高中数学 函数极限的运算规则

函数极限的运算规则
前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特 殊的函数，故函数极
限的运算规则与数列极限的运算规则相似。
⑴、函数极限的运算规则
若已知x→x
0
(或x→∞)时，
则：
.


推论：


在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极
限。
例题：求
解答：
例题：求
此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的 极限不存在.我们通过观察可以发现此分式
的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把 它解出来。
解答：
注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能 运用商的极限
的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。
[来源:]
函数极限的存在准则
学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。

我们先来看一个例子：
例：符号函数为
对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函 数极限是不相同的.为此我们定义了
左、右极限的概念。
定义：如果x仅从左侧(x＜x0
)趋近x
0
时，函数
当时的左极限.记：
与常量A无限接近 ，则称A为函数当
与常量A无限接近，则称A为函数
[来源:]
如果x仅从右侧(x＞ x
0
)趋近x
0
时，函数
时的右极限.记：
注：只有当x→ x
0
时，函数
函数极限的存在准则

的左、右极限存在且相等，方称在x→x
0
时有极限
准则一：对于点 x
0
的某一邻域内的一切x，x
0
点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的 一
切x)有
那末
≤≤，且，
存在，且等于A
[来源:]
注：此准则也就是夹逼准则.
准则二：单调有界的函数必有极限.
注：有极限的函数不一定单调有界
两个重要的极限
一：
...
注：其中e为无理数，它的值为：e=2.7045
二：
注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.
注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.
例题：求

解答：令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞，
则
注：解此类 型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t代换
1x，则t→0.
无穷大量和无穷小量
无穷大量
我们先来看一个例子：
已知函数，当x→ 0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷
大。为此我们可定义如下：设有函数y=，在x=x
0
的去心邻域内有定义，对于任意给定的
正数
N
(一个任意大的数)，总可找 到正数δ，当
时，
记为：
成立，则称函数当时为无穷大量。
（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）
无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时，
同样我们可以给出当x→∞时，
时有定义，对于任意给定的正数
N
( 一个任意大的数)，总可以找到正数
M
，当
成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记 为：
无穷小量
以零为极限的变量称为无穷小量。
定义：设有函数

，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数
(或
当
(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式
M
)，使得对于适合不等式
，则称函数< br>记作：
(或x→∞)时 为无穷小量.
)
注意：无穷大量与无穷小量都是一 个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量
的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无 界，后者有界，前者发散，后者收敛于

0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.
关于无穷小量的两个定理
定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差是当
( 或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。
定理二：无穷小量的有利运算定理
a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；
c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.
无穷小量的比较
通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小. 那么两个无
穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷< br>小量的比较。
定义：设α，β都是
a)：如果
b)：如果
时的无穷小 量，且β在x
0
的去心领域内不为零，
，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；
，则称α和β是同阶无穷小；
c)：如果，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等价)
例：因为
因为
因为
，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小；
，所以当x→0时，x是3x的高阶无穷小；
，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。
[来源: ]
2
等价无穷小的性质
设，且存在，则.
注：这个性质表明：求两个无穷 小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，
因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。
例题：1.求

解答：当x→0时，sin
ax
∽
ax
，tan
bx
∽
bx
，故：
例题： 2.求
解答：
注：
注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一 项，不能只代换
某个因子。
函数的一重要性质——连续性
在自然界中有许多现象， 如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在
函数关系上的反映，就是函数的连续性
在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量
设变量x从它的一个初值x
1
变到终值x
2
，终值与初值的差x
2
-x
1
就叫 做变量x的增量，记
为：
△
x即：
△
x=x
2
-x
1
增量
△
x可正可负.
我们再来看一个例子：函数
变到 x
0
+
△
x时，函数y相应地从

在点x
0
的邻域内有定义，当自变量x在领域内从x
0
变到，其对应的增量为：
这个关系式的几何解释如下图：
现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当
△x趋向于零时，函数y对应的增量
△
y也
趋向于零，即：
函数连续性的定 义：
设函数在点x
0
的某个邻域内有定义，如果有
的连续点.
称函数
，那末就称函数在点x
0
处连续。
在点x
0
处连续，且称x
0
为函数的

下面我们结合着函数左、右极限的概念再 来学习一下函数左、右连续的概念：设函数
在区间(a,b]内有定义，如果左极限
末我们就称 函数
存在且等于
存在且等于，即：=，那
在点b左连续.设函数
，即：=在区间[a,b)内有定义，如果右极限
，那末我们就称函数在点a右连续.
一个函数在 开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a点右连续，b点左连续，
则在闭区间[ a，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。
注：一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不
连续.
注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。
通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了 ，同时我们可以想到若函数在某一点要是
不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的 间断点
函数的间断点
定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点.
它包括三种情形：


a)：
b)：
c)：
在x
0
无定义；
在x→x
0
时无极限；
在x→x
0
时有极限但不等于；
下面我们通过例题来学习一下间断点的类型：
例1： 正切函数在处没有定义，所以点是函数的间断
点，因，我们就称为函数的无穷间断点；
例2： 函数在点x=0处没有定义；故当x→0时，函数值在-1与+1之间变动无
限多次，我们就称点x=0 叫做函数的振荡间断点；

例3：函数当x→0时，左极限，右极限，
从这 我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点x=0是不存在极限。
我们还可以发现 在点x=0时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种间断点称为跳跃间断点；
我们把上述三种间断点用 几何图形表示出来如下:

间断点的分类
我们通常把间断点分成两类：如果x0
是函数
们把x
0
称为函数
可去间断点
若x
0
是函数的间断点，但极限


的间断点，且其左、右 极限都存在，我
的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.
存在 ，那末x
0
是函数的第一类间断点。此
≠。我们令时函数不连续原因是：
，则 可使函数
不存在或者是存在但
在点x
0
处连续，故这种间断点x
0< br>称为可去间断点。