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高中数学对数函数整理版

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 17:28
tags:高中数学函数

高中数学必四课后答案-高中数学怎么学画图


一、复习引入:
1、指对数互化关系:

1.对数函数的定义:
函数
y?log
a
x
(a?0且a?1)
叫做对数函数;它 是指数函数
y?a
x

(a?0且a?1)
的反
函数
对数函数
y?log
a
x

(a?0且a?1)
的 定义域为
(0,??)
,值域为
(??,??)

2.对数函数的图象
由于对数函数
y?log
a
x
与指数 函数
y?a
互为反函数,所以
y?log
a
x
的图象与y?a
xx
的图象关于直线
y?x
对称因此,我们只要画出和
y ?a
x
的图象关于
y?x
对称的曲线,
就可以得到
y?lo g
a
x
的图象,然后根据图象特征得出对数函数的性质
4
4
3
3
2
1
-6-4-2
2
1
1
1
A
0
1
-1
-2
246
-2
0
-1-2
1
246
-3
-3





3.对数函数的性质
由对数函数的图象,观察得出对数函数的性质见P87 表

3
2.5
a>1
3
2.5
02
2
1.5
1.5


1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1< br>2345678
-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5


定义域:(0,+∞)

值域:R


过点(1,0),即当x=1时,y=0
x?(0,1)

y?0

x?(1,??)

y?0

在(0,+∞)上是增函数
x?(0,1)

y?0

x?(1,??)

y?0

在(0,+∞)上是减函数
例1
.求函数
y?
log
1< br>x?1
2
4x?1
的定义域.
1
?
x?
?
?
4
11
1
?
4x?1?0
?
解:
logx?1

?
x?
∴函数的定义域为
{x0?x?且x?}.

?
1
24
2< br>?
x?0
?
2
?
x?0
?
?
点评: 求函数的定义域,往往可转化为解不等式.
例2
.比较下列各组数的大小,并说明理由.
(1)
log
1
0.7与log
1
0.8
. (2)
log
8
?
与log
8
3.
(3)
log
0.6
33
1
与log
0.8
3.

4
解:(1)
?0?
1
?1,y?log
1
x是减函数,
?log
1
0.7?log
1
0.8.

3
3
33
(2)
?1?8,?y?log
8
x
是增函数,
?log
8
?
?log
8
3.

(3)
log
0.6
11
?0,log
0.8< br>3?0,?log
0.6
?log
0.8
3.

44
例3
.求函数
y?log
2
(x
2
?5x?6)< br> 定义域、值域、单调区间.
解:定义域为
x?5x?6?0?x?3或x?2.

2
51
?u?x
2
?5x?6?(x?)
2
?
(x>3或x<2),由二次函数的图象可知(图象
24
略)
0<u<+∞,故原函数的值域为(-∞,+∞).
原函数的单调性与u的单调性一致.∴原 函数的单调增区间为(3,+∞),单调减区
间为(-∞,2).
例4
.设函数f(x)?
11?x
?lg.
,试判断函数f(x)的中单调性,并给出证明;
x?21?x


?
1?x
?0
?
?
1 ?x
解:(1)由
?
解得函数f(x)的定义域为(-1,1).
?x?2?0
?
?

?1?x
1
?x
2
?1,

f(x
1
)?f(x
2
)?(
1?x2
1?x
1
11
?)?(lg?lg)

x
1
?2x
2
?21?x
2
1?x
1
=
x1
?x
2
(1?x
1
)(1?x
2
)

?lg
(x
1
?2)(x
2
?2)(1?x
1)(1?x
2
)
x
1
?x
2
?0,

(x
1
?2)(x
2
?2)

?(x
1< br>?2)(x
2
?2)?0,x
1
?x
2
?0,?又(1+
x
1
)(1?x
2
)?0,(1?x
1
)(1?x
2
)?0,

?0?
(1?x
1
)( 1?x
2
)1?x
1
?x
2
?x
1
x2
(1?x
1
)(1?x
2
)
??1?lg?0.
(1?x
1
)(1?x
2
)1?x
2
?x< br>1
?x
1
x
2
(1?x
1
)(1?x
2
)
?f(x
2
)?f(x
1
)?0,

f(x
2
)?f(x
1
).

故函数f(x)在区间(-1,1)内是减函数.
例5
.若函数
f(x)? log
1
(x
2
?ax?1)

2
(1)若函数的定义域为R,求a的取值范围.
(2)若函数的值域为R,求a的取值范围.
(1)若函数在
(??,1?3)
上是增函数,求a的取值范围.
解:(1 )定义域为R,是指不等式
x?ax?1?0
的解集为R,即
??a?4?0
?

22
?2?a?2.

(2)值域为R,是指
u?x?ax?1
能取遍(0,+∞)中的所有的值.∴只需
2
??a
2
?4?0

a?2

a??2 .

(3)
u(x)?x?ax?1

(??,1?3)
上 为减函数且大于0,由图象可知:
2
?
1?33
?
(1?3)?a (1?3)?1?0
1
?2(1?3)?a?.

?
a?1?3
2
?
?
2
2
习题 :
1、 如果
lgx
=
lga
+3
lgb
-5
lgc
,那么 ( )
ab
3
3abA.
x
=
a
+3
b

c
B.
x?
C.
x?
5
D.
x
=
a
+
b
3

c
3
5c
c


2
x?4
2、 求函数f(x)=的定义域.
2
lg(x?2x?3)
(定义域为
{x|x ??1?5或?1?5?x??3或x?2})

3、 定义在全体实数上的奇函数
f (x)?a?
1
,
要使
f
x
2?1
?1

(x)?1,
求x的取值范围.
11
((?,))

26

4、 求
y?log
0.5
4x?3
的定义域
xx
?log
2
的最大值和最
24
5、 已知x满 足不等式2(log
2
x)
2
-7log
2
x+3
?
0,求函数f(x)=log
2
小值。

由2(log
2
x)
2
-7log
2
x+3
?
0解得
1
2
?
log
2
x
?
3。∵
f(x)=lo g
2
-
3
2
13
xx
?log
2
?(log
2
x?1)
(log
2
x-2)=(log
2< br>x-)-,∴当log
2
x=时,f(x)取得最小值
242
241
;当log
2
x=3时,f(x)取得最大值2。
4









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