高中数学归纳《函数的单调性》

【知识要点】
一、判断函数单调性的方法
判断函数单调性一般有四种方法：单调四法 导数定义复合图像
1、定义法 用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设
x
1
,x
2
?D
，且
x
1
?x
2
；②作差，求
f(x
1
)?f(x
2
)
；
③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等 ）；④判断
f(x
1
)?f(x
2
)
的正负符号；⑤根据函 数单调性
的定义下结论.
2、复合函数分析法
设
y?f(u)
，
u?g(x)x?[a,b]
，
u?[m,n]
都是单调函数，则
y ?f[g(x)]
在
[a,b]
上也是单调函
数，其单调性由“同增异减”来 确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的
增减性相反，复合函数为减函数 .如下表：
u?g(x)

增
增
减
减
3、导数判断法
y?f(u)

增
减
增
减
y?f[g(x)]

增
减
减
增
设
f(x)
在某个区间
(a,b)
内有导数
f
?
(x)，若
f(x)
在区间
(a,b)
内，总有
f
?
(x)?0(f
?
(x)?0)
，则
f(x)
在区间
(a, b)
上为增函数（减函数）.
4、图像法
一般通过已知条件作出函数图像的草 图，如果函数的图像，在某个区间
D
，从左到右，逐渐上升，
则函数在这个区间
D
是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.
二、证明函数的单调性的方法
证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.

三、求函数的单调区间
求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像
1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少.
2、复合函数法:先求函数的 定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据
复合函数的单调性确定函数的单调 性.
3、导数法:先求函数的定义域
D
，然后求导
f
?
( x)
，再解不等式
f
?
(x)?(?)0
,分别和
D
求交集，
得函数的递增（减）区间 .
4、图像法:先利用 描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区
间.
四、一些重要的有用的结论
1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数y?
的单调性相减，如函数
y?x
.
2、在公共的定义域内 ，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数
?
增函数
不一 定是增函数，函数
y?x
和函数
y?x
都是增函数，但是它们的乘积函数y?x
不是增函数.
3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”.
4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问
题.
5、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数
y?f (x)
的增区间为
34
2
1
3
、
y?x
和
y?x
；偶函数在其对称区间上
x
(1,2),(3,5)
.不要写 成
(1,2)(3,5)
.
【方法讲评】
方法一
使用情景
定义法
一般适用于结构较简单的函数.
①取值，设
x
1
,x
2
?D
，且
x
1
?x
2
；②作差，求
f(x
1
)?f(x
2
)
；③变形（合并同
解题步 骤
类项、通分、分解因式、配方等）；④判断
f(x
1
)?f(x
2
)
的正负符号；⑤根据函数单
调性的定义下结论.
【例1】证明函数f(x)?x?
a
(a?0)
在区间
(a,??)
是增函数.
x

【点评】（1）本题就是利用定义判断函数单调性的典 型例题，其中关键是第三步变形，多利用因式分
解等知识,但是一定要变形到最后能判断它的符号为止. （2）有些同学在判断
f(x
1
)?f(x
2
)
的符号时， 没
有利用到
x
1
,x
2
?D
，且
x
1
?x
2
，一般情况下是有问题的，必须利用这些条件你才能确定
f(x< br>1
)?f(x
2
)
符
号. 学.科.网
【反馈检测1】讨论函数
f(x)?


【例2】已知函数
f(x)
的定义域是
x?0
的一切实数，对定义域内的任意
x
1,x
2
，都有
ax?11
(a?)
在
(?2,??)
上的单调性.
x? 22
f(x
1
x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
，且当
x?1
时
f(x)?0
，
f(2)? 1
.
（1）求证
f(x)
是偶函数；（2）
f(x)
在< br>(0,??)
上时增函数；（3）解不等式
f(2x?1)?2
.
【 解析】
(1)令x
1
?x
2
?1?f(1)?f(1)?f(1)? f(1)?0

2
令x
1
?x
2
??1?f[(? 1)?(?1)]?f(?1)?f(?1)?0?2f(?1)?f(?1)?0

令x1
?xx
2
??1?f[x?(?1)]?f(x)?f(?1)?f(?x)? f(x)?f(x)是偶函数

(2)设x
1
?x
2< br>?0?f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
2
?f(< br>x
1
)
x
2
x
1
?x
2
? 0?
x
1
?1
x
2
x
1
x
)?f (x
2
)?f(x
2
)?f(
1
)?f(x
2)

x
2
x
2
x
1
)?0?f(x< br>1
)?f(x
2
)?0
x
2

x?1时，f(x)?0?f(
?函数在（0，+?）上是增函数

【点评】（1）本题是对抽象函数的单调性的判断和证明，其实和具体的函数的单调性的判断和证明的
方法本质上是一样的.区别在于一个有解析式，一个没有.所以在变形和判断
f(x
1
)?f(x
2
)
的符号时，难
度要大一些，主要是充分利用已知条件 进行变形.(2)本题第2问的关键是对
f(x
1
)
的变形，要充分利用已< br>知条件“
f(x
1
x
2
)?f(x
1
)?f (x
2
)
，且当
x?1
时
f(x)?0
”，所以可 以这样拆，
f(x
1
)?f(x
2
x
x
1
)
?f(x
2
)?f(
1
)
.（3）对于抽象函数的问题 ，常用赋值法解答，即根据解题的需要，
x
2
x
2
给已知条件中的等 式的变量赋恰当的值.
【反馈检测2】已知
f(x)
是定义在区间
[?1, 1]
上的奇函数，且
f(1)?1
，若
m,n?[?1,1],m?n?0< br>有
时，
f(m)?f(n)1
?0
.（1）解不等式
f(x? )?f(1?x)
（2）若
f(x)?t
2
?2at?1
对所有 < br>m?n2
x?[?1,1],a?[?1,1]
恒成立，求实数
t
的取 值范围.



方法二
使用情景
解题步骤
导数法
一般使用于结构较复杂的函数.
先求函数的定义域，再求导
f?
(x)
，再判断
f
?
(x)
的符号，最后下结论.
2
【例3】已知函数
f(x)?(a?1)lnx?ax?1

（1）讨论函数
f(x)
的单调性；
（2）设
a??1
. 如果对任意
x
1
,x
2
?(0,??)
，
|f(x
1
)?f(x
2
)?4|x
1
?x
2
|< br>，求
a
的取值范围.

（2）不妨假设< br>x
1
?x
2
，而
a
＜-1，由（1）知在（0，+∞ ）单调减少，从而
?x
1
,x
2
?(0,??)
，
f(x
1
)?f(x
2
)?4x
1
?x
2

等价于
?x
1
,x
2
?(0,??)
，f(x
2
)?4x
2
?f(x
1
)?4x
1< br> ①
a?1
?2ax?4

x
a?1
①等价于
g(x)
在（0，+∞）单调减少，即
?2ax?4?0
.
x
令
g(x)?f(x)?4x
，则
g'(x)?
?4x? 1(2x?1)
2
?4x
2
?2(2x?1)
2
???2< br> 从而
a?
2x
2
?12x
2
?12x2
?1
故
a
的取值范围为
(??,?2]
.
【点评】（1）函数的问题，必须注意定义域优先的原则，所以利用导数求函数的定义域也必须先考虑< br>函数的定义域.（2）对于参数的问题注意分类讨论和分离参数,第1问利用了分类讨论的数学思想，第2
问利用了分离参数的方法. 分类讨论和分离参数是处理参数问题很常用的两种重要方法.
【反馈检测3】已知函数
f(x)?lnx?ax?
(1)当
a?
1 ?a
?1
(a?R)
.
x
1
时，讨论
f(x)
的单调性；
2
1
2
（2）设
g(x)?x?2bx?4.
当
a?
时，若对任意
x
1
?(0,2)
，存在
x
2
?
?
1, 2
?
，使
f(x
1
)?g(x
2
)
，4
求实数
b
取值范围.
【例4】 设函数
f
?
x
?
?sinx?cosx?x?1
，
0?x?2
?
，求 函数
f
?
x
?
的单调区间与极值.

【点评】对于三角函数，也可以利用求导的方法求函数的单调区间和极值，它们的方法是一样的.
【反馈检测4】 某地有三家工厂，分别位于矩形
ABCD
的顶点
A,B及
CD
的中点
P
处，已知
，且
A,B
AB?2 0km
,
CB?10km
，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形
ABCD
的区域上（含边界）
与等距离的一点
O
处建造一个污水处理厂，并铺设排污管 道
AO,BO,OP
，设排污管道的总长为
y
km
．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设
?BAO?
?
(rad)
，将
y
表示成
?
的函数关系式；
②设
OP
?x
(
km
) ，将
y
表示成
x
的函数关系式．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．








【反馈检测5 】函数
f(x)
的导函数
f'(x)
，对
?x?R
，都有< br>f'(x)?f(x)
成立，若
f(ln2)?2
，则
满足不等式f(x)?e
的
x
的范围是（ ）
x
D
O
P
C
A
B

A．
x?1
B．
0?x?1
C．
x?ln2
D．
0?x?ln2

< br>【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数
f(x)
在R上是增函数，
g(x)?xf(x)
.若
a?g(?log
2
5.1)
，
b?g(2
0.8
)
，
c?g(3)
，则a，b，c的大小关系为（ ）
（A）
a?b?c


方法三
使用情景
解题步骤
合函数的单调性确定函数的单调性.
【例5】【
2017
课标
II
，文
8
】函数
f(x)?ln(x?2x?8)

的单调递增区间是（

）

A.
(??,?2)
B.
(??,?1)
C.
(1,??)
D.
(4,??)

2
（B）
c?b?a
（C）
b?a?c
（D）
b?c?a

复合函数分析法
较简单的复合函数.
先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复

【点评】（1）函数的问题，不管是具体函数，还是抽象的函数，都要注意“定义域优先”的原则.所
以 求函数的单调区间，首先必须求函数的定义域. （2）分解函数时，要把函数分解成一些初等函数,才能
比较熟练地写出这些内层函数的单调性.
【反馈检测7】 已知函数
f(x)?sin
2
wx?3sinwxsin (wx?
轴右侧的第一个最高点的横坐标为
?
2
)?2cos
2wx

x?R(w?0)
，在
y
?
.
6(1)求
w
；(2)若将函数
f(x)
的图象向右平移
?
个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原
6
来的4倍，纵坐标不变，得到函数
y?g(x)
的图象，求函数
y?g(x)
的最大值及单调递减区间．
方法四 图像法

使用情景
解题步骤
函数的图像比较容易画出.
一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个 区间，从左到右，逐渐
上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数 .
【例6】求函数
f(x)??x?|x|
的单调区间.
2

【点评】函数的同种单调区间之间一般不用“”连接，一般用“，”隔开.
【反馈检测8】 已知函数
f(x)是定义在R上的偶函数，当x?0时f(x)?x(x?1),

（ 1）求函数
f(x)
的解析式；（2）若
f(x)
=2，求
x
的值；
（3）画出该函数的图像并根据图像写出单调区间.




高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第06讲：
函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法参考答案

【反馈检测1答案】当
a?
11
时，原函数是增函数；当
a?
时，原 函数是减函数.
22

【反馈检测2答案】（1）
0?x?
【反馈 检测2详细解析】
1
；（2）
t?0或t?2或t??2

4
(1)设1>x
2
?x
1
??1,?f(x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)?f(?x
1
)?(x
2
?x
1
)
f(x
2
)?f(?x
1
)f(x2
)?f(?x
1
)
由已知得?0
x
2
?(? x
1
)x
2
?(?x
1
)
f(x
2
)?f(?x
1
)

(x
2
?x
1
)< br>?(x
2
?x
1
)x
2
?x
1
?0

1
?
?
?1?x?
2
?1
?
1 1
?f(x
2
)?f(x
1
)?0?函数在定义域内单调递增。f( x?)?f(1?x)?
?
?1?1?x?1?0?x?
24
?
1< br>?
x??1?x
2
?
(2)由题得f(x)
max
? t
2
?2at?1?f(1)?t
2
?2at?1?1?t
2
?2at?1

2
?
?
2t1?t?0
?t?2at?0 ?2ta?t?0?
?
?t?0或t?2或t??2

2
?
?
2t(?1)?t?0
22
【反馈检测3答案】（1）当
a?0
时 ，函数
f(x)
在
(0,1)
单调递减，
(1,??)
单调 递增；当
a?
1
时
x
1
?x
2
，
2
h(x)?0
恒成立，此时
f
?
(x)?0
，函数
f(x)
在
(0,??)
单调递减；当
0?a?
1
时，函 数
f(x)
在
(0,1)
单
2
1117
?1)单调递增，
(?1,??)
单调递减. （2）
[,??)
.
aa8
1?a
【反馈检测3详细解析】(1)
f(x)?lnx?ax??1(x?0 )
，
x
调递减，
(1,
la?1?ax
2
?x? a?1
(x?0)
. 所以
f
?
(x)??a?
2
?
2
xxx

令
h(x)?ax?x?1?a(x?0)

（1）当
a?0
时，
h(x)??x?1(x?0)
，当
x?(0,1),hx(?)
函数
f(x)
单调递减；当
0,f
?
x(?)
,
02
x?(1,??),h(x)?0,f
?
(x)?0
，函数
f (x)
单调递增.

1
时，
f(x)
在（0，1）上是减 函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意
x
1
?(0,2)
，
4
11
有
f(x
1
)?f(1)?-
，又已知存在
x
2
?
?
1,2
?
，使
f(x
1
)?g(x
2
)
，所以
??g(x
2
)
，
x
2
?
?
1,2
?
，（※）
22
（2） 当
a?
又
g(x)?(x?b)?4?b,x?[1,2]

当b?1
时，
g(x)
min
?g(1)?5?2b?0
与（※） 矛盾；
2
当
b?
?
1,2
?
时，
g(x )
min
?g(1)?4?b?0
也与（※）矛盾；
22
当
b?2
时，
g(x)
min
?g(2)?8?4b??
综上，实数
b
的取值范围是
[
117
,b?
.
28
17
,??)
.
8
【反馈检测4答案】(1) y?
?
?
20?10sin
?
?
?10
?0?
?
?
?
；
y?x?2x
2
?20x?20 0
?
0?x?10
?
.
4
?
cos
?
?

(2) 点
P
位于线段
AB
的中垂线上，且距离
AB
边
103
km处.
3

（2）选择函数模型①，
y?
令
y?
0 得sin
??
当
?
?
?
0,
'
'
?10cos< br>?
cos
?
?
?
20?10sin
?
??< br>?sin
?
?
10
?
2sin
?
?1
?
?

22
cos
?
cos
?
1
?
?
，因为
0?
?
?
，所以
?
=， < br>46
2
?
?
?
?
6
?
?
时 ，
y?0
，
y
是
?
的减函数；当
?
?< br>?
'
?
?
??
?
,
?
时，
y
'
?0
，
y
是
?
的增函数，所以当
?
=
6
?
64
?
103
km
处.
3
时，
y
min
?10?103
.这时点
P
位于线 段
AB
的中垂线上，且距离
AB
边
【反馈检测5答案】C
f(x)f'(x)e
x
?f(x)e
x
f'(x)?f(x)
（ x）?
x
,F（?x）???0
【反馈检测5详细解析】设
F
2< br>x
x
ee
?
e
?
∴
F
在定义域R
上单调递增，不等式
f(x)?e
即
F（x）（x）?1
，< br>即
F（x）?F
?
ln2
?
,?x?ln2
，选C.
【反馈检测6答案】C
x
f(ln2)?2,?F(ln2)?1

【反馈检测7答案】（1）
w?1
；（2）函数取得最大值
的单调递减区间．
【反馈检测7详细解析】(1)
f(x)?
5410
，
x?[4k< br>?
?
?
,4k
?
?
?
]
，
k?z
为函数
233
313
?
3
sin2wx?cos2w x??sin(2wx?)?

22262
令2wx?
?
6
?
?
2
，将
x?
?
6
代入可得
w?1.
(2)由(1)得
f(x)?sin(2x?
当
x?4k
?
?
即
x?[4k
?
?
?
6
)?
3 1
?
3
.经过题设的变化得到的函数
g(x)?sin(x?)?

2262
45
?
1
?
3
?
，
?
,k?z
时，函数取得最大值.令
2k
?
??x??2k
?
?
322262
410
?
,4k
?
?
?< br>]
]，
k?z
为函数的单调递减区间．
33
?
x< br>2
?x(x?0)
?
【反馈检测8答案】（1）
f(x)?
?
； （2）
x?2
或
x??2
；
2
?
?
x?x(x?0)
（3）函数的单调减区间为
（-?，-），（0，）.
单 调增区间为
(?
1
2
1
2
11
.
,0) ,(,??）
22
2
（1）设x?0,则?x?0,?f(?x)??x(?x?1） =x?x
【反馈检测8详细解析】
?
x
2
?x（x?0)
?
f(x)是偶函数?f(?x)=f(x) ?f(x) =x?x

?f(x)?
?
2

?
?
x?x(x?0)
2
（2）当x?0时，x
2
?x?2?x
2
?x?2?0

?(x?2)(x?1)?0?x??2或x?1(舍去）?x??2

当x?0时，x
2
-x?2?x
2
-x?2?0

?(x-2)(x+1)?0?x?2或x?-1(舍去）?x?2

综合得x??2或x?2

(3)作出函数的图像，如图所示，








所以函数的单调减区间为
（-?，-),(0，）.
单调增区间 为
(?


1
2
1
2
11

,0),(,??）
22