高中数学 基本初等函数

高考数学复习专题
§1.3基本初等函数
1.3.1指数函数
指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果x
n
?a,a?R,x?R,n?1
，且
n?N
?
，那 么
x
叫做
a
的
n
次方根．当
n
n
是奇数时，
a
的
n
次方根用符号
用符号
n
a
表示；当
n
是偶数时，正数
a
的正的
n
次方根
a
表示，负的
n
次方根用符号
?
n
a
表示；0的n
次方根是0；负数
a
没有
n
n
次方根．
② 式子
a
叫做根式，这里
n
叫做根指数，
a
叫做被开方数．当
n
为奇数时，
a
为
n
n
任意实数；当
n< br>为偶数时，
a?0
．
③根式的性质：
(a)?a
；当
n
为奇数时，
n
n
a
n
?a
；当
n为偶数时，
?
a (a?0)
a?|a|?
?
．
?a (a?0)
?
n

（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：
a
的正分数指数幂等于0．
②正数的负< br>m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
?,
且
n?1)
．0
指数幂的意义是：分数
a
?
m
n
1
m
1
?()
n
?
n
()
m
(a?0,m,n?N
?
,
且
n?1)
．0aa
的负分数指数幂没有意
义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质
①
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?R)
②
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?R)

rrr
(ab)?ab(a?0,b?0,r?R)
③


指数函数及其性质
（4）指数函数

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函数
名称
定义
指数函数
函数
y?a
x
(a?0
且
a?1)
叫做指数函数
a?1


y
y?a
x





(0,1)

O

x

0?a?1

y?a
x
y
图象
y?1
y?1
(0,1)

O
R

x
定义
域
值域
过定
点
奇偶
性
单调
性
函数
值的
变化
情况
在
R
上是增函数
(0,??)

图象过定点
(0,1)
，即当
x?0
时，
y?1
．
非奇非偶
在
R
上是减函数
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)
a
x< br>?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
变
化对 图
象的影响


1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:
在第一象限内，
a
越大图象越高；在第二象限内，
a
越大图象越低．
(a?b)?a?b
?1
2
3
?
1
2
1< br>2
1
3
（1）
6
a?b
5
;

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ab?ab
解：（1）原式=
?
1
3
1
2
1
2
1
3
ab
1
6
5
6
?a
111
???
326
?b
115
??
236
?a
0
?b
0
?1.

1
a1
b
()?()
，下列五个关系式：?①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a2 ：已知实数a、b满足等式
23
＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.?其中不可能成立的关系式有 （ ）
A.1个 ? B.2个 ?C.3个 ?D.4个?
解：B??
?
x
2
?x?6
3：求下列函数的单调递增区间：?(2)y=2
解：
（2）令u=x-x-6,则y=
2
2
.?
2
,?
1
2
u
∵二次函数u=x-x-6的对称轴是x=,
在区间［，+∞）上u=x-x-6是增函数.?
又函数y=
2
为增函数，?
x
2
?x?6
12
2
u
∴函数y=2在区间［，+∞）上是增函数.?
1
2
x
2
?x?6
故函数y=2





的单调递增区间是［，+∞）
1
2
1.3.2对数函数

对数与对数运算

（1）对数的定义
①若
a?N(a?0,且a?1)
，则
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
x?log
a
N< br>，其
中
a
叫做底数，
N
叫做真数．
x

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②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：
x?log< br>a
N?a
x
?N(a?0,a?1,N?0)
．

（2）几个重要的对数恒等式
log
a
1?0
，
log< br>a
a?1
，
log
a
a
b
?b
．

（3）常用对数与自然对数
常用对数：
lgN
，即
lo g
10
N
；自然对数：
lnN
，即
log
e
N
（其中
e?2.71828
…）．

（4）对数的运算性质
如果
a?0,a?1,M?0,N?0
，那么
①加法：
loga
M?log
a
N?log
a
(MN)

②减法：
log
a
M?log
a
N?log
a
M< br>
N
③数乘：
nlog
a
M?log
a
M< br>n
(n?R)

④
a
log
a
N
?N

n
⑤log
a
b
M?
n
log
a
M(b?0,n? R)

b
⑥换底公式：
log
a
N?




log
b
N
(b?0,且b?1)

log
b
a
对数函数及其性质
（5）对数函数
函数
名称
定义
图象
对数函数
函数
y?log
a
x(a?0
且
a?1)
叫做对数函数
a?1

0?a?1

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y
x?1

y?log
a
x
y
x?1

O
(1,0)
x
O

y?log
a
x



(1,0)

x



定义
域
值域
过定
点
奇偶
性
单调
性
函数
值的
变化
情况
在
(0,??)
上是增函数
(0,??)

R

图象过定点
(1,0)
，即当
x?1
时，
y?0
．
非奇非偶
在
(0,??)
上是减函数
log
a
x?0(x?1)
log
a
x?0(x?1)
log
a
x? 0(0?x?1)

log
a
x?0(x?1)
log
a< br>x?0(x?1)
log
a
x?0(0?x?1)

a
变
化对
在第一象限内，
a
越大图象越靠低；在第四象限内，
a越大图象越靠高．
图象的
影响
例1 计算：（1）
log
2?3
(2?3)

32
4
（3）
1
lg- lg
8
+lg
23
49
245
.??
解：（1） 利用对数定义求值?
x
-1
1
log(2?3)
333
设 =x,?则(2+)=2-==（2+）,∴x=-1.
2?3
2?3
?
（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245?
= (5lg2-2lg7)-×
lg2
+ (2lg7+lg5)?
1
24
3
3
2
1
2
4
3
1
21
2
1
2

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=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5?
=lg(2×5)= lg10=.??
1
2
1
2
12
5
2
1
2
1
2
1
2
变式训 练1：化简求值.?
（1）log
2
7
48
2
+log< br>2
12-
1
log
2
42-1;?
2
（2）(lg2)+lg2·lg50+lg25;?
（3）(log
3
2+log
9
2)·(log
4
3+log
8
3) .?
解
：
7
48
(1)
42
-log
2
2=log
2
原
7?12
48?42?2
?log
2
1
22
?log
2
2
?
3
2
式
3
??.
2
=log
2
+log
2
12- log
2
?
（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.? < br>2lg2lg3lg33lg25lg35
（3）原式=(
lg
?)·(?)? ·?.

lg32lg32lg23lg22lg36lg24
例2 比较下列各组数的大小.?
（1）log
3
2
与log
5
6
;?（2）log
1.1
0.7与log
1.2
0.7;?
35
（3）已知logb＜loga＜logc,比较2,2,2的大小关系.?
1
2
1
2
1
2
bac
解：（1）∵log
3
2
＜log
3
1=0,?而log
5
6
＞log< br>5
1=0,∴log
3
2
＜log
5
6
.?
3535
(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,?∴0＞
log< br>0.7
1.1?log
0.7
1.2
,?
∴
1log
0.7
1.1
?
1
log
0.7
1.2
,?
即由换底公式可得log
1.1
0.7＜log
1.2
0.7.?
方法二 作出y=log
1.1
x与y=log
1.2
x的图象.?
如图所 示两图象与x=0.7相交可知log
1.1
0.7＜log
1.2
0.7. ?
(3)∵y=
log
1
x
为减函数，且
logb?lo ga?logc
,?
2
1
2
1
2
1
2< br>∴b＞a＞c,而y=2是增函数，∴2＞2＞2.?
xbac
变式训练2：已知0＜ a＜1,b＞1,ab＞1，则log
a
1
,logb,log
1
的 大小
b
ab
b
关系是 （ ）

a
1
?logb?log
b
ab
1

b
B.
logb?log
aa
11
?log
bbb

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C.
logb?log
ab
11
?log
a
bb
D.
log
b
11
?log
a
?log
a
b
bb

解： C
1.3.3
幂函数

（1）幂函数的定义
一般地，函数
y?x
?
叫做幂函数，其中
x
为自变量，
?< br>是常数．
（2）幂函数的图象

















（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限 ，第四象限无图象．幂函数是偶函
数时，图象分布在第一、二象限(图象关于
y
轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三
象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第 一象限．
②过定点：所有的幂函数在
(0,??)
都有定义，并且图象都通过 点
(1,1)
．
③单调性：如果
?
?0
，则幂函数的图 象过原点，并且在
[0,??)
上为增函数．如果
?
?0
，则幂函数 的图象在
(0,??)
上为减函数，在第一象限内，图象无限接近
x
轴与y
轴．
④奇偶性：当
?
为奇数时，幂函数为奇函数，当
?为偶数时，幂函数为偶函数．当
q
?
?
（其中
p,q
互 质，
p
和
q?Z
），若
p
为奇数
q
为奇数 时，则
y?x
p
是奇函数，
p
若
p
为奇数
q
为偶数时，则
y?x
是偶函数，若
p
为偶数
q
为 奇数时，则
y?x
是非奇
非偶函数．
q
p
q
p
q

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⑤图象特征：幂函数
y?x
?
,x?(0,??)
，当
?
?1
时，若
0?x?1
，其图象在直线
y?x下方，若
x?1
，其图象在直线
y?x
上方，当
?
?1
时，若
0?x?1
，其图象在直
线
y?x
上方，若
x?1
，其图象在直线
y?x
下方．
例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
3
1
（1）
y?x
（2）
y?x
2
（3）
y?x
?2

11
（4）
y?x
2
?x
?2
（5）
y?x
2
?x
?
2

11
f(x)?x
2
?3(?x)
4

解：（1）此函数的定义域为R，
?f(?x)?(?x)
3
??x
3
??f(x)

∴此函数为奇函数．
1
（2）
y?x
2
?x

∴此函数的定义域为
[0,??)

?
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数．
（3）
y?x
?2
?
1
x
2

∴此函数的定义域为
(??,0)?(0,??)


?f(?x)?
1
(?x)
2
?
1
x
2
?f(x)

∴此函数为偶函数
（4）
y?x
2
?x?2
?x
2
?
1
x
2

∴此函数的定义域为
(??,0)?(0,??)

?
f(?x)? (?x)
2
?
1
(?x)
2
?x
2
?1
x
2
?f(x)
∴此函数为偶函数
6） （

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（5）
y?x?x
1
2
?
1
2
?x?
1

x
∴此函数的定义域为
[0,??)

?
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数
（6）
f(x)?x?3(?x)?
1
2
1
4
x?3
4
?x

?
x?0

?x?0

?
?
?
?x?0
∴此函数的定义域为
{0}

∴此函数既是奇函数又是偶函数
变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：
（1）
y?x
5
（2）
y?x
?
4
3
（3）
y?x
5
4
（4）
y?x
?
3
5
（5）
y?x
?1
2

分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．
解：（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增．
（2）定义域
(?? ,0)?(0,??)
，值域
(0,??)
，偶函数，在
(??,0)
上单调递增，
在
(0,??)
上单调递减．
（3）定义域
[ 0,??)
，值域
[0,??)
，偶函数，非奇非偶函数，在
[0,??)< br>上单调递增．
（4）定义域
(??,0)?(0,??)
，值域
(? ?,0)?(0,??)
，奇函数，在
(??,0)
上单调递减，
在
(0,??)
上单调递减．
（5）定义域
(0,??)
，值域
(0 ,??)
，非奇非偶函数，在
(0,??)
上单调递减．
例2比较大小：
（1）
1.5
1
2
,1.7
1
2
（2）
(?1.2),(?1.25)
33

?1?1?2
5.25,5.26,5.26
（3）
30.5
0.5,3,log
3
0.5
（4）

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解：（1）∵
y?x
在
[0,??)
上是增函数 ，
1.5?1.7
，∴
1.5?1.7

（2）∵
y?x
3
在
R
上是增函数，
1
2
1
2
1
2
?1.2??1.25
，∴
(?1.2 )
3
?(?1.25)
3

（3）∵
y?x
?1
在
(0,??)
上是减函数，
5.25?5.26
，∴
5.25
?1
?5.26
?1
；
∵
y?5.26
x
是增函数，
?1??2
，
∴
5.26
?1
?5.26
?2
；
?1?1综上，
5.25?5.26
3
?5.26
?2

0 .5
（4）∵
0?0.5?1
，
3?1
，
log
3
0.5?0
，
∴
log
3
0.5?0.5
3
?3
0.5

例3已知幂函数
y?x
m
2
?2m?3
（
m?Z< br>）的图象与
x
轴、
y
轴都无交点，且关于原点
对称，求
m
的值．
分析：幂函数图象与
x
轴、
y
轴都无交点，则 指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函
数为奇函数．结合
m?Z
，便可逐步确定
m
的值．
解：∵幂函数
y?x
m
2
2
? 2m?3
（
m?Z
）的图象与
x
轴、
y
轴都无交点 ，
∴
m?2m?3?0
，∴
?1?m?3
；
∵
m?Z
，∴
(m?2m?3)?Z
，又函数图象关于原点对称，
∴
m?2m?3
是奇数，∴
m?0
或
m?2
．
变式训练3：证明幂函数
f(x)?x
在
[0,??)
上是增函数．
分析：直接根据函数单调性的定义来证明．
证明：设
0?x
1
?x
2
，
1
[来源:Z&xx&]
2
2
1
2< br>
1
则
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
2
?x
2
2
?x
1
?x
2
?
x
1
?x
2

x
1
?x
2
?x
1
?x
2

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?x
1
?x
2
?0

?x
1
?x
2
?0

?f(x
1
)?f(x
2
)?0
即
f(x
1
)?f(x
2
)

?
此函数在
[0,??)
上是增函数