高中数学同构函数精讲讲义

同构函数

20．（本小题满分16分）
已知函数
f(x)?
1
?alnx
(a
?
R)．
x
（1）当a＝1时，求函数
f(x)
的单调减区间；
（2）若不 等式
f(x)?x
对x
?
(0，1]恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a≤2时，试问过点P(0，2)可作
y?f(x)
的几条切线?并说明理由．

19. 已知函数f(x)=
Inx12a+1
＋ x－ ＋a.
x22x
(1) 当a=0时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2) 若函数f(x)在定义域上单调增,求a的取值范围;
(3) 若函数f(x)在定义域上不单调,试判定f(x)的零点个数,并给出证明过程.
19． 解：（1 ）当
a?0
时，
f(x)?
lnx1?lnx
，则
f
?
(x)?
，
2
xx
在
x?1
处的切点为(1,0)
，切线斜率为
f
?
(1)?1
，
所以函数
f(x)
在
x?1
处的切线方程为
y?x?1
. …………3分
（2）因为
f(x)?
lnxx2a?1
???a(a?R)
. < br>x22x
x
2
?2lnx?2a?3
所以
f(x)
的 定义域为
(0,??)
；
f
?
(x)?
，
x
2
又因为函数
f(x)
在定义域上为单递增函数，
x< br>2
?2lnx?2a?3
所以
f
?
(x)??0
在< br>x?0
时恒成立，
x
2
即
x
2
?2lnx?2a?3?0
在
x?0
时恒成立， …………6分
设
g(x)?x
2
?2lnx?2a?3(x?0)
，
2x
2
?2
则
g
?
(x)?
，
x
当
0?x?1
时，
g
?
(x)?0
，则
g(x)
在
?
0,1
?
上为减函数，
当
x?1< br>时，
g
?
(x)?0
，则
g(x)
在
?1,??
?
上为增函数， …………8分
x
2
?2ln x?2a?3?0
在
x?0
时恒成立
?g(x)
min
?g (1)?4?2a?0
，
所以
a??2
. …………9分
x
2
?2lnx?2a?3
（3）因为
f
?
(x)?
，
x
2
e
2a
?3
所以
f
?
(e)??0
，则
f
?
(x)?0
不可能对
x?0
恒成立，
2e
2a
a
即
f(x)
在定义域上不可能始终都为减函数， …………10分
由（2）知函数
f(x)
为增函数
?a??2
，
所以若函数
f(x)
在定义域上不是单调函数
?a??2

又因为
f(1)?0
，所以
x?1
是函数
f(x)?0
一个 零点,

令
f(x)?0
，得
2lnx?x
2
?2ax?2a?1?0

设
h(x)?2lnx?x
2
?2ax ?2a?1
，则
f(x)
与
h(x)
有相同的零点，
2( x
2
?ax?1)
令
h
?
(x)??0
，得
x
2
?ax?1?0
，
x
因为
a??2
，所以
??a
2
?4?0
，
所以
x
2
?ax? 1?0
有两个不相等实数解
x
1
,x
2
，
因为< br>x
1
?x
2
?1,x
1
?x
2
?? a?2
，所以不妨设
0?x
1
?1?x
2
， …………12分
当
x?(0,x
1
)
时，
h
?< br>(x)?0
，
h(x)
在
(0,x
1
)
为增 函数
当
x?(x
1
,x
2
)
时，
h?
(x)?0
，
h(x)
在
(0,x
1
)为减函数
当
x?(x
1
,??)
时，
h
?< br>(x)?0
，
h(x)
在
(0,x
1
)
为增 函数
则
h(x
1
)?h(1)?0,h(x
2
)?h(1 )?0
………14分
又因为a??2
时，
0?e
a
?1
，
?2a?4
< br>h(e
a
)?e
2a
?1?2ae
2a
?0
，
h(?2a)?2ln(?2a)?4a
2
?6a?1?0
，
又 因为
f(x)
在
(0,1)
图象不间断，所以
f(x)
在< br>(0,1)
有唯一一个零点
又因为
f(x)
在
(1,??)
图象不间断，所以
f(x)
在
(1,??)
有唯一一个零点
又因为
x?1
是函数
f(x)?0
一个零点,
综上函数
f(x)
必有三个不同零点. …………16分