高一数学函数零点专题训练自己(一)

高一数学函数零点专题训练
一、方程的根与函数的零点
1、函数 零点的概念：对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0

成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。 2、函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实 数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即：方 程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：

○
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；

○
2 （几何法）对 于不能用求根公式的方程，可以将它
与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用函数 的性质找出
零点．(即两个函数图象有多少个交点就有多少个零点)
4、二次函数的零点：
2
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
．
2
（1）△ ＞０，方程
ax?bx?c?0
有两不等实根，二次
函数的图象与
x
轴有两个交点，二次函数有两个零
点．
2
ax?bx?c?0
有两相等实根 ，二（2）△＝０，方程
次函数的图象与
x
轴有一个交点，二次函数有一
个二 重零点或二阶零点．
2
ax?bx?c?0
无实根，二次函数（3）△＜０，方程< br>的图象与
x
轴无交点，二次函数无零点．
5、 零点存在性定理：
如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条曲
线，并且有
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
，那么函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
内有零点，
即存在
c ?
?
a,b
?
，使得
f
?
c
?
? 0
，这个
c
也就是方程的根.

1

6、求函数零点所在区间的方法:利用零点存在性定理，
或数形结合思想.
7、
知函数零点个数求参数的范围。

二、．幂函数：
?
+?）上递减，不过原点；
?
?
?0,在(0，
?
单调性
?
?
?
?0,在[0,+?）上递增，过原点
?
?
y?x< br>?
?
?
为奇数时，为奇函数；
?
?
奇偶性
?
?
为偶数时，为偶函数；
?
?

在同一直角坐标系内函数图象如下：




一、选择题
2
1、如果二次函数
y?x?mx?(m?3)
有两个不同的零点，则
m
的
取值范围是
A．
?
?2,6
?
B．
?
?2,6
?
C．
?
?2,6
?
D．
?
??,?2
??
6,??
?
:Z&xx
2 ．直线
y?3
与函数
y?x
2
?6x
的图象的交点个数为（ ）
A．
4
个 B．
3
个 C．
2
个 D．
1
个
3．下列函数不存在零点的是( )
1
A．y＝x－
x
B．y＝2x
2
－x－1
?
?
x
＋1 ?
x
≤0?
C．
y
＝
?
?
x
－1 ?
x
＞0?
?


?
?
x
＋1 ?
x
≥0?
D．
y
＝
?
?
x
－1 ?
x
＜0?
?


?
4x?4,x?1
4 、函数
f
?
x
?
?
?
2
的图象和函数g
?
x?4x?3,x?1
?
x
?
?log
2
x
的图象的交
点个数是
A.4 B.3 C.2 D.1

2

?
x
2
?2x?3,x?0
5、函数
f
?
x
?
?
?
的零点个数为（ ）
?
?2?lnx,x?0
A．0 B．1 C．2 D．3
2
6.函数
f(x)?ax?bx?c，若
f(1)?0,f(2)?0
，则
f(x)
在
(1,2)< br>上零点
的个数（ ）
A.至多有一个 B.有一个或两个
C.有且只有一个 D.一个也没有
7.下列图象表示的函数中没有零点的是( )

8、函
f(x)?2
x
?x
2
数的零点个数是（ ）
A、 1 B、 2 C 、 3 D、 4
f(x)?
1
x?lnx(x?0),
3
y?f(x)
数则 9、设函
A、在区
(
1
,1),(1,e)
间内均有零点。
e
1
(
B、在区
e
,1),(1,e)
间内均无零 点。
1
e
1
(
D、在区
e
,1)
间内无 零点，在区间
(1,e)
内有零点。
C、在区
(,1)
间内有零点，在区间
(1,e)
内无零点。 2
10、函数
f(x)?mx?2x?1
有且仅有一个正实数的零点，则实数m
的取值范围是（ ）
A
(??,1]
B
(??,0]?
?
1
?


3

C
(??,0]?(0,1]
D
(??,1)


10、设
f(x)
是连续的偶函数，且 当
x?0
时，
f(x)
是单调函数，则满足
f(x)?f(
x?3
)
的所有
x
之和为（ ）
x?4
A -3 B 3 C -8 D 8
?
1
?
11、已知函数
f(x)?
??
?log< br>2
x
，若实数
x
0
是函数
f(x)
的零点， 且
0?x
1
?x
0
,
则
?
3
?
f(x
1
)
的值是（ ）
A恒为正值 B 等于0 C恒为负值 D 不大于0
x
12、．函数
f
?
x
?
?e
x
?x?2
的零点所在的一个区间是（ ）
A．
?
?2,?1
?
B．
?
?1,0
?
C．
?
0,1
?
D．
?
1,2
?

13.设m，k为整数，方程
mx
2
?kx?2?0
在区间（0,1）内有两个不同的根，则
m+k的最小值为
（A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13
?
x?1(x≤0)
14、、已知函数
f(x)?
?
，,则函数
y?f[f(x)]?1
的零点个数是 （ ）
logx(x?0)
?
2
A．4 B．3 C． 2 D．1

15.已知函数f(x)＝mx
2< br>＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，
则实数m的取值范围是( )
A．(0,1] B．(0,1) C．(－∞，1) D．(－∞，1] < br>16．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α、β是函数f(x)的两个零点，则实数a、b 、
α、β的大小关系可能是( )
A．a<αx
x
D．α?
1
?
17、设
a，b，c
均为正数分别是三个函数，且
2?log
1
x
，
??
?log
1
x
，
?
2
?
2
2

4

?
1
?

??
?log
2
x
的零点则
?
2
?
（A）
a?b?c
（B）
c?b?a
（C）
c?a?b
（D）
b?a?c

x

18、若
a?b?c
,则 函数
f
?
x
?
?
?
x?a
??
x ?b
?
?
?
x?b
??
x?c
?
?
?
x?c
??
x?a
?
的
两个零点分
别位于区间 ( )
A.
?
a,b
?
和
?
b,c
?
内B.
?
??,a
?
和
?
a,b
?内 C.
?
b,c
?
和
?
c,??
?
内 D.
?
??,a
?
和
?
c,??
?
内 < br>19、函数
f
?
x
?
?2lnx
的图像与函数
g
?
x
?
?x
2
?4x?5
的图像的交点个数为
A.3 B.2 C.1 D.0
1
?
x??2,x?(0,1)
?
20、已知
f< br>?
x
?
?
?
x
，若
f
?
x
?
?t
有两个根，则
t
的取值范围
?
1?e
1?x
,x?1
?
是（ ）
（A）
t
＞0 （B）
t
≥0 （C）0＜
t
＜1（D）0≤
t
≤1
21、函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点一定位于区间（ ）.
A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5)

22、已知函数
y?f(x)(x?R)
满足
f(x?3)?f(x?1)
，且
x
∈[－1,1]时，
f(x)?|x|
，则
y?f(x)
与
y?log
5
x
的图象交点的 个数是 ( ）
A．3 B，4 C．5 D．6
二、填空题
1、已知定义在R上的奇函数
f(x)
满足
f (x?4)??f(x)
，且在区间
[0,2]
上是增函数.
若方程
f(x)?m(m?0)
在区间
[?8,8]
上有四个不同的根
x
1
，
x
2
，
x
3
，
x
4
，
则
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
=________________.
2、若函数
f(x)?a
x
?x?a
(
a?0
且
a?1
)有两个零点，则实数
a
的取值范围

5

是
?
2
x?2
?
,
3．已知函数
f(x)?
?
x若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，
?
(x?1)
3
,x ?2
?
则数k的取值范围是_______
4．直线
y
＝1与曲线
y?x
2
?x?a
有四个交点，则
a
的取值范围是 。
x
5、已知函数
f
?
x
?
?x?2
，
g
?
x
?
?x?lnx
，
h
?
x
?
?x?x?1
的零点分别为
x
1
、
x
2
、
x
3
，
则
x
1
、
x
2
、
x
3
从小到大的顺序为_______。
6、已知：
0 ?a?1,
则方程
a
x
7、已知函数
f(x)?
?
?
?log
a
x
的零点有 个，
log
2
x?a,x?0
，如果函数
y?f(x)?x
有且只
x
x?0
?
2?a,
有一个零点，则
a
的取值范围 ，
8、已知函数
0 ?x?2
?
log
2
x,
?
f(x)?
?
?
1
?
x
3
，如果函数
g(x)?f(x)?k
有
x?2
?
??
?,
?
?
2
?
4< br> 两个不同的零点，则
k
的取值范围
9、已知函 数
?
lgx,
?
?
f(x)?
?
?
lg( 3?x),
?
?
x?
3
2
，如果函数
f(x)=k
没有零
3
x?
2
点，则
k
的取值范围
10、已知函数
f(x)?
?
?
2?x,x?a
，恰好有三 个不同的零点，
2
?
x?3x?2,x?a
则
a
的取值范围
11、已知函数
?x,x?m
，(
m?0
)，如果函数
f( x)?
?
2
x?2mx?4m,x?m
?
f(x)=k
有三 个不同的零点，则
k
的取值范围

6

三、解答题
1、.已知关于x的方程ax
2
－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，
(1)方程有一正一负两根；
(2)方程的两根都大于1；
(3)方程的一根大于1，一根小于1.

专题：函数的性质及应用
分析 ：令f（x）
ax
2
－2(a＋1)x＋a－1
，（1）由
x
1
?x
2
?
a?1
?0
求得a的范围．
a?
?(?2a?2)
2
?4a(a?1)?0
?
?
a? 1
?0
（2）由
?
a
，求得a的范围．
?
??
f(1)?a?2(a?1)?a?1?0
（3）当a＞0时，由f（1）＜0，且a＞ 0，求得a的范围；当a＜0 时，由f（1）＞
0，求得a的范围．再把这两个a的范围取并集，即得所求．

解答： 解：关于x的方程
ax
2
－2(a＋1)x＋a－1＝0
， 令f（x）=
ax
2
－2(a＋1)x＋a－1＝0
，
a?1< br>?0
，解得0＜a＜1，故当0＜a＜1时，该方程有一正一负两根．（1）由
x
1
?x
2
?

a
?
?(?2a?2)
2
?4a(a?1)?0
?
?
a?1
?0
（2）由
?
a
，解得a∈?，∴不存在实数a使方程的两根都
?
?
?
f (1)?a?2(a?1)?a?1?0
大于1．
（3）由f（1）=a-2（a+1）+a-1＜0，且a＞0，求得 a＞0；
由f（1）=a-2（a+1）+a-1＞0，且a＜0，求得a无解．
综上，当 a＞0时，方程的一根大于1，一根小于1．

变式训练 已知关于x的二次方程x
2
+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.



7

2、若关于x的方程
x
2
?2
?
m?3
?
x?2m?14?0
有两个实数根，且一个根小于1，另一个根
大于 3，求实数
m
的取值范围。






3、若函数
f
?
x
?
?ax
2
?x?1< br>在
?
0,1
?
内有一零点，求
a
的取值范围。 分析：把函数的零点问题转化为方程的根。此函数恰有一零点，即方程
ax?x?1?0
在
?
0,1
?
内有一个根。可分为以下三种情况：
(1)
a ?0
(2)
??0,在
?
0，1
?
内有一解
(3)
??0,
且根在
?
0,1
?
内
解：由题意得
令
ax?x?1?0
，因为最高次项系数是常数，所以首先要讨论最高次项系 数为0
的情况。
(1)当
a?0
时，解得
x??1
,不在
?
0,1
?
内，
?
不符合题意
(2)方程有两个根，且有一个根在
?
0,1
?
内，即
2
2
a??
1
?
??0
4

?

?a?2

a?2
?
f
?
0
?
?f
?
1
?
(3)当方程有两个相等的根时 ，即
??0
，解得
a??

?a??
1
，解 得
x??2
，不在
?
0,1
?
内。
4
1

4
2
综上所述，当函数
f
?
x
?
?ax?x?1
在
?
0,1
?
内有一零点时 ，
a?2

4、已知方程
mx
2
?
?
2m ?3
?
x?4?0
只有一个正根，且这个根小于1，求实数
m
的取< br>值范围。
分析：最高次项系数是常数，首先要讨论
m?0
的情况，此时要保证 是正根且小于1。
当
m?0
时，二次方程只有一个正根(
??0
), 且此根小于1，或有一正根(小于1)和一负根
(或一零根)。
解：由题意得
4
，不合题意。
3
(2)当
m?0
时，显然
x?0
不是方程的根
(1)当
m?0
时，解得
x?
题意中只有一个正根，可以分以下两种情况：
7?210
??0
m?
?
2
?
I
?
?

?
此方程组无解
?
0??
b
?1

33
?
2a
?
?m?
42

8

?
II
?
方程有两个根，其中
x
1
?0,x
2
?0
?
?已经讨论0不是它的根
?

1
?
f
?
0
?
?f
?
1
?
?0
1
m??
?m??
即
?

3
xx?0
3
12
?
m?0
1
所以，当< br>m??
时，方程
mx
2
?
?
2m?3
?x?4?0
只有一个正根，且这个根小于1。
3


9