高中数学--抽象函数专题

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【包哥数学】抽象函数专题
抽象函数简介
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特 殊关系
式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识
灵活运用的能力。
抽象函数一些模型
根据抽象函数的一些性质，联想到所学的基本初等函数模型，将抽象具体化，有助于分析问
题。
抽象函数f(x)具有的性质
f(x
1
+x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
);
f(x
1
-x
2< br>)=f(x
1
)-f(x
2
)
f(x
1
+ x
2
)=f(x
1
)·f(x
2
);
f(x1
-x
2
)=f(x
1
)÷f(x
2
) f(x
1
·x
2
)=f(x
1
)+f(x
2< br>);
f(x
1
÷x
2
)=f(x
1
)-f (x
2
);
联想到的函数模型
正比例函数模型：f(x)=kx (k
≠
0)
指数函数模型：f(x)=

(a>0
且
a
≠
1)
对数函数模型：f(x)=

(a>0
且
a
≠
1)
(x
1
,x
2
∈R
+
)

例题：
例1：f (x)在R
+
上是增函数，且f (x)=f (
1
x
)+f (y),若f (3)=1,f (x)－f ( )≥2，求x的范
y
x
?5
围 。

例2：设函数f( x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f(m+n)=f(m)·f(n)，且x>0时，
0< f(x)<1.
（1）证明：f(0)=1；且x<0时，f(x)>1;
（2）证明：f(x)在R上单调递减；
（3）设A=｛(x,y)│f (x
2
)·f(y
2
)>f(1),B=｛(x,y)│f (ax-y+2)=1,a∈R｝，若A∩B=?，确定a的范
围。


抽象函数的对称性（中心对称、轴对称）和周期性
①先深刻理解奇函数，偶函数概念
②方法：用哪个数代替x
一、 抽象函数的对称性
定理1.
若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (b－x)，则函数y=f (x) 的图

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a?b
象关于直线x=
2
对称。
推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (a－x)
（或f (2a－x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a对称。
推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (a－x)， 又若方程f (x)=0有n
个根，则此n个根的和为na 。

定理2.
若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)+f (b－x)=c，（a,b,c为常数），则
a?bc
,)
函数y=f (x) 的图象关于点
22
对称。
(
推论1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)+f (a－x)=0，（a为常数），则函数y=f
(x) 的图象关于点（a ，0）对称。

了解
定理3.
若函数y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与y=f (b－x)两函数的图象关于直线
b?a
x=
2
对称。
对任意x0,令a+x0=b-x1,则x0+x1=b-a
此时令y=f(a+x0)=f (b-x1),则(x0,y)在第一个函数图像上,(x1,y)在第二个函数图像上
因为x0+x 1=b-a,所以有x0-(b-a)2=(b-a)2-x1,(x0,y)和(x1,y)关于直线x=(b -a)2对称
所以这两个函数的图像关于直线x=(b-a)2是对称的
定理4.
若函数y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与y=c－f (b－x)两函数的图象关于
b?ac
,)
点
22
对称。
(

二、抽象函数的周期性
命题1：
若a是非零常数，对于函数y =f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数
y=f(x)是周期函数.
函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.
函数y=f(x)满足f(x+a)=
1
，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个 周期.
f(x)
函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数 ，且2a是它的一个周期.

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命题2：
若a、b(
a?b
)是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x， 满足下列条件之
一，则函数y=f(x)是周期函数.
(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.
(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是 它的一个周
期.
(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f (x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个
周期.
(4)函数图象关于直线x=a，及点 M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一
个周期.
< br>命题3：
若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数< br>y=f(x)是周期函数.
(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对 称，则f(x)是周期函数，且2a是
它的一个周期.
(2)若f(x)是定义在R上的奇函 数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是
它的一个周期.

我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中
的任两个条 件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.
设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.
条件B: f(x)关于x=a对称
条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.
结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.
证明: ①已知A、B→ C （20XX年全国高考第22题第二问）
∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)
又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)
∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期
②已知A、C→B
∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)
又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)
∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称
③已知C、B→A
∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)
又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)
∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数
由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数， 则f(
T
)=0
2
【f(x+T)=f(x)，令x=-T2，f(T2) =f(-T2)，f(x)为奇函数,所以f(T2)=f(-T2)=-f(T2)
则2f(T2)=0,f(T2)=0】
基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关 系。根据上述命题，我们易得函数周期，
从而解决问题。

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习题：
1.若函数f（x）=x
2
+bx+c对于任意实数t均有f（3+t）= f（1－t），那么（ ）
A. f（2）< f（1）< f（4） B. f（1）< f（2）< f（4）
C.f（2）< f（4）< f（1） D. f（4）< f（2）< f（1）
解析：在f（3+t）= f（1－t）中（3+t）+（1－t）=4
所以抛物线f（x）=x
2
+bx+c的对称轴为x=2
作示意图如图1，可见，应选A。


2.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x－2）=－ f（x），给出下列四个结论：
①f（2）=0；
②f（x）是以4为周期的函数；
③f（x）的图像关于直线x=2对称；
④f（x+2）=f（－ x）
其中所有正确命题的序号是___________。
解析：（1）因为y= f（x）（x∈R）是奇函数，所以f（－x）=－ f（x）
令x=0，得f（－0）=－f（0）
?f(0)?f(0)?0，2f(0)?0

所以f（0）=0
又已知f（x－2）=－ f（x）
令x=2，得f（0）=－ f（2）
所以f（2）=－ f（0）=0
故①成立。
（2）因为f（x－2）=－ f（x），所以
f(x)??f
?
x?2
?
???f
?< br>?
x?2
?
?2
?
?f
?
x?4
?

由x－（x－4）=4（两自变量相减得常数）
所以f（x）是以4为周期的周期函数。
故②成立。
（3）由f（x+2）= f（－x）得：（x+2）+（－x）=2（两自变量相加得常数）
所以f（x）的图像关于直线x=1对称。而不是关于直线x=2对称。
故③是错误的。
（4）由（2）知，f（x）应满足f（x+2）= f（x－2）
??

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而f（x－2）=－f（x）
所以f（x+2）= －f（x）= f（－x）
故④成立。
综上所述，应填①②④。
3. 函数
y?log
2< br>ax?1
?
a?0
?
的图像关于直线x=2对称，则a=______ _____。
解析：因为函数
y?log
2
ax?1
?
a ?0
?
的图像关于直线x=2对称
所以有
log
2
a2?
x
?1?log
2
a
2?
x
?1

????
?a
?
2?x
?
?1?a
?
2? x
?
?1
?2a?ax?1??
?
2a?ax?1
?

?a?0
（与题设矛盾，舍去）或
a?
所以
a?
1

2
1
。
2
4.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，函数y =f(x+2)是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
5775
A.f(1)2
)2
) B. f(
2
)2
)
7557
C. f(
2
)2
)2
)2
).
解析：∵函数y=f(x +2)是偶函数，∴f(x+2)=f(-x+2)∴x=2为y=f(x)图像的对称轴===【也可
根据y=f(x+2)→y=f(x)向右平移两个单位知x=2为y=f(x)图像的对称轴】
∴函数y=f(x)在(2,4)上是减函数，且f(1)=f(3)
∵



,∴









,选B

5.f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a
的值.
包哥解析：由f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)得f(2-x)= -f(6-x)
用x代替-x, f(2+x)= -f(6+x)；用x+2代替x，f(x)= -f(x+4)；用x+4代替x, f(x+4)= -f(x+8)=-f(x),
即f(x)=f(x+8),T=8
∴f(2000)=f(0+8*250)=f(0)
又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0)
又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a =6

确定方程根的个数
6.已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，
1000]上f(x)=0至少有几个根？
解：由f(7+x)= f(7－x)，用x-7代替x，f(x)=f(14-x)
∴f(4－x)= f(14－x)，用x代替4-x故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0

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即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根
又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，
因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2
?

12.（仙游一中高一数学期末）
在实数集
R
上定义一种新运算“
?
”，对于任意给定的
a,b?R
，
a?b
为唯一确定的实数，且具有下面三个性质：
2000
=401个根.
10
(1)对任意a,b?R,a?b?b?a;

(2)对任意a,b?R,a?0?a;

(3)对任意a,b?R,(a?b)?c?c?(ab)?(a?c)?(c?b)?2c.

关于函数
f(x)?x?
1
的性质，有以下说法：
x
①在区间上函数
f(x)
的最小值为
3
； ②函数
f(x)
为奇函数；
（0，+?）
③函数
f(x)
的单调递增区间为
（-?,-1),(1,+?)
.
其中所有正确说法的个数为（ ）
A．
3
B．
2
C．
1
D．
0

解析：B
由新运算“⊕”的定义（3）令c=0，则a⊕b=ab+a+b
∴
f(x)?x?

1

=

（
对勾函数
）
∴f′
（
x
）
=


，
令
f′
（
x
）
=0
，则x=±1
，



x
∵当x∈（-∞，-1）或（1， +∞）时，f′
（
x
）＞
0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）、（1，+∞）．故③正确；
①正确，②错误，f(-x)≠-f(x)

12.（2018厦门市高中毕业班模拟试题）
已知函数










，若f( )+f( <2对任意
的 恒成立，则t的取值范围是（）
A.(-∞,

) B. (

,+ ∞) C. (-∞,2) B. (2,+ ∞)
解析：B
由










①，得










②
①+②得：










③式表示只要自变量相加为1，函数值之和为2，那么题目中的不等式可以转化为：
f( )+f( <2= f( )+ f[1-( )]
也即f( < f[1-( )]
对任意

恒成立

易知f(u)在 单调递增，∴ < 1-( )
对任意

恒成立

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也即 < t
④对任意

恒成立

接下来求
y=
最大值，令
a= ,
则
=a?-1
，其中
a
∈
[



]



y==a?-1+a=

）


,
当
a=


时，
y
max
=1+


④转化成：
（ ）
max
< t
，即
1+

t>