高一数学函数的最值练习题

高一数学函数的最值练习题







典例分析


题型四：函数的最值
【例1】
函数
f(x)?x
3
?3x?1
在闭区间
[?3，0]
上的最大值和最小值分别是（ ）
A．
1，?1
B．
1，?17
C．
3，?17
D．
9，?19


【例2】
已知
f(x)?2x
3
?6x
2
?a
（
a
是常数）在
[?2，
那么在
[?2，
（ ）
2]
上有最大值
3
，
2]
上的最小值是
A．
?5
B．
?11
C．
?29
D．
?37


1
【例3】
设函数
f(x)?2x??2(x?0)
则
f(x)
的最大值为 ．
x

1])
的最大值是（ ）
【例4】
函数< br>f(x)?3x?4x
3
(x?[0，
1
A．
1
B． C．
0
D．
?1

2

1
【例5】
设函数
f(x)?2x??1(x?0)
，则
f(x)
（ ）
x
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数

【例6】
对于函数
f(x)
，在使
f(x)≥M
恒成立的 所有常数
M
中，我们把
M
中的最大值称为函数
f(x)
x< br>2
?1
的“下确界”，则函数
f(x)?
的下确界为 ．
(x?1)
2

?
f(x)f(x)≤K
【例7】
设函数
y?f(x)
在
(??，
对于给定的正数
K
，定义 函数
f
K
(x)?
?
，
??)
内有定义．
f(x)?K
?
K
取函数
f(x)?2?x?e
?x
，若 对任意的
x?(??，??)
，恒有
f
K
(x)?f(x)
，则（ ）
A．
K
的最大值为
2
B．
K
的最小值为
2

C．
K
的最大值为
1
D．
K
的最小值为
1


【例8】
下列说法正确的是（ ）
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值
C．满足
f
?
(x)?0
的点可能不是函数的极值点
D．函数
f(x)
在区间
(a，b)
上一定存在最值

- 1 -

【例9】
函数
f(x)?x
4
?2x
2
?5
在区间
[?2，2]
上的最大值是 ；最小值是 ．

?
2x?e
x
,x≤0
?
【例10】
对于函数
f(x)?
?
2
，有下列命题：
1
x? 2x?,x?0
?
?2
2
①过该函数图象上一点
?
?2,f
?
?2
?
?
的切线的斜率为
?
2
；
e
2
②函数
f(x)
的最小值为
?
；
e
③该函数图象与
x
轴有
4
个交点；
④函数f(x)
在
(??,?1]
上为减函数，在
(0,1]
上也为减 函数．
其中正确命题的序号是 ．

【例11】
已知函 数
f(x)?e
x
?alnx
的定义域是
D
，关于函数f(x)
给出下列命题：
① 对于任意
a?
?
0,??
?
，函数
f(x)
是
D
上的减函数；
② 对于任意a?
?
??,0
?
，函数
f(x)
存在最小值；
③ 存在
a?
?
0,??
?
，使得对于任意的
x? D
，都有
f(x)?0
成立；
④ 存在
a?
?
? ?,0
?
，使得函数
f(x)
有两个零点．
其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）．

2
?
上是减函数，那么
2b?c
（ ）
【例12】
已知
f(x)?x
3
?2bx
2
?cx?1
在区间
?
?1，
15151515
A．有最大值
?
B．有最大值 C．有最小值
?
D．有最小值
2222

【例13】
求
f(x)?x
3
?3x
2
?9x? 5
在
[?4，4]
上的最大值和最小值．

4
【例14】
已知函数
f(x)?x?
2
．
x
⑴ 求函数
f(x)
的单调递减区间；
⑵ 当
x?[1，4]
时，求函数
f(x)
的最大值和最小值．
2])
的最大值为
3
，最小值为
?29
，求
a
、
b
的值．
【例15】
已知函数
f(x)?ax
3?6ax
2
?b(x?[?1，

1
【例16】
已知 函数
f(x)?ax
3
?2x
2
，其中
a?0
．若
f(x)
在区间
[?1，1]
上的最小值为
?2
，求
a
的值．
3

【例17】
已知
a≥0
，函数
f(x)?(x
2
?2ax)e
x
，当
x
为何值时 ，
f(x)
取得最小值？

【例18】
设函数
f(x) ?ax
3
?bx?c
(a?0)
为奇函数，其图象在点
(1，f(1 ))
处的切线与直线
x?6y?7?0
垂直，导函数
f
?
( x)
的最小值为
?12
．
⑴求
a
，
b
，
c
的值；
⑵求函数
f(x)
的单调递增区间，并求函数
f(x)
在
[?1，3]
上的 最大值和最小值．


【例19】
设
a?R
，函数f(x)?ax
3
?3x
2
．
⑴若
x?2
是 函数
y?f(x)
的极值点，求
a
的值；
⑵若函数
g(x )?f(x)?f
?
(x)，x?[0，2]
在
x?0
处取得最大值 ，求
a
的取值范围．
⑶若函数
g(x)?f(x)?f
?
(x)
在
x?[0，2]
时的最大值为
1
，求
a
的 值．
- 2 -

【例20】
已知函数f
?
x
?
??x
3
?3x
2
?9x? a
，
⑴ 求
f(x)
的单调递减区间；
⑵ 若
f(x)
在区间
?
?2，2
?
上的最大值为
20
，求它在该 区间上的最小值．

【例21】
已知
f(x)?ax?ln(?x)，x?[?e，0)
．
⑴ 当
a??1
时，讨论
f(x)
的单调性、极值；
⑵ 是否存在实数
a
，使
f(x)
的最小值是
3
，如果存在，求出
a
的值；若不存在，请说明理由．

【例22】
设
a?0
，函数
f(x)?x
2
?a|lnx?1|
．
⑴ 当
a?1
时，求曲线
y?f(x)
在
x?1
处的切线方程；
⑵ 当
a?3
时，求函数
f(x)
的单调性；
⑶ 当a?4
，
x?[1，??)
时，求函数
f(x)
的最小值．

【例23】
设
x?3
是函数
f(x)?(x
2
?ax?b)e
3?x
(x?R)
的一个极值点．
⑴求
a
与
b
的关系式（用
a
表示
b
），并求
f( x)
的单调区间；
⑵设
a?0
，
g(x)?
?
a
2
?
求
a
的取值范围．


4x
2
?7
【例24】
已知函数
f(x)?
，
x?[0，1]
．
2?x
⑴求
f(x)
的单调区间和值域；
?
?
2 5
?
x
?
2
?[0，4]
使得
f(
?1
)?g(
?
2
)?1
成立，
?
e
．若存在
?
1
，
4
?
⑵设
a≥1
，函数< br>g(x)?x
3
?3a
2
x?2a
，
x?[0，1]
，总存在
x
0
?[0，1]
，
1]
．若对 于任意
x
1
?[0，
使得
g(x
0
)?f(x1
)
成立，求
a
的取值范围．


【例25】
已知函数
f(x)?ax?lnx
，
x?(1，e)< br>，且
f(x)
有极值．
⑴求实数
a
的取值范围；
⑵求函数
f(x)
的值域；
⑶函数
g(x)?x
3
?x?2
，证明：
?x
1
?(1，e)
，
?x
0
?(1，e)
，使得
g(x
0
)?f(x
1
)成立．


【例26】
已知函数
f
?
x< br>?
?lnx?ax?
1?a
?1
?
a?R
?
．
x
1
⑴ 当
a≤
时，讨论
f
?
x
?
的单调性；
2
1
⑵ 设
g
?
x
?
?x
2?2bx?4
．当
a?
时，若对任意
x
1
?
?
0，2
?
，存在
x
2
?
?
1，2
?
，使
f
?
x
1
?
≥g
?
x2
?
，
4
求实数
b
取值范围．


【例27】
设函数
f
?
x
?
?lnx?ln?
2?x
?
?ax
?
a?0
?

⑴当
a?1
时，求
f
?
x
?
的单调区间；
1
1
?
上的最大值为，求
a
的值． ⑵若
f
?
x
?
在
?
0，
2

- 3 -

【例28】
已知函数
f(x)?lnx?
a
．
x
⑴当
a?0
时，求函数
f(x)
的单调区间；
3
⑵若函数
f
?
x
?
在
?
1,e
?
上的最小值是
,
求
a
的值．
2

【例29】
已知
a
是实数，函数
f
?
x
?
?x
2
?
x?a
?
．
⑴若
f
?
(1)?3
，求
a
的值及曲线
y?f
?
x
?
在点
?
1，f
?
1
?
?
处的切线方程 ；
⑵求
f(x)
的极值．
2
?
上的最大值． ⑶求
f
?
x
?
在区间
?
0，

2
【例30】
已知函数
f
?
x
?
?x? ?1?alnx
，
a?0
．
x
⑴ 讨论
f
?
x
?
的单调性；
2
?
⑵ 设< br>a?3
，求
f
?
x
?
在区间
?
1， e
??
上的值域，其中
e=2.71828L
是自然对数的底数．

【例31】
已知
a
为实数，
f(x)?(x
2
? 4)(x?a)
．
⑴求导数
f
?
(x)
；
⑵若
f
?
(?1)?0
，求
f(x)
在
[?2，2]< br>上的最大值和最小值；
⑶若
f(x)
在
(??，?2)
和< br>(2，??)
上都是递增的，求
a
的取值范围．

【例32】
已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
? x?2
，
?
a?R
?

1
?
上是减函数，求
a
的最大值； ⑴ 若
f(x)
在
?
0，
1
?
的切线与两坐标轴围
1
?
，求函数
y?f(x)
图像过点
?
1，
⑵ 若
f(x)的单调递减区间是
?
?，
3
?
1
?
?
?
成图形的面积．

e
?t
)
处的切线
l
与
x
轴，
y
轴所围成的三角形的面积为
S(t)
，
【例33】
设曲线
y?e
?x
(x≥0)
在点
M (t，
⑴求切线
l
的方程；⑵求
S(t)
的最大值．

3
【例34】
已知函数
f(x)?x
3
?mx
2
?n
，
1?m?2
，
2
⑴ 若
f(x)
在区间
[?1，1]
上的最大值为1，最小值为
?2
，求
m
、
n
的值；
⑵ 在⑴的条件下，求经过点
P(2, 1)
且与曲线
f(x)
相切的直线
l
的方程；
g(x)?3x?1
2x
⑶ 设函数
f(x)
的导函数为
g (x)
，函数
F(x)??e
，试判断函数
F(x)
的极值点个6
数，并求出相应实数
m
的范围．


【例35】
在实数集
R
上定义运算
?：x?y?（x?a）(1?y)
，若f
?
x
?
?x
2
，
g
?
x< br>?
?x
，若
F
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
．
⑴求
F
?
x
?
的解析式；
⑵若
F
?
x
?
在
R
上是减函数，求实数
a
的取值范围；
5
⑶若
a?
，
F
?
x
?
的曲线上 是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切
3
线方程；若不存在，说明理由 ．
- 4 -

ax
2
【例36】
已知函数
f(x)?lnx??
?
a?1
?
x
，< br>a?R
，且
a≥0
．
2
⑴若
f
?
(2)?1
，求
a
的值；
⑵当
a?0
时，求函数
f(x)
的最大值；
⑶求函数
f(x)
的单调递增区间．


1
【例37】
已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?(a
2
?1)x?b(a,b?R)

3
⑴若
x ?1
为
f(x)
的极值点，求
a
的值；
⑵若
y? f(x)
的图象在点
(1,f(1))
处的切线方程为
x?y?3?0
，
求
f(x)
在区间
[?2,4]
上的最大值；
⑶当
a?0
时，若
f(x)
在区间
(?1,1)
上不单调，求< br>a
的取值范围．


1
【例38】
已知函数f(x)?x
3
?ax
2
?(a
2
?1)x?b(a, b?R)

3
⑴若
x?1
为
f(x)
的极值点，求
a
的值；
⑵若
y?f(x)
的图象在点
(1,f(1))
处的切线方程为
x?y?3?0
，
①求
f(x)
在区间
[?2,4]
上的最大值；
②求函数
G(x)?[f
?
(x)?(m?2)x?m]e
?x
(m?R)< br>的单调区间．


?
a
?
【例39】
已 知函数
f(x)?
?
1?
?
e
x
，其中
a ?0
．
x
??
⑴求函数
f(x)
的零点；
⑵讨论
y?f(x)
在区间
(??,0)
上的单调性；
⑶ 在区间
?
??,?
?
上，
f(x)
是否存在最小值？若存在 ，求出最小值；若不存在，请说明理
2
??
由．


【例40】
已知函数
f(x)?(x
2
?mx?m)e
x
，其中
m?R
．
⑴若函数
f(x)
存在零点，求实数
m
的取值范围；
⑵当
m?0
时，求函数
f(x)
的单调区间，并确定此时
f(x)
是否存在最小值，如果存在，求出
最小值；如果不存在，请说明理由．
?
a
?


【例41】
已知函数
f(x )??lnx
，
x?(0，e)
．曲线
y?f(x)
在点
( t，f(t))
处的切线与
x
轴和
y
轴分别交
于
A
、
B
两点，设
O
为坐标原点，求
?AOB
面积的最 大值．


【例42】
已知函数
f
?
x
?
?
1
4?x
2
．

2
⑴写出函数f
?
x
?
的定义域，并求函数
f
?
x
?
的单调区间；
- 5 -

⑵设过曲线
y?f
?
x
?
上的点
P
的切线
l
与
x
轴、
y
轴所围成的三角形的面积为
S
，求
S
的最小
值， 并求此时点
P
的坐标．


2
【例43】
函数
f(x)?1?ax
2
(a?0，x?0)
，该函数图象在点
P(x
0
，1?ax
0
)
处的切线为
l
，设切线
l
分别交
x
轴和
y
轴于两点
M
和
N
．
⑴将
?MON
（
O
为坐标原点）的面积
S< br>表示为
x
0
的函数
S(x
0
)
；
⑵若
M(x
1
，0)
，函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交于点
T(t，0)
，则
x
1
与
t
的 大小关系如何？证明你
的结论；
⑶若在
x
0
?1
处，S(x
0
)
取得最小值，求此时
a
的值及
S(x
0
)
的最小值．


【例44】 如图，曲线段
OMB
是函数
f(x)?x
2
(0≤x≤6)
的图象，
BA?x< br>轴于点
A
，曲线段
OMB
上一点
M(t，t
2
)
处的切线
PQ
交
x
轴于点
P
，交线段
AB
于点
Q
，
⑴若
t
已知，求切线
PQ
的方程；⑵求
?QAP
的面积的最大值．
y
B
Q
M
O
P
A
x


- 6 -