx+c(a>0),
方程
f (x)-x=0
的两个根
x
b
X2
满足
02
< — o

a


① 当
xW(0, X
】)时，证明:
x


② 设函数
f(x)
的图彖关于直线
x=x °
对称，证明：
xK
鱼。

2








































[自我测试]


1.
函数
y = lo
gl
(x
2
-4x + 12)
的值域为(
)A.
(-汽
3) B. (-8,


-3] C. (-3, +◎

2



2.
设函数
f(
x
)= J
x2 + 1(x<0)
,
则
f [f(l)J
的值是(
)A?1 B.-l C.5 D. -5

x-3(x >0)



3. y = (-)
|I-X|

3

的单调减区
I'
可是(
)A. (-8, 1) B. (1, +8) C. (-oo, -1) U (1, +8)



4.
若
log
；
1
2b
2<0
则(
)A. 0b>l D. b>a>l
5.
集合
P
二
{x|0WxW4}, Q
二
{x|0WyW2},
下列不表示从
? ? ?
P
到
Q
的映射是( )
8 cm
空白，
左、
D. (3,+8)
D.
(一
8,
+oo)

A. f:xTy
冷
x B. f：xTy=|x
C. f:xTy
」
x D. f:x= Vx
6
?下列各组函数是同一函数的是(
?f(x) = V-2x
3

与
g(x) = x-7-2x ；
3
)
②
f(x) = |x|
与
g(x) =
2
④
f (x)
二
x'-2x+l
与
g(t) = (t-l)
e
③
f (x) =x°
与
g(x)=l；
A.①②

B.①③
C.
②④
1
D.③④
I 介 2
7
?下列函数中，值域是
(0,+
00
)
的是
A. y = 7x -3x + l
2
B.
汁越注巧)
+1
D. y = --- ! ---
(x-1)
2

)A. 1
B.11
4
C.-1
8
?设函数
f (x)
是
R
上的偶函数,且当
x>0
时,
f (x)=2_3,
则
f (-2)
等于(

9
?设函数
f(x)
二
+2ax+2
在区间(-汽
4］
上单调递减，那 么实数
a
的取值范围是(
B. a>-4
10
?己知
y =f(x)
存在反函数
y=g(x),
若
f(3)=-l,
则
y
二
g(x+1)
的图象必过点(
A. (-2, 3)

B. (0, 3)
C. (2,-1) D. (4,-1)
函数
y = lgfx
2
+(k + l)x-k + -］
)
11.
的值域为
［0, +8)
的充要条件是(
A--64
-6
或
k20 C. -6WkW0 D. k
二-
6
或
20
的取值范圉是(
12
?对于定义在
R
上的函数心)=-豊+ 口 ,若其所有的函数值不超过
i
A.
(一
3 -4］
27 -1
13. (―)
3
+lg
2
5 + lg2.1g50 = ___________
14.
函数
y=lg(2x
2
-x-3)
的单调递增区间为
15
?设
0则下列图形可能成立的代号为

B. (-8,0］ C. ［—4,+8)
D. (0,+8)

























①
y = lo
為
x
A工
x

16.
如图,
开始时桶
A
中有
a
升水，
t
分钟后剩余的水量符合指数衰减函数
yi
=ae'
n,
(其中
e,n
为常数)，此时桶
B
中的水 量就
是
y
2
=a-ae
nt
0
假设过
5
分钟后桶
A
和桶
B
中的水量相等，则再过 _________________ 分钟，桶
A
? ? 小只有水弓升。
8
17.
已知
f (x+1) =
X
2
+4
X
+3 (x-1) o
⑴求
f(x ),
并指出定义域;
(2)
求
f(x)
的反函数
f
1
(x) o 18
?设定义在
［-2
⑵上的偶函数
f(x)在区间
［0,2］
上单调递减，若
f(l-m)求实数m
的取值范围。

19.
定义在
R
上的奇函数< br>f(x),
当
x>0
时，
f(x) = ^—o
4
X
+1
(I)
用定义证明
f(x)
在
(0,+8)
上的单调性；
(2)
求
111 f (x)
在
R
上的解析式。
20.
已知
lg (7X238) $$ log
、而
2',
求函数
f(x) = log
1
x-log
1
—
的最小值及相应的
x
的值。
2 2
4
21. 某企业实行裁员增效，已知现有员工
201
人，每人每年可创纯收益(已扣工资等
)1
万元，据评估在生产条件不变
条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收
0.01
万元，但每年需付给下岗工人
0.4
万元的生活费，并且企业
? ?????????????????? ??
正常运转所需人数不得少于现有员工的° ,设该企业裁员
4
X
人后年纯收益为
y
万元.
(I )
写出
y
关于
x
的函数关系式，并指出
x
的取值范围 ；
(II)
问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益.
(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁)
22.
已知 定义在
(0,+8)
上的函数
f(x)
同时满足如下三个条件：
①< br>对于任意
x, yW(0,+8),
都有
f (x?y)
二
f (x)+f (y)；
② 当
x>l
时,
f(x)<0；
③
f(3)=-lo
(1)
计算
f(9), f(V3)
的值；
(2)
证明
f(x)
在
(0,+8)
上为减函数；
(3)
设集合
A
二
｛(xo, yo) |f (x
0
2
+l)-f (5y
0
)~2>0,
其中
x
0
, y
o
e (0, +8)｝
与集合
B
二
｛(x°, yo) I f?)+ _L = o,
其中
(0, +
Yo 2
°°)｝
问：是否存在
(xo, yo)
使
xo, yo^AAB?
x
0
, yo^

倒
I
D
妙
|2 C,
创2 ?险刍同乙请怡*
@ 徉
“X触
H
叮卿「沪叙窗豹，刨』,(」
却.
仁
1
化刃).仲?啦+
1
刈〃
：
2
叫列
2
再 倒
B
丄.
创仏
g C*
件％傍必.
创
14 0 H 2g ］
?? g),列
(T,
鳩抨
a
，
化倒
f
化
糾马
?八］，倒
2?
出
㈣
?仙
M
?剑乩-如
(M)
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