【高中数学讲义】函数求值域的十种方法

前言：

总有人求助如何学好数学，这个问题很宽泛，并非寥寥数语能够厘清。
有一点很明确，学好数学的必要条件是了解数学。
高中数学可以归结为两个“三位一体”：教学体系的三位一体和知识
结构的三位一体。

知识结构的三位一体：数学思想，数学方法，典型习题。
三要素之间的关系：典型习题归纳数学思想，数学思想指导数学方法，
数学方法解决典型习题。
数学思想举例：数形结合的思想等。
数学方法举例：配方法、反证法、倍差法等。
典型习题举例：恒成立问题、是否存在问题等。

教学体系的三位一体：教、学、练。
老师教什么：数学思想和数学方法。熟练掌握各种方法的 是优秀学生，
深入理解各种思想的是顶尖学生。
学生怎么学：课堂紧跟老师，课下善于提问。
如何做练习：
01，选题：中学数学最大的误区就是题海战术，有的老师不学无术只
会告诉你多做题。多做题没用，多做类型才有用。典型习题，做一顶

百。
02 ，做题：一题多解。对于选定的习题，运用尽量多的方法去解决，
然后比较各个方法的优劣，归纳出某类 型题对应的最佳方法。
03，总结：针对错题。大量统计表明，我们在考试中所犯的错误大多
是重复性的。通过总结，避免两次踏入同一条水沟。

由上可知，我讲数学的特点是方法论、重总结。
工欲善其事，必先利其器：各种数学方法就是我们解决难题的利器。
总喊看题就没思路的童鞋，回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。
说不出？有思路才怪！

言归正传，今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法”
（高中数学最重要就是函数，函数之于高中数学好比力学之于高中物
理。
高中数学函数的要点无非：三要素，四变换，五常见，六性质。
三要素中的求值域就是本讲的主题）


方法一：配方法
用于解决二次函数值域问题，考试中几乎不会单独考察配方法（太简
单），但常与其他方法综合使用 。

y=ax
2
+bx+c（a≠0） 经过配方得到 y=a（x-m）
2
+n 的形式，可直接
观察出值域。

方法二：函数性质法

高中阶段函数六性：奇偶性，单调性，周期性，对称性，凸凹性，有
界性（前三为重点）。
巧用函数性质，往往可以大幅简化过程，最常用的性质是单调性（熟
练掌握导数工具）。

方法三：换元法

换元法分为：代数换元与三角换元。前者针对非齐次，后者针对齐次。
（详见例题）

方法四：判别式法

常用于二次分式或无理式求值域。
将y视为系数，整 理为关于x的二次方程。由于方程有解，所以判别
式大于等于零，得到一个关于y的不等式，解之。 < br>利用判别式法时，要注意自变量的取值范围。判别式法运算往往较为
繁琐，请优先考虑其他方法。

方法五：不等式法

均值不等式：两个正数（可以拓展到N个）的平方平均值 ≥ 代数平
均值 ≥ 几何平均值 ≥ 调和平均值。
利用特殊不等式的性质来求值域，要注意等号成立的条件。

方法六：分离常量法

常用于分式求值域，利用多项式除法分离出常数，从而简化问题。

方法七：反函数法

原函数的值域等于反函数的定义域，求原函数值域可以转化为求反函
数定义域问题。
使用本方法的前提是原函数存在反函数。

方法八：函数图象法

基础函数值域易求，经过变换得到的新函数的值域亦可由此得到。
常见的函数图象变换：平移，对称，伸缩，翻折。

方法九：几何意义法（来源于数形结合的思想）

常用的几何意义有距离和斜率。

方法十：综合法

综合使用以上九种方法中的若干种，废话一句，但考题往往需要综合
法解决。


例题不难但很典型且可利用多种方法求解，重点为方法的应用条件与
注意事项。


例1：y=x+
x-1


解法一，代数换元法（题目中包括x的一次及二分之一次，属于非齐
次）
设t=
x-1

（t≥0）

易得x=t
2
+1，则y=t
2
+t+1=（t+）
2
+，易犯错误 y≥
实际上由于t≥0，t不可能取到-，因此y不可能取到（换元后
要注意新变量的取值范围）。
1
2
3
4
1
2
3
4
3
4

正确解法：易得t=0时，y取到最小值1

解法二，函数性质法（单调性）
∵
x-1


∴ x≥1
易知y=x与y=
x-1
均为增函数，则y=x+
x-1
亦为增函数
当x=1时，y取到最小值1

可见性质法简单得多，几乎目测可得结果。


例2：y = x+
1?x
2

解法一，判别式法
移项 y-x=
1?x
2

平方 y
2
-2xy+x
2
=1-x
2
整理 2x
2
-2yx+y
2
-1=0
关于x的方程在区间[-1,1] 上有解，除判别式大于等于零外，还需考
虑其他条件，较为繁琐。

解法二，三角换元（+前后x的最高次均为一次，属于齐次）
设 x=sinθ 则
1?x
2
=cosθ

由于sinθ无符号限 制，而cosθ大于等于零，可以设θ∈[-，]
（换元后要注意新变量的取值范围）
则 y=sinθ+cosθ=
2
sin（θ+

∵θ∈[-，]
∴θ+π4∈[-，
∴ y∈[-1，
2
]


例3：y = x+

解法一：函数性质法（单调性，奇偶性）
当x＞0时，求导 y＇=

1-

1

2
x
1
x
?
2
?
2
?
）
4
?
2
?
2
?
4
3
?
]
4
x∈（0，1）时，导数小于零，单调递减。
x∈（1，+∞）时，导数大于零，单调递增。
x=1时，取到最小值2
因此x＞0时，y≥2
根据奇函数性质，x＜0时，y≤-2
综上y∈（-∞，-2]∪[2，+∞）

解法二：不等式法
当x＞0时，y=x+
1

1
≥ 2
x .
= 2
x
x
根据奇函数性质，x＜0时，y≤-2

综上y∈（-∞，-2]∪[2，+∞）



x
2
?x?1
例4：y=


x
2
?1

解法一：判别式法，不再赘叙

解法二：分离常量法
x=0时，y=1
x≠0时

1
x
2
?x?1
x
y= =1+
2
=1+

1
x?1
x
2
?1x?
x
1
x
1
2
3
2

∵
x?
∈（-∞，-2]∪[2，+∞）
∴ y∈[,1）∪（1，]
综上y∈[，]

可见某些形式的二次分式求值域，分离常量法比判别式法简便得多。


1
2
3
2

例5：y=
1?sinx
2?cos x


解法一：万能公式+判别式法

设tan
x2t
1?t
2
2
=t sinx=
1?t
2
cosx=
1?t
2

t
2
y=

?2t?1
t
2
?3
下略

解法二：辅助角公式+函数性质法（有界性）

2y+ycosx=1+sinx
sinx-ycosx=2y-1
1?y
2
six(x+θ)=2y-1
six(x+θ)=

2y?1
1?y
2

利用正弦函数的有界性，得到
2y?1
1?y
2
∈[-1，
解得y∈[0，
4
3
]

解法三：几何意义法（斜率）


1]

sinx?(?1)
y=

cosx?
??2
?
该式的几何意义为(cosx,sinx)与(-2,-1)两点连线的斜率
(cosx,sinx)为单位圆上的任意一点，画图。
通过几何方法确定单位圆上的动点与定点(-2,-1)连线斜率的取值范
围，过程略。

完整使用三种方法得到正确答案的童鞋可以自行比较三种方法的繁
简程度。


例6：y=
x?3?x?1


解法一：函数图像法（分类讨论去绝对值，化为分段函数，画草图观
察值域）

解法二：几何意义法（距离）

x?3?x?1
的几何意义为数轴上一个动 点到-3及+1两个定点距离
之和，易得y≥4

例7：y=


x
2
?4?x
2
?2x?10

解法：几何意义法（距离）

y=
?
x?0
?
?
?
2?0
?
?
22
?
x?1
?
?
?
3?0
?
22

上式的几何意义为x轴上的动点（x，0）到两个定点（0,2）与（1,3）
的距离之和
画图：A点为（0,2），B点为（1,3），做出A点关于x轴的对称点A＇。
连结A＇与B 线段的距离即为y的最小值。
线段与x轴交点的横坐标即为y取最小值时x的取值。


例8：y=

解法一：函数图象法

5?x

3?x
8
5?x
x?3?8
y== -

= -1+
x+3
3?x
x?3
8
据上式可知所求函数可由函数y=

向左平移3个单位，向下平移1
x
个单位得到。
据图像易得 y∈(-∞，-1)∪(-1，+∞）

解法二：反函数法

∵ y=
5?x
3?x

∴ xy+3y=5-x
∴ xy+x=5-3y
∴ x=

5?3y
y?1

∴ 原函数的反函数为 y=

5?3x
x?1

∵ 反函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，
∴ 原函数的值域亦为(-∞，-1)∪(-1，


例9：y=
2
x
?1
2
x
?1


解法一：分离常量法

y=1-
2
2
x
?1

∵ 2
x
＞0
∴ 2
x
+1＞1
∴
2
2
x
?1
∈(0，2)
+∞）
+∞）

∴ y∈(-1，1)

解法二：反函数法

y·2
x
+y=2
x
-1
y+1=(1-y)·2
x

2
x
=
y?1
1?y

原函数的反函数为 y=log
1?x
2
1?x

反函数的定义域为(-1，1)
原函数的值域为(-1，1)


例10：y=sin
3
x+cos
3
x，x∈[0，
3
?
4
]

解法：综合法

提示：换元法+函数性质法（单调性），接下来的过程请童鞋们完成。