高一数学 函数奇偶性知识点归纳

函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析
函数的奇偶性定义： 1．偶函数：一般地，对于函数
f(x)
的定义域内的任意一个
x
，都有
f(?x)?f(x)
，那么
f(x)
就
叫做偶函数．
2 ．奇函数：一般地，对于函数
f(x)
的定义域的任意一个
x
，都有
f(?x)??f(x)
，那么
f(x)
就
叫做奇函数．
二、函数的奇偶性的几个性质
1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个
x
都必须成立；
3、可逆性：
f(?x)?f(x)
?
f(x)
是偶函数；
f(? x)??f(x)
?
f(x)
奇函数；
4、等价性：
f(?x)? f(x)
?
f(?x)?f(x)?0?f(|x|)?f(x)
；
f(?x )??f(x)
?
f(?x)?f(x)?0
；

5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于
y
轴对称；
6、可分性 ：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇
非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x =0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对
称。
三、关于奇偶函数的图像特征
一般地：
奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y）
偶函数的图像关于
y
轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于
y
轴 对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y）
奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递 增，则在它的对称区间上也是单

调递增。）
偶函数对称区间上的单 调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递
减）。
2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函 数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最
小值－M.
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
五、关于函数奇偶性的简单应用
1、函数的对称性
如果函数
f
(
x
)满足
f
(
a
＋
x
)＝
f(
a
－
x
)或
f
(
x
)＝
f
(2
a
－
x
)，则函数
f
(
x
) 的图象关于直线?______
对称．
一般的，若
f
(
a
＋
x
)＝
f
(
b
－
x
)，则函数
f
(
x
)的对称轴方程是?______.
两个函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
2、函数的周期性
函数的周期性的定义：设函数
y＝
f
(
x
)，
x
∈
D
，若存在非零常 数
T
，使得对任意的
x
∈
D
都有?
_______ _，则函数
a?b
对称.
2
f
(
x
)为周期函 数，
T
为
y
＝
f
(
x
)的一个周期． < br>(1)周期函数：对于函数
y
＝
f
(
x
)，如果存在 一个非零常数
T
，使得当
x
取定义域内的任何值时，都
有
f
(
x
＋
T
)＝
f
(
x
)，那么就 称函数
y
＝
f
(
x
)为周期函数，称
T
为 这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数
f
(
x
)的 所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫
做
f
(
x
) 的最小正周期．
(3)周期函数不一定有最小正周期，若
T
≠0是
f
(
x
)的周期，则
kT
(
k
∈N
＋
)也 一定是
f
(
x
)的周期．
若函数
f
(
x
)对定义域中任意
x
满足
f
(
x
＋
a)＝－
f
(
x
)或
f
(
x
＋
a
)＝－
1
fx
(
a
≠0)，则函数
f
(
x
)是
周期函数，它的一个周期是?________.若
f(x)??f( ?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点
a
(,0)
对称;
2
六、函数的奇偶性的判断
函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数 量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函
数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四 种情况。

判断函数奇偶性的方法：
（1）、利用奇、偶函数的定 义，主要考查
f(?x)
是否与
?f(x)
、
f(x)
相等 ，判断步骤如下：
1、若定义域不对称，则为非奇非偶函数；
若定义 域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系
f(?x)??f(x)
怎
样成立？
若
f(?x)?f(x)
成立，则为偶函数；若
f(?x)??f(x)
成立，则为奇函数；
若
f(?x)??f(x)
成立，则为既是奇函数也是偶函数；若
f(?x)??f(x)
都不成立，则为非奇< br>非偶函数。
2．讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则．
3．由奇偶函数的图象的 对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数
在其
对称区间上的性质．
4．若
T
是
f
(
x
)的一个 周期，则
kT
(
k
≠0，
k
∈Z)也是
f
(
x
)的周期．
5．(1)若函数
f
(
x
)存在 两条平行于
y
轴的对称轴，则函数
f
(
x
)是周期函数；若 函数
f
(
x
)具有
奇偶性，又
有一条平行于
y
轴的对称轴，则函数
f
(
x
)是周期函数．
6．注意函数性质的逆向应用．

（2）、图像法：
f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y）
f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y）
（3）、特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断
函数奇偶性。
（4）、性质法
（5）、函数奇、偶性的运算 ：利用已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交
集不为空集）：
1 )若
f
(
x
)与
g
(
x
)都是奇函数，则 在
f
(
x
)与
g
(
x
)的定义域的公共区 间上，

f
(
x
)＋
g
(
x
)，
f
(
x
)－
g
(
x
)都是奇函数，
f
(
x
)·
g
(
x
)与
fx为偶函数．
gx
2)若
f
(
x
)与
g
(
x
)都是偶函数，则在
f
(
x
)与
g
(
x
)的定义域的公共区间上，

f
(
x
)＋
g
(
x
)，
f
(
x)－
g
(
x
)，
f
(
x
)·
g
(
x
)，
fx
都是偶函数．
gx
3）奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；
4)若
f
(
x
)与
g
(
x
)中一个为奇函数，另一个为偶 函数，则在
f
(
x
)与
g
(
x
)的定义域 的公共区间上，

f
(
x
)·
g
(
x
)，
fx
都为奇函数．
gx
3．若
y
＝
f
(
x
)为奇函数，且
y
＝
f
(
x)在
x
＝0处有意义，则
f
(0)＝0.
性质
1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。
2 、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两
个区间上 单调性相同。
3、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数，则F[x]是偶函数
若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F（x）是奇函数
若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F（x）是偶函数
5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称


案例分析：
考点一、判断函数的奇偶性
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）
f(x)?x

（3）f (x) = x + x +x； （4）f (x) = x +1；

（5）f (x) = x + 1； （6）f (x) = x，x∈[–1，3]；

（7）f (x) = 0.
2
352
2
x
3
?x
2
x?[?1,2]
（2）
f(x)?

x?1

变式训练
1、判断下列函数的是否具有奇偶性：
(1) f (x) = x + x； (2) f (x) = – x；

(3) h (x) = x +1； (4) k (x) =

(5) f (x) = (x + 1) (x – 1)； (6) g (x) = x (x + 1)；

(7) h (x) = x +
3
x
； (8) k (x) =

2、下面四个结论中，正确命题的个数是( )
①偶函数的图像一定与
y
轴相交；②函数
f
(
x
)为奇函数的充要条件是
f(0)＝0；
③偶函数的图像关于
y
轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数 一定是
f
(
x
)＝0(
x
∈R)．
A．1 B．2 C．3 D．4


考点二、分段函数的奇偶性
解析：分别讨论每一个区间与其对称区间上的对称性，是否符合奇偶性的定义．
例1、判断下列函数的奇偶性：
①
f(x)?lg(4?x)?lg(4?x)

1
.
x
2
?1
3
32
1
，x[–1，2]；
x
2
?1
?
1
2
x?1(x?0)
?
?< br>2
②
g(x)?
?

1
?
?x
2< br>?1(x?0)
?
?2
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察
f( ?x)是否等于f(x)或?f(x)
．
解：（1）
f(x)的定义域是x|4+x
＞0且
4?x
＞
0
?
=
?
x|?4
＜
x
＜
4
?
，它具有对称性．因为
?
f(?x) ?lg(4?x)?lg(4?x)?f(x)
，所以
f(x)
是偶函数，不是奇函数 ．
（2）当
x
＞0时，－
x
＜0，于是

11
g(?x)??(?x)
2
?1??(x
2
?1)?? g(x)

22
当
x
＜0时，－
x
＞0，于是 < br>111
g(?x)?(?x)
2
?1?x
2
?1??(?x< br>2
?1)??g(x)

222
综上可知，在R∪R上，
g(x)
是奇函数．
?
x
－3
x
＋1
?
例2、判断函数
f
(
x)＝
?
32
?
?
x
＋3
x
－1
32
－+
x
＞0
x
＜0

的奇偶性．
思路点拨：分x＞0或x＜0两种情况计算f(－x)，然后再判断f(－x)与f(x)的关系．
解：函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
①当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)＋3(－x)－1＝－x＋3x－1＝－(x－3x＋1)＝－f(x)．
②当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝(－x)－3(－x)＋1＝－x－3x＋1
＝－(x＋3x－1)＝－f(x)．
由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，
都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
【名师点拨】 分段函数的奇偶性应 分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满
足相同的关系时，才能判断其奇偶性． 也可根据图象判定．

?
?
x
－3
x
＋1 1、如果函数
f
(
x
)＝
?
32
?
?
－
x
－3
x
＋1
32
32
32
3232
323232
x
＞0
x
＜0

，其奇偶性怎样？
3232
解：当
x
＞0时，
f
(
x
)＝
x
－3
x
＋1，－
x
＜0，f
(－
x
)＝－(－
x
)－3(－
x
)＋1＝
x
－3
x
＋1＝
f
(
x
)．
当
x
＜0时，
f
(
x
)＝－
x
－3
x
＋1.－
x
＞0，
f
(－
x
)＝(－
x
)－3(－
x
)＋1＝－
x
－3
x
＋1＝
f
(
x
)．
综上可得
f
(－
x
)＝
f
(
x
)
∴
f
(
x
)为偶函数．





323232

考点二、利用奇偶函数图像的对称性质
由偶函数的定义可得：
偶函数的图像关于y轴对称，反过来， 若一个函数的图像关于y轴对称，则这
个函数是偶函数.
由奇函数的定义可得：
奇函数的图像关于原点对称，反过来， 若一个函数的图像关于原点对称，则这个
函数是奇函数
例1、设奇函数
f(x)
的定义域为
?
?5 ,5
?
，若当
x?[0,5]
时，
f(x)
的图象如右图,则不等式
f(x)?0
的
解是





例2．如图，给出了奇函数
y
=
f
(
x
)的局总图象，求
f
(– 4).
y
2
O

例3．如图，给出了偶函数
y
=
f
(
x
)的局部图象，试比较
f
(1)与
f
(3) 的大小.




1．奇函数
y< br>＝
f
(
x
)(
x
∈R)的图象必过点( )
1
A．(
a
，
f
(－
a
)) B．(－
a
，
f
(
a
)) C．(－
a
，－
f
(
a
)) D．(
a
，
f
())
– 3
4
x
y
2
– 1
O
x
a
解析：∵f(x)是 奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，即自变量取－a时，函数值为－f(a)，故图象必
过点(－a， －f(a))．
答案：C
2．若函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有两个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )

A．2 B．1 C．0 D．－1
解析：∵偶函数图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴 的两个交点关于y轴对称，若一根为x
1
，则另一
根必为－x
1
，故 f(x)＝0的所有实根之和为0.
答案：C
3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f (x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x，则f(7)＝( )
A．－2 B．2 C．－98 D．98
解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f[4＋(－1 )]＝f(－1)．
又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，∴f(7)＝－2，故选A.
答案：A

考点三、根据奇偶性求函数解析式
例3、已知f(x )是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋3x－1，求f(x)的解析式．
分析：由 奇函数的定义知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)计算当x<0时f(x)的表达式，构成定义在R上的奇函数．
解：∵
f
(
x
)是定义在R上的奇函数，∴< br>f
(－
x
)＝－
f
(
x
)．
∵当
x
<0时，－
x
>0，∴
f
(
x
)＝ －
f
(－
x
)＝－2
x
＋3
x
＋1.
又∵奇函数
f
(
x
)在原点的定义，
f
(0)＝0.
2
2
x
＋3
x
－1
x
>0，
?
?
∴
f
(
x
)＝
?
0
x
＝0，
?
?
－2
x
2
＋3
x
＋1
x
<0.
2
2
2






1、设
f
(
x
)是定义在
R
上的奇函数，当
x
≤0时，
f
(
x
)＝2
x
－
x
，则
f
(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
[解析] 本题主 要考查函数的奇偶性以及函数值的求法．
f
(1)＝－
f
(－1)＝－[2( －1)－(－1)]＝
－3，
故选A.
3
2、已知< br>f
(
x
)是R上的奇函数，且当
x
∈(0，＋∞)时，
f
(
x
)＝
x
(1＋
x
)，求当
x∈(－∞，0)时
f
(
x
)
的解析式．
2
2

33
解：设
x
∈(－∞，0 )，则－
x
∈(0，＋∞)．由已知得
f
(－
x
)＝－x
(1＋－
x
)＝－
x
(1－
x
)．
3
∵
f
(
x
)是R上的奇函数，∴
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，∴
f
(
x
)＝－
f
(－
x
)＝
x
(1－
x
)． < br>33
即
f
(
x
)＝
x
(1－
x)，∴当
x
∈(－∞，0)时，
f
(
x
)的解析式为< br>f
(
x
)＝
x
(1－
x
)．
考点三、利用函数的奇偶性和单调性求参数的值或取值范围
例1、已知函数
f(x)
的定义域为
?
?1,1
?
，且同时满足下列条件：
（1）
f(x)
是奇函数；（2）
f(x)
在定义域上单调递减；（3）f(1?a)?f(1?a)?0,


求
a
的取值范围.
2
?
?1?1?a?1
?
22

f(1?a)?? f(1?a)?f(a?1)
，则
?
?1?1?a
2
?1
,
?
0?a?1

?
1?a?a
2
?1
?


1、设定义在 [－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)范围．
分析：利用奇函数性质知f(x)在[－2,2]上是减函数，再结合单调性，脱去符号 “f”，转化为关于m
的不等式(组)．

解∵
f
(
x< br>)在[－2,2]上为奇函数，且在[0,2]上单调递减，故
f
(
x
)在[－2,2]上为减函数，又
f
(1－
m
)<
f
(m
)．
?
∴
?
－2≤
m
≤2，
?< br>?
1－
m
>
m
.


?
－2≤1－
m
≤2，

－1≤
m
≤3，
?
?
－2≤
m
≤2，
即
?
1
m
<
?
?
2
.

1
解得－1≤
m
<.
2
变式体验1 如果奇函数f(x) 在区间[－5，－3]上是增函数，且最大值是－4，那么f(x)在x∈[3,5]
上是( )
A．增函数且最大值是4 B．增函数且最小值是4
C．减函数且最大值是4 D．减函数且最小值是4

图2


解析：作一个符合条件的函数的简图．观察图形，可知f(x) 在[3,5]上是增函数，且最小值为4.
答案：B



变式训练：
1、已知奇函数
f(x)
在R上单调递增，且
f(2x ?1)?f()?0.
则
x
的取值范围为
A.
(??,)
B.
(,??)
C.
(??,)
D.
(,??)



2、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A．
y
＝－
x
，
x
∈R B．
y
＝sin
x
，
x
∈R
3
1
2
1
4
1
4
3
4
3
4
?
1
?
x
C．
y
＝
x
，
x
∈R D．
y
＝
??
，
x
∈R
?
2
?
4．设函数
f
(
x
)和
g
(
x
) 分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．
f
(
x
)＋|
g
(
x
)|是偶函数 B．
f
(
x
)－|
g
(
x
)|是奇函数
C．|
f
(
x
)|＋
g
(
x
)是 偶函数 D．|
f
(
x
)|－
g
(
x
)是奇函数
1
5．若
f
(
x
)＝
x
＋
a是奇函数，则
a
＝______.
2－1
考点五、函数奇偶性的证明、奇偶函数的单调性
例1、已知函数f(x)=x+|x-a|+1,a∈R.
（1）试判断f(x)的奇偶性；
（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.
解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)+|-x|+1=f(x),
此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a+1,f(-a)=a+2|a|+1,
f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.
22
2
2
1
2
1
2

（2）当x≤a时,f(x)=x-x+a+1=(x-)+a+
1
2
2
1
2
2
3
,
4
∵a≤,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减，
从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a+1.
当x≥a时，函数f(x)=x+x-a+1=(x+)-a+,
∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的
最小值为f(a)=a+1.
综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a+1.

例2、已知
f
(
x
)＝
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
3
4
1
2
x
－
a
是奇函数．
x
＋
b x
＋1
2
(1)求
a
、
b
的值；
解：(1)∵
f
(
x
)＋
f
(－
x
) ＝0恒成立，即
2
x
－
ax
＋
a
－＝0恒成立，
x
2
＋
bx
＋1
x
2
－
bx＋1
则2(
a
＋
b
)
x
＋2
a
＝0对任意的实数
x
恒成立．∴
a
＝
b
＝0.








考点五、函数奇偶性的简单应用
例1、若
f
(
x
)＝x
＋
ax
＋
bx
＋3在(0，＋∞)上的最大值是8，求
f
(
x
)在(－∞，0)上的最小值．
分析：注意到
g
(
x
)＝
x
＋
ax
＋
bx
是奇函 数，则
g
(－
x
)＋
g
(
x
)＝0. < br>解：当
x
>0时，
f
(
x
)≤8，则当
x< br><0时，－
x
>0，
f
(－
x
)≤8，设
x
∈(－∞，0)，则
53
53
f
(
x
)＝
x
5
＋
ax
3
＋
bx
＋3
＝－[(－
x
)＋
a
(－
x
)＋
b
(－
x< br>)＋3]＋6
＝－
f
(－
x
)＋6≥－8＋6＝－2.
所以
f
(
x
)在(－∞，0)上的最小值是－2.
53

1、已知
f
(
x
)与
g
(
x
)都是定义在R上的奇函数，若
F
(
x
)＝
af
(
x
)＋
bg
(
x
)＋ 3，且
F
(－2)＝5，则
F
(2)
＝ 1 ；

解：(1)因为
f
(
x
)与
g
(
x
)都 是奇函数，
所以
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，
g
(－
x
)＝－
g
(
x
)，
所以
F
(
x
)＋
F
(－
x
)＝< br>af
(
x
)＋
bg
(
x
)＋3＋
a
[－
f
(
x
)]＋
b
[－
g
(< br>x
)]＋3＝6，
所以
F
(
x
)＝6－
F
(－
x
)，
所以
F
(2)＝6－
F
(－2)＝6－5＝1.

2、已知函数
f
(
x
)＝
x
＋sin
x
的定义域为(－1,1)，则满足不等式
f
(
a
－1)＋
f
(1－2
a
)<0的
a
的取值
范围是 (0,1) .
解 ：因为
f
(
x
)＝
x
＋sin
x
，
x
∈(－1,1)是奇函数，且单调递增，所以
f
(
a
－1)＋< br>f
(1－2
a
)<0，即
f
(
a
－1)<< br>f
(2
a
－1)．
322
32







1、设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线
x
＝
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
1
对称，
2

2、定义在{x|x∈R，x≠1}上的函数f（x） 满足f（1-x）=-f（1+x），当x＞1时，
f
(
x
)
11< br>?
1
?
＝
??
，则函数f（x）的图象与函数
g(
x
)＝cosπ(
x
+)(?3≤
x
≤5)的图象的 所有交
22
?
2
?
点的横坐标之和等于
x


3、设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=-f（3-x），且方程f（x）=0恰 有6个不同
的实数根，
则这6个实数根的和为

4、设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=f（3-x），且函数y=f（x）恰有 6个不同的
零点，则这6个零点
的和为

5、函数f（x ）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：对任意x∈R，都有f
（2+x）=f（2-x） ，
f（1+x）=-f（x），则f（x）是（ ）
A．奇函数但非偶函数 B．偶函数但非奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是
非奇非偶函数

考点六、抽象函数奇偶性的判断

例1、已知函数
f
(
x
)，
x
∈R，若对任意实数
a
，
b
都有
f
(
a
＋
b
)＝
f
(
a
)＋
f
(
b
)．求证：
f
(
x
)为奇函数．
证明 设
a
＝0，则
f
(
b
)＝
f(0)＋
f
(
b
)，∴
f
(0)＝0.
又设
a
＝－
x
，
b
＝
x
，则
f
(0)＝
f
(－
x
)＋
f
(
x
)．

∴
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)．
∴
f
(
x
)是奇函数．
变式迁移3 证明 令
x
1
＝0，
x
2
＝
x
，
则得
f
(
x
)＋
f
(－
x
)＝2
f< br>(0)
f
(
x
)①
又令
x
1
＝
x
，
x
2
＝0，得
f
(
x
)＋
f
(
x
)＝2
f(
x
)
f
(0)②
由①、②得
f
(－
x
)＝
f
(
x
)，∴
f
(
x
) 是偶函数．

例2、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、b∈R都 满足：f(ab)＝af(b)＋bf(a)，
(1)求f(0)、f(1)的值．
(2)证明f(x)为奇函数．
解：(1)令a＝b＝0，∴f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0.
令a＝b＝1，∴f(1)＝1f(1)＋1f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)证明：∵a，b∈R，∴可赋a、b为某些特殊值．
令a＝b＝－1，则f(－1)＝0.
∵f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0，
∴f(x)为奇函数．

1、已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．
分析：判定函数的奇偶性应凑f(－x)的形式，令y＝－x即可．
解：(1)证明：由题意 知，f(x)的定义域是R，它关于原点对称．在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，
令y＝－x ，得f(0)＝f(x)＋f(－x)；令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
把f(0)＝0代入f(0)＝f(x)＋f(－x)，得
f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
(2)解：由f(－3)＝a，f(x＋y )＝f(x)＋f(y)，f(x)是奇函数，得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－
3 )＝－4a.





例3、已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).

（1）求证：f(x)是奇函数；
（2）如果x∈R，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.
（1）证明： ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.
∵f（x+y）=f（x）+ f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)=f(0) +f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
（2）解：方法一 设x,y∈R，∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R，f（x）＜0,
∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).
∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，
∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.
∵f (1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2） ］=-3.
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
方法二 设x
1
＜x
2
,且x
1
,x
2
∈R. < br>则f(x
2
-x
1
)=f［x
2
+(-x
1
)］=f(x
2
)+f(-x
1
)=f(x
2
)- f(x
1
).
∵x
2
-x
1
＞0,∴f(x2
-x
1
)＜0.∴f(x
2
)-f(x
1
) ＜0.即f(x)在R上单调递减.
∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，
∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］= -3.
∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.

考点七、函数的周期性及应用
例1、设
f
(
x
)是定义 在R上的奇函数，且其图象关于直线
x
＝1对称，当
x
∈[0,2]时，f
(
x
)＝2
x
－
1
2
1
2
+
+
+
1
2
x
2
.
(1)求证：
f
(
x
)是周期函数；
(2)当
x
∈[2,4]时，求
f
(
x
)的解析式；
(3)计算f
(0)＋
f
(1)＋
f
(2)＋…＋
f
(2 011)．
解：(1)因为
y
＝
f
(
x
)的图 象关于
x
＝1对称，且
f
(
x
)为奇函数，所以
f
(2－
x
)＝
f
(
x
)．
因为
f
(
x
＋2)＝
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，
f
(
x
＋4)＝－
f
(
x
＋2)＝－[－
f
(
x
)]＝
f
(
x
)，
所以
f
(
x
)是以4为周期的周期函数．
(2)因为
x
∈[0,2]时，
f
(
x
)＝2
x< br>－
x
.
2

设
x
∈[－2 ,0]，则－
x
∈[0,2]，又
f
(
x
)是奇函数， < br>所以
f
(
x
)＝－
f
(－
x
)＝－ [2(－
x
)－(－
x
)]＝2
x
＋
x
.
当
x
∈[2,4]时，
x
－4∈[－2,0]，
所以f
(
x
)＝
f
(
x
－4)＝2(
x< br>－4)＋(
x
－4)＝2
x
－8＋
x
－8
x
＋16＝
x
－6
x
＋8.
即当
x
∈[2 ,4]时，
f
(
x
)＝
x
－6
x
＋8.
(3)由
x
∈[0,2]时，
f
(
x
)＝2
x
－
x
，可得
f
(0)＝0，
f
(1)＝1，< br>f
(2)＝0，
又
x
∈[2,4]时，
f
(
x
)＝
x
－6
x
＋8，可得
f
(3)＝－1，
所以
f
(0)＋
f
(1)＋
f
(2)＋
f
(3)＝0，而
f
(
x
＋4)＝
f
(
x< br>)，
所以
f
(0)＋
f
(1)＋
f
(2) ＋…＋
f
(2011)＝[
f
(0)＋
f
(1)＋
f
(2)＋
f
(3)]×503＝0.

1、设函数
f< br>(
x
)是定义在R上的偶函数，且满足：①
f
(
x
) ＝
f
(2－
x
)；②当0≤
x
≤1时，
f
(
x
)＝
x
.
(1)判断函数
f
(
x
)是否是周期函数；
(2)求
f
(5.5)的值．
2
2
2
2
222
22


例2、 已知函数
f
(
x
)的定义域为R，且满足
f
(
x< br>＋2)＝－
f
(
x
)．
(1)求证：
f
(
x
)是周期函数；
11
(2) 若
f
(
x
)为奇函数，且当0≤
x
≤1时，
f(
x
)＝
x
，求使
f
(
x
)＝－在[ 0,2 014]上的所有
x
的个
22
数．
(1)证明 ∵
f
(
x
＋2)＝－
f
(
x
)，∴
f(
x
＋4)＝－
f
(
x
＋2)＝－[－
f(
x
)]＝
f
(
x
)，
∴
f
(
x
)是以4为周期的周期函数．
1
(2)解 当0 ≤
x
≤1时，
f
(
x
)＝
x
，设－1≤< br>x
≤0，则0≤－
x
≤1，
2
11
∴
f
(－
x
)＝(－
x
)＝－
x
.∵
f
(
x
)是奇函数，∴
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，
22
111
∴－
f< br>(
x
)＝－
x
，即
f
(
x
)＝x
.故
f
(
x
)＝
x
(－1≤
x≤1)．
222

1
又设1<
x
<3，则－1<
x
－2<1，∴
f
(
x
－2) ＝(
x
－2)．
2
又∵
f
(
x
)是以4为周期的周期函数
11
∴
f
(
x
－2)＝
f
(
x
＋2)＝－f
(
x
)，∴－
f
(
x
)＝(
x－2)，∴
f
(
x
)＝－(
x
－2)(1<
x
<3)．
22
1
?
?
2
x
，－1≤x
≤1，
∴
f
(
x
)＝
?< br>1
－
?
?
2
x
－2，1<
x
<3.


11
由
f
(
x
)＝－，解得
x
＝－1.∵
f
(
x
)是以4为周期的周期函数，∴
f(
x
)＝－的所有
x
＝4
n
－1(
n
22
∈Z)．
12 015
令0≤4
n
－1≤2 014，则≤< br>n
≤.又∵
n
∈Z，∴1≤
n
≤503(
n
∈Z)，
44
1
∴在[0,2 014]上共有503个
x
使
f
(
x
)＝－.
2



考点八、函数性质的综合应用
例1、定义在实 数集R上的函数
f
(
x
)，对任意
x
、
y
∈R，有
f
(
x
＋
y
)＋
f
(
x
－
y
)＝2
f
(
x
)·
f
(y
)且
f
(0)≠0.
(1)求证：
f
(0)＝1；
(2)判断
y
＝
f
(
x
)的奇偶性；
(3)若存在正常数
C
，使
f
()＝0.
2
①求 证：对任意
x
∈R，有
f
(
x
＋
C
)＝－
f
(
x
)成立；
②试问函数
f
(
x)是不是周期函数？如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由．
分析：(1)用赋值法 ；(2)依题设构造
f
(－
x
)与
f
(
x
)的关系；(3)存在型问题，可由存在入手推导相
关结论．
解 ：(1)证明：令
x
＝
y
＝0，则2
f
(0)＝2
f
(0)．
又
f
(0)≠0，所以
f
(0)＝1.
(2)令
x
＝0，则
f
(
y
)＋
f
(－
y
)＝2
f
(0)
f
(
y
)＝2
f
(
y
)，
所以
f
(
y
)＝
f
(－
y
)，即
f
(
x
)＝
f
(－
x
)，
又
x
∈R，所以
f
(
x
)为偶函数． (3)①证明：用
x
＋，(
C
>0)替换
x
，
y
，则
f
(
x
＋＋)＋
f
(
x
＋ －)＝2
f
(
x
＋)·
f
()．
22222222
2
C
CCCCCCCC

又
f
()＝0，所以
f
(
x
＋
C
)＋f
(
x
)＝0，即
f
(
x
＋
C
)＝－
f
(
x
)；
2
②由①的结论知
f
(
x
＋2
C
)＝－
f
(
x
＋
C
)＝
f
(
x
)(
C
>0)，
所以
f
(
x
)是周期函数，2
C
就是它的一个周期．
点评： 特殊值法是解决抽象函数问题常用的有效方法，通过所给关系式，对其中的变量进行有效赋
值，注意借助 具体模
型思考，联系解题目标赋值．

1、设
f
(
x
)是定义在[－1,1]上的偶函数，当
x
∈[－1,0]时，
f
(
x
)＝
g
(2－
x
)，且当
x
∈[2,3]时，
g
(
x
)
＝2
a
(
x< br>－2)－4(
x
－2).
(1)求
f
(
x
)的表达式；
(2)是否存在正实数a
(
a
>6)，使函数
f
(
x
)的图象最高点 在直线
y
＝12上，若存在，求出正实数
3
C
a
的值；若不 存在，
请说明理由．
【解析】(1)当
x
∈[－1,0]时，2－
x
∈[2,3]， < br>f
(
x
)＝
g
(2－
x
)＝2
a< br>(－
x
)－4(－
x
)
3
＝4
x
3
－2
ax
，
因为
y
＝
f
(
x
)在[－1,1]是偶函数， < br>所以当
x
∈[0,1]时，
f
(
x
)＝
f< br>(－
x
)＝－4
x
＋2
ax
.


(2)命题等价于
f
(
x
)
max
＝12，由于< br>f
(
x
)为偶函数，故只需考虑0≤
x
≤1的情况．
f
′(
x
)＝－12
x
＋2
a
(0≤
x
≤1，
a
>6)．
由
f
′(
x
)＝0，得
x
＝
因为
2
3
a
6
或
x
＝－
a
(舍去)．
6
a
6
>1，所以当0≤
x
≤1时，
f
′(
x
)>0，
即
f
(
x
)在[0,1]上单调递增．
所以
f< br>(
x
)
max
＝
f
(1)＝12，所以
a< br>＝8.
综上，存在
a
＝8使得
f
(
x
)的 图象的最高点在直线
y
＝12上．

巩固练习：
1
x
1、
f
(x
)是定义在R上的奇函数，且满足
f
(
x
＋2)＝
f
(
x
)，又当
x
∈(0,1)时，
f
(
x
)＝2－1，则
f
(log
2
6)等于
A．－5




( )．
B．－6
5
C．－
6
1
D．－
2
3
?
113
?
解析
f
(log6)＝ －
f
(log
2
6)＝－
f
(log
2
6 －2)．∵log
2
6－2＝log
2
∈(0,1)，∴
f
?
log
2
?
＝，
2
?
222
?
11
∴
f
(log6)＝－.
22
答案 D
2．定义 在R上的函数
f
(
x
)满足
f
(
x
)＝< br>f
(
x
＋2)，当
x
∈[3,5]时，
f
(
x
)＝2－|
x
－4|，则下列不等式
一定成立的是
A．
f
?
cos
( )．
?< br>?
2π
??
2π
??
π
??
π
?< br>D．
f
(cos
?
>
f
?
sin
?
B．
f
(sin 1)<
f
(cos 1) C．
f
?
sin
?
<
f
?
cos
?

3
??
3
?
66
????
2)>
f
(sin 2)
解析 当
x
∈[－1,1]时，
x
＋4∈[3,5]，由f
(
x
)＝
f
(
x
＋2)＝
f
(
x
＋4)＝2－|
x
＋4－4|＝2－|
x
|， 2π12π
显然当
x
∈[－1,0]时，
f
(
x
)为增函数；当
x
∈[0,1]时，
f
(
x
)为减函数， cos＝－，sin ＝
323
2π
??
2π
?
31
?
1
??
1
?
?
3
?
?
>，又
f
?
－
?
＝
f
??
>
f
??
，所以
f
?
cos
?
>
f
?
sin
?
.
3
??
3
?
22
?
2
??
2
?
?
2
?
?
答案 A
?
?
1－2，
x
≥0 ，
4．已知函数
f
(
x
)＝
?
x
?
2－1，
x
<0，
?
－
x

则该函数是 ( )．
A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减
C．奇函数，且单调递增 D． 奇函数，且单调递减
解析 当
x
>0时，
f
(－
x
)＝2－1＝－
f
(
x
)；当
x
<0时，
f
(－
x
)＝1－2
－
x
－(－
x
)＝1－2＝－
f
(
x
)．当
x
x
＝0时，f
(0)＝0，故
f
(
x
)为奇函数，且
f
(
x
)＝1－2
－
x
在[0，＋∞)上为增函数，
f
(
x
)＝2
x
－1
在(－∞，0)上为增函数，又
x
≥0时1－2≥0，
x
<0时2－1<0，故
f
(
x
)为 R上的增函数．
答案 C
1．函数
f
(
x
)的定义域为 R，若
f
(
x
＋1)与
f
(
x
－1)都是 奇函数，则
A．
f
(
x
)是偶函数 B．
f
(
x
)是奇函数
D．
f
(
x
＋3)是奇函数
( )．
－
xx
C．
f
(
x
)＝
f
(
x< br>＋2)
解析 由已知条件，得
f
(－
x
＋1)＝－< br>f
(
x
＋1)，
f
(－
x
－1)＝－
f
(
x
－1)．由
f
(－
x
＋1)＝－
f
(
x
＋1)，得
f
(－
x
＋2)＝－
f
(
x
)；由
f
(－
x
－1)＝－
f
(
x
－1)，得
f
(－
x
－2)＝－
f
(
x
)．则
f
(－
x
＋
2)＝
f
(－
x
－2)，即
f
(
x
＋2)＝
f
(< br>x
－2)，由此可得
f
(
x
＋4)＝
f
(< br>x
)，即函数
f
(
x
)是以4为周期的

周期函数，所以
f
(
x
＋3)＝
f
(
x
－1)，即函数
f
(
x
＋3)也是奇函数．
答案 D
?
?
1，
x
为有理数，
2．设函数
D
(< br>x
)＝
?
?
0，
x
为无理数，
?

则下列结论错误的是 ( )．
A．
D
(
x
)的值域为{0,1}
数
B ．
D
(
x
)是偶函数C．
D
(
x
)不是周 期函数 D．
D
(
x
)不是单调函
解析 显然
D
(
x
)不单调，且
D
(
x
)的值域为{0,1}，因此选项 A、D正确．若
x
是无理数，－
x
，
x
＋1是无理数；若< br>x
是有理数，－
x
，
x
＋1也是有理数．∴
D
(－
x
)＝
D
(
x
)，
D
(
x
＋1)＝
D
(
x
)．则
D
(
x
) 是偶函数，
D
(
x
)为周期函数，B正确，C错误．
答案 C

3．
f
(
x
)＝2
x
＋sin
x
为定义在(－1,1)上的函数，则不等式
f
(1－
a
)＋f
(1－2
a
)<0的解集是 ________.
解析
f
(
x
)在(－1,1)上是增函数，且
f
(
x
)为 奇函数．于是原不等式为
f
(1－
a
)<
f
(2
a
－1)等价于
－1<1－
a
<1，
?
?
?
－1<2
a
－1<1，
?
?
1－
a
<2
a
－1.

2
解得<
a
<1.
3
?
2
?
答案
?
，1
?
?
3
?
4．若定义域为R的奇函数
f
(
x
)满 足
f
(1＋
x
)＝－
f
(
x
)，则下列结 论：①
f
(
x
)的图象关于点
?
,0
?
对
1
称；②
f
(
x
)的图象关于直线
x
＝对 称；③
f
(
x
)是周期函数，且2是它的一个周期；④
f
(
x
)在区
2
间(－1,1)上是单调函数．其中所有正确的序号是_____ ___．
1
???
1
?
解析 由函数为奇函数且满足
f< br>(1＋
x
)＝－
f
(
x
)，得
f
(
x
＋2)＝
f
(
x
)，又
f
?
1 ＋
x
－
?
＝－
f
?
x
－
?
，
2
???
2
?
?
1
?
2
?< br>?
????
f
?
＋
x
?
＝
f
?
－
x
?
，所以②③正确．
??
答案 ②③

5．若函数
f
(
x
)＝
x
－|
x
＋
a
|为偶函数，则实数
a
＝________.
解析 由题意知 ，函数
f
(
x
)＝
x
－|
x
＋
a
|为偶函数，则
f
(1)＝
f
(－1)，∴1－|1＋
a< br>|＝1－|－1
＋
a
|，∴
a
＝0.
答案 0 < br>6．已知
y
＝
f
(
x
)＋
x
是奇函 数，且
f
(1)＝1.若
g
(
x
)＝
f
(
x
)＋2，则
g
(－1)＝________.
解析 因为
y
＝
f
(
x
)＋
x
是奇函数，且
x＝1时，
y
＝2，所以当
x
＝－1时，
y
＝－2，即< br>f
(－1)＋
2
2
2
2
1
?
21
?
2

(－1)＝－2，得
f
(－1 )＝－3，所以
g
(－1)＝
f
(－1)＋2＝－1.
答案 －1
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知
f
(
x
)是 定义在R上的不恒为零的函数，且对任意
x
，
y
，
f
(x
)都满足
f
(
xy
)＝
yf
(
x< br>)
＋
xf
(
y
)．
(1)求
f
(1)，
f
(－1)的值；
(2)判断函数
f
(
x
)的奇偶性．
解 (1)因为对定 义域内任意
x
，
y
，
f
(
x
)满足
f
(
xy
)＝
yf
(
x
)＋
xf
(
y
)，所以令
x
＝
y
＝1，得
f
(1 )
＝0，令
x
＝
y
＝－1，得
f
(－1)＝0.
(2)令
y
＝－1，有
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)＋
xf
(－1)，代入
f
(－1)＝0得< br>f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，所以
f
(
x
)
是(－∞，＋∞)上的奇函数．
8．(13分)设定义在[ －2,2]上的偶函数
f
(
x
)在区间[－2,0]上单调递减，若
f
(1－
m
)<
f
(
m
)，求实数
2m
的取值范围．
解 由偶函数性质知
f
(
x
)在[0 ,2]上单调递增，且
f
(1－
m
)＝
f
(|1－
m
|)，
f
(
m
)＝
f
(|
m
| )，
－2≤1－
m
≤2，
?
?
因此
f
( 1－
m
)<
f
(
m
)等价于
?
－2≤m
≤2，
?
?
|1－
m
|<|
m
|.
1
解得：<
m
≤2.
2


?
1
?
因此实数
m
的取值范围是
?
，2
?
.
?
2
?
5．(12分)已知函数
f
(
x
) ＝
x
＋(
x
≠0，常数
a
∈R)．
(1)讨论函数
f
(
x
)的奇偶性，并说明理由；
(2) 若函数
f
(
x
)在
x
∈[2，＋∞)上为增函数．求实数< br>a
的取值范围．
解 (1)函数
f
(
x
)的定义域 为{
x
|
x
≠0}，
当
a
＝0时，
f< br>(
x
)＝
x
，(
x
≠0)
显然为偶函数； 当
a
≠0时，
f
(1)＝1＋
a
，
f
(－ 1)＝1－
a
，
因此
f
(1)≠
f
(－1)，且
f
(－1)≠－
f
(1)，
所以函数
f
(
x
)＝
x
＋既不是奇函数，也不是偶函数．
2
2
2a
x
a
x
a
2
x
3
－
a(2)
f
′(
x
)＝2
x
－
2
＝，
xx
2
当
a
≤0时，
f
′(
x
) >0，则
f
(
x
)在[2，＋∞)上是增函数，
2
x－
a
当
a
>0时，由
f
′(
x
)＝< br>2
>0，
3
x

3
a
解得
x
> ，由
f
(
x
)在[2，＋∞)上是增函数，
2
3
a
可知 ≤2.解得0<
a
≤16.
2
综上可知实数
a
的取值范围是(－∞，16]．
4．设
f(x)
是定义在
R
上的一个函数，则函数
F(x)?f(x)?f(?x)

在
R
上一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
4. A
F(?x)?f(?x)?f(x)??F(x)

2
?
?x?x
?
x?0
?
?
5．已知函数
f
?
x
?
?x?a?x?a
?
a?0
?
，
h
?
x
?
?
?
2
，
?
?
x?x
?< br>x?0
?
则
f
?
x
?
,h
?
x
?
的奇偶性依次为（ ）
A．偶函数，奇函数 B．奇函数，偶函数 C．偶函数，偶函数 D．奇函数，奇函数
5. D
f
?
?x
?
??x?a??x?a?x?a?x?a??f(x)< br>，画出
h(x)
的图象可观察到它
关于原点对称
或当
x ?0
时，
?x?0
，则
h(?x)?x?x??(?x?x)??h(x);

当
x?0
时，
?x?0
，则
h(?x)??x? x??(x?x)??h(x);
?h(?x)??h(x)

7. 已知幂函数y?f(x)
的图像过点
(4,2)
，则函数
y?f(1?cosx)< br>的最小正周期是（ ）
22
22
A
、
4
?

B
、
2
?

C
、
?

D
、
?
2

?
?
2－1
x
≤0
6．已知函数
f
(
x
)＝
?
?
fx
－1
x
>0
?
－
x


，若方程
f
(
x
)＝
x
＋
a
有且只有两个不相等的 实数根，则
实数
a
的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．[0,1)

C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
解析：当
x
>0时，因为
f
(
x
)＝
f
(
x
－1)，所以当
x
>0时，
f
(
x
)是 以1为周期的函数，又当0<
x
≤1
时，
x
－1≤0，所以
f
(
x
)＝
f
(
x
－1)＝2
1－
x
1
x
－1＝2·()－1.方程
f
(
x
)＝< br>x
＋
a
的根的个数可看成是两
2
个函数
y
＝
f
(
x
)与
y
＝
x
＋
a
的图象的交点个数，画出函数的图象，如图，由图象可知，实
数
a
的取值范围是(－∞ ，1)．
答案：C
24．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，则f（1）的值（ ）
A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负


6．已知函数
f
(
x
)在(－1,1)上有定义，
f
??
??1
，当且仅当0<
x
<1时，
f
(
x< br>)<0，且对任意
x
、
y
?
1
?
?
2
?
∈(－1,1)都有
f
(
x
)＋
f
(
y
)＝
f
?
?
1?xy
?
?
，试 证明：
??
(1)
f
(
x
)为奇函数；
(2)
f
(
x
)在(－1,1)上单调递减．
证明 (1)函数
f
(
x
)的定义域为(－1,1)，
再由
f< br>(
x
)＋
f
(
y
)＝
f
?
?
1?xy
?
?
，
??
令
x
＝
y
＝0，得
f
(0)＝0，
令
y
＝－
x
，得
f
(
x
)＋f
(－
x
)＝
f
?
?
x?y
?
?
x?y
?
?
x
－
x
2
?
＝< br>f
(0)＝0，
?
?
1－
x
?
?
x
2
－
x
1
?
.
?
?
1－x
1
x
2
?
∴
f
(
x
)＝－
f
(－
x
)，即
f
(
x
)为奇函数． < br>(2)先证
f
(
x
)在(0,1)上单调递减．令0<
x1
<
x
2
<1，则
f
(
x
2
)－
f
(
x
1
)＝
f
(
x
2)＋
f
(－
x
1
)＝
f
?
∵0<x
1
<
x
2
<1，∴
x
2
－
x
1
>0,1－
x
1
x
2
>0，
即
x
2
－
x
1
>0.
1－
x< br>2
x
1
又∵(
x
2
－
x
1
)－(1－
x
2
x
1
)＝(
x
2
－1)(
x
1
＋1)<0，
x
2
－
x
1
∴
x
2
－
x
1
<1－
x
2
x1
，∴0<<1.
1－
x
2
x
1
由题意，知
f
?
?
x
2
－
x
1
?
< 0，即
f
(
x
)<
f
(
x
)，
?
21
?
1－
x
1
x
2
?
∴f
(
x
)在(0,1)上单调递减，又
f
(
x
)为奇函数且
f
(0)＝0，

∴
f
(
x
)在(－1,1)上单调递减.