高一数学：函数的单调性知识点+例题讲解+课堂练习

第3讲 函数的单调性
课时数量
适用的学生水平
2课时（120分钟）
√
?优秀 ?中等 ?基础较差
理解函数的单调性定义，会根据函数图象写出单调区间并判断函数
单调性．
根据定义证明给定函数在指定区间上的单调性．
教学目标（考试要求）
能讨论简单复合函数的单调性．
渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问
题的能力．
重点：函数的单调性定义，证明给定函数在指定区间上的单调性．
教学重点、难点
难点：复合函数的单调性分析．
建议教学方法

数形结合，讲练结合

资 料

教学内容
一、知识梳理
单调性定义
设函数
y
＝
f(x)
的定义域为A，区间
M?A
.
?x
，
?y
同号，
平均变化率
?x
＞0，
?y
增函数；
?x
，
?y
异号，
如果取区间
M< br>上的任意两个值
x
1
,
x
2
，改变量
?x?x
2
?x
1
＞0，则
当
?y?f(x
2
)?f(x
1
)
＞0时，就称函 数
f(x)
在区间
M
上是增函数；
当
?y?f(x
2
)?f(x
1
)
＜0时，就称函数
f(x)
在区间M
上是增函数．
如果一个函数在某个区间
M
上是增函数或是减函数，就 说这个函数在这个区
间
M
上具有单调性（区间
M
称为单调区间）．

25
?x
平均变化率＜0，
?y
减函数．

?
?


提 示

< br>函数
f(x)
、
g(x)
公共定义域指
f(x)
的定 义域与
g(x)
的定义域的交
集．
?
?


提 示


这一连串的看似
相同的结论，结合单
调函数的图象不难理
解．

二、方法归纳
在同一单调区间上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，但单调性相同的两个函数的积未必是增函数．
设
x
1
,x
2
?< br>?
a,b
?
，若有
（1）
f(x
1
)?f (x
2
)
x
＞0，则有
f(x)在
?
a,b
?
上是增函数．
1
?x
2
（2）
f(x
1)?f(x
2
)
x
＜0，则有
f(x)在
?
a ,b
?
上是减函数．
1
?x
2
在函数
f(x)< br>、
g(x)
公共定义域内，
增函数
f(x)?
增函数
g(x)
是增函数；
减函数
f(x)?
减函数
g(x)
是减函数；
增函数
f(x)?
减函数
g(x)
是增函数；
减函数
f(x)?
增函数
g(x)
是减函数．
函数的单调性常应用于如下三类问题：
（1）利用函数的单调性比较函数值的大小．
（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两
个函数的大小，求含于自 变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的
单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间 的转化．
（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值．
若函数< br>y?f(x)
在定义域
?
a,b
?
上递增，则函数值域为(< br>f(a)
，
f(b)
)；
若函数
y?f(x)
在定 义域
?
a,b
?
上递减,则函数值域为(
f(b)
，
f(a)
)；
若函数
y?f(x)
在定义域
?
a,b
?
上递增，则函数值域为 [
f(a)
，
f(b)
] ；
若函数
y?f(x)
在定义域
?
a,b
?
上递减，则函数值域为 [
f(b)
，
f(a)
]；
若函数
y?f(x)
在定义域
?
a,b
?
上递增，则函数的最大值为
f(b)
，最小值为
f(a)
；
若函数
y?f(x)
在定义域
?
a,b
?
上递减，则函数的最大值为
f(a)
， 最小值为
26

f(b)
；
?
?


提 示


利用函数的单调
性求函数的值域．这
是求函数的值域的又
一种方法．
三、典型例题精讲
［例1］若
y?ax
与
y??
b
x
在
?
0,??
?
上都是减函数，对函数
y?ax
3
?bx
的单
调性描述正确的是( )
A. 在
?
??,??
?
上是增函数 B. 在
?
0,??
?
上是增函数
C. 在
?
??,??
?
上是减函数 D. 在
?
??,0?
上是增函数，在
?
0,??
?
上是减函数
解析: 由函数
y?ax
在
?
0,??
?
上是减函数，得
a
＜0，
又函数
y??
b
x
在
?
0,??
?
上是减函数，得
b
＜0，
于是，函数
ax
3
，
bx
在
?
??,??
?
上都是减函数 ，
∴ 函数
y?ax
3
?bx
在
?
??,??< br>?
上是减函数，故选C．
【技巧提示】 熟悉函数
y?ax
，
y?ax
3
，
y?bx
，
y?
b
x
的单 调性与
a
、
b
的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性 ．
［例2］求函数
f(x)?x?1?x?3
的最大值．
解析：由
f(x)?x?1?x?3?
4
x?1?x?3
，
知函数
f(x)?x?1?x?3
在其定义域 [3，+? ?上是减函数．
所以
f(x)?x?1?x?3
的最大值是
f(3)?2
．
【技巧提示】 显然由
x?1?x?3?
4
x?1?x?3
使得问题 简单化，
当然函数定义域是必须考虑的．
又例 已知
x?
?
0, 1
?
，则函数
y?x?2?1?x
的值域是 .
解析：∵
y?x?2?1?x
在
x?
?
0,1
?
上单调递增 ，
∴ 函数
y?x?2?1?x
的值域是
?
f(0),f(1)
?
．
即
?
2?1,3
?
．
27

?
?


提 示

关于复合函数
及复合函数的单调
性问题，可由学生
先初步了解，待学
习基本初等函数
时，逐步积累，再
总结．

?
?


提 示

讨论给定函数
在指定区间上的单
调 性，通常利用单
调性的定义。作差，
变形，判别符号是
常规步骤。

资 料

f(x)?ax?
b
x
(a?0,b?0)< br>被称
为对号函数．对号函
数是奇函数，其图象
是双曲线，
y
轴 和直
线
y?ax
是其渐
近线．

再例 求函数
y?x?1?2x
的值域．
解析：∵
y?x?1?2x
在定义域
?
?
1
?
?
?
2
,??
?
?
上是增函数，
∴ 函数
y?x?1?2x
的值域为 < br>?
?
1
?
?
?
2
,??
?
?
．
［例3］函数
f(x)
在R上为增函数，求函数
y?f(x? 1)
单调递减区间．
解析：令
u?x?1
，则
u
在(－∞ ,－1
]
上递减，
又函数
f(x)
在R上为增函数，
∴ 函数
y?f(x?1)
单调递减区间为(－∞,－1
]
.
【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函
数．只要知道函数< br>x?1
的单调性，
y?f(x?1)
与
x?1
的单调性和单调 区间相
同．如果变函数
f(x)
在R上为减函数，那么函数
y?f(x?1)
的单调性与函数
x?1
的单调性相反，即函数
y?f(x?1)
单调 递增区间为(－∞,－1
]
.
又例 设函数
f(x)
在R上为减函 数，求函数
y?f(
1
x
)
单调区间．
再例 设函数f(x)
在R上为增函数，且
f(x)
＞0，求证函数
y?
1< br>f(x)
在R
上单调递减．
［例4］试判断函数
f(x)? ax?
b
x
(a?0,b?0)
在
?
0,??
?< br>上的单调性
并给出证明.
解析：设
x
1
?x
2
?0
，
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
?
x
ax
1
x
2
?b
1
?x
2
?
x
由于
x
1
?x
2
?0
1< br>x
2
故当
x?
?
?
b
?
x
?
b
?
1
,x
2
?
?
a
,??< br>?
?
时
f
?
?
1
?
?f
?
x
2
?
?0
，此时函数
f
?
x
?
在
?
?
?
a
,??
?
?
?上增函数，同理可证函数
f
?
x
?
在
?
?0,
b
?
?
a
?
?
上为减函数.
??
28

【技巧提示】
f(x )?ax?
b
要引起足够
(a?0,b?0)
是一种重要的函数模型，
x
?
b
b
?
的重视．事实上，函数
f
?
x
?
?ax?
?
a?0,b?0
?
的增函数区间为
?
??,?
?
??
x
a
??
和
?
?
b
??
b
??
b
?
,??0,,0
?< br>，减函数区间为和
?
?
．但注意本题中不能说
f
?
x
?

???
?
a
?
????
a
? ?
a
?
??
?
b
?
?
?
a
?
?
?
b
??
b
??
b
?
,< br>??0,
上为增函数，在
????
?
a
?
??
?
?
?
?
a
,0
?
?
上为减函数, < br>a
??
????
在
?
??,?
?
?
?
在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”．
2
又例：求函数
y?
x?5
的最小值．
x
2?4
解析：由
y?
x
2
?5
x
2
?4
?x
2
?4?
1
x
2
?4
?u?
1
?g
?
u
?
,
u?
?
2,??
?
,用单
u
调性的定义法易证
g
?
u
?
? u?
2
1
在
?
2,??
?
上是增函数，易求函数
y?
x?5
的
u
x
2
?4
最小值为
5
为所求．
2
x
2
?2x?a
,x?
?
1,??
?
. 若对于
x
?
?
1,??
?
,
f(x)
再例：已知函数
f
?
x
?
?
x
＞0恒成立，试求
a
的取值范围.
x
2
?2x?aa
解析：由
f(x)
＝
?x??2,x?
?
1,??
?
.
xx
当
a
＞0时，
f
?
x
?
?x?
a
?2
显然有
f(x)
＞0 在
?
1.??
?
恒成立；
x
x
2
?2x?aa
a
≤0时，由
f
?
x
?
??x??2,x?
?
1,??
?
知其为增函数，只需< br>xx
f(x)
的最小值
f(1)
＝3＋
a
＞0,解之 ，
a
＞－3.
∴当
a
＞－3时，
f(x)
＞0在
?
1,??
?
上恒成立.
［例5］已知
f(x)
是定义在R上的增函数，对x∈R有
f(x)
＞0，且
f(10)
＝1， < br>设
F(x)
=
f(x)?
1
，讨论
F(x)
的单调性，并证明你的结论．
f(x)
解析：在R上任取
x
1
、< br>x
2
，设
x
1
＜
x
2
，∴
f(x
2
)
＞
f(x
1
)
，
29

F(x
2
)?F(x
1
)?[f(x
2
)?

11
]?[f(x
1
)?]
f (x
2
)f(x
1
)
?[f(x
2
)?f(x1
)][1?
1
],
f(x
1
)f(x
2)

∵
f(x)
是R上的增函数，且
f(10)
＝1，
∴当x＜10时0＜
f(x)
＜1，而当x＞10时
f(x)
＞1；
① 若
x
1
＜
x
2
＜10，则0＜
f(x
1
)
＜
f(x
2
)
＜1，
∴0＜
f(x
1
)f(x
2
)
＜1，
∴
1?
1
＜0，
f(x
1
)f(x
2< br>)
∴
F(x
2
)
＜
F(x
1
)；
②
x
2
＞
x
1
＞10，则
f (x
2
)
＞
f(x
1
)
＞1 ，
∴
f(x
1
)f(x
2
)
＞1，
∴
1?
1
＞0，
f(x
1
)f(x
2
)
∴
F(x
2
)
＞
F(x
1
)
；
综上，
F(x)
在（－∞，10）为减函数，在（10，＋∞）为增函数.
【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题，用单调性定义解决是关
键．
［例6］已知
1
?a?1
，若
f(x)?ax
2
?2x?1
在区间[1，3]上的最大值为
3
M(a)
，最小值为
N(a)，令
g(a)?M(a)?N(a)
．
（1）求函数
g(a)
的表达式；
（2）判断函数
g(a)
在区间[
解析：（1）∵
为
x?
1
，1]上的单调性，并求
g(a)
的最小值．
3
1
?a?1
∴ 函数
f
?
x
?
的图像为开口向上的抛物线，且对称轴
3
1
?[1 ,3].

a
1
.
a
∴
f
?
x
?
有最小值
N(a)?1?
30

当2≤
111
≤3时，
a?
[
,
],
f
(
x
)
有最大值
M
?
a
?
?f
?< br>1
?
?a?1
；
a32
11
当1≤＜2时，a∈(
,1],f(x)
有最大值M（a）＝f(3)＝9a－5；
a2
111< br>?
a?2?(?a?),
?
?
a32
∴
g(a)?
?

11
?
9a?6?(?a?1).
?
a2
?
（2）设
11
?a
1
?a
2?,
则
32
g(a
1
)?g(a
2
)?(a
1
?a
2
)(1?
11
32
1
)?0,? g(a
1
)?g(a
2
),

a
1
a
2
∴
g(a)在[,]
上是减函数．
设
1
1
?a
1
?a
2
?1,
则
g(a
1
)?g(a
2
)?(a
1
?a
2
)(9?)?0,?g(a
1
)?g(a
2
),

2
a
1
a
2
∴
g(a)在(,1]
上是增函数． ∴当
a?
【技巧提示】 当知道对称轴为
x?
1
2
11
时，
g
?
a
?有最小值．
22
1
?[1,3]
后，要求
f(x)?ax2
?2x?1
在区
a
间[1，3]上的最大值为
M(a)
，最小值为
N(a)
，就必须分类讨论．本题对培养学
生分类讨论的思想有很好的作 用．第（2）问讨论一个分段函数的单调性并求最值，
也具有一定的典型性．
四、课后训练
1、函数
f(x)?x?
1
(x?0)
的单调性描述，正确的是（ ）
x
A、在(－∞，＋∞)上是增函数；
B、在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是增函数；
C、在(－∞，－1)∪(1，＋∞)上是增函数；
D、在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数
2、证明函数
f
?
x
?
＝
x
在[0，＋∞）上是增函数．
2
3、证明函数
y?4x?
11
在
[,??)
上是增函数．
x2
4、对于任意
x?R
，函 数
f
?
x
?
表示
?x?3
，
大者，则f
?
x
?
的最小值是_____________.
31 < br>31
x?
，
x
2
?4x?3
中的较
22

5、已知函数
f(x)
、
g(x)
在R上 是增函数，求证：
f(g(x))
在R上也是增函
数.
6、已知函数
f
?
x
?
?x?2x?3
，那么（ ）
2
??
2
A．
y?f
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上是增函数
B．
y?f
?
x
?
在区间
?
??,?1
?
上是增函数 C．
y?f
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上是减函数
D．
y?f
?
x
?
在区间< br>?
??,?1
?
上是减函数
7、函数
f(x)
是定 义在
[0,??)
上的单调递减函数，则
f(1?x
2
)
的 单调递增
区间是
8、函数
y?
2?x
2?x
的递减区间是 ；函数
y?
的
3x?6
3x?6
递减区间是
9、设
y?f
?
x
?
是
R
上的减函数，则
y?f
2
?
x?3
?
的单调递减区间为
10、求函数
f(x)?x?2ax?1
在区间
[0,2]
上的最值 ．
11、若函数
f(x)?x?2x?2
当
x?[t,t?1]
时 的最小值为
g(t)
，求函数
2
g(t)
当
t?[?3,? 2]
时的最值．
12、讨论函数
f(x)
＝
ax
(a?0 )
，在－1＜
x
＜1上的单调性．
2
x?1
五、参考答案
1．D 2．略
3．解析：设
x
1
＞
x
2
≥
1
，
2
1
1
－（
4x
1
?
）
x
2
x
1
则
f(x
2
)
－f(x
1
)
＝
4x
2
?
＝
4(x2
?x
1
)?
x
1
?x
2
4xx?1
＝
(x
2
?x
1
)?
12
，
x
1
x
2
x
1
x
2
1
， ∴
f(x
2
)
－
f(x
1
)
＜0
4
32
∵
x
2
?x
1
?0
，
x
1
x
2
?

∴ 函数
y?4x?
4．2
11
在
[,??)
上是增函数．
x2
5．证明：设
x
1
＞
x
2
，则
f(x
1
)
－
f(x
2
)
＞0，
g(x
1
)
－
g(x
2
)
＞0，
即
g(x
1
)
＞
g(x
2
)

于是
f(g(x
1
))
－
f(g(x
2
))
＞ 0
∴
f(g(x))
在R上也是增函数.
6．C 7．
[0,1]
8．
(??,?2)
和
(?2,??)

(?2,2]

9．
[3,??)

10．解析：函数f(x)?x
2
?2ax?1?(x?a)
2
?(a
2
?1)
，
当
a?0
时，
f(x)
在区间
[0, 2]
上的最小值为
f
min
(x)
＝
f(0)
＝－ 1

f(x)
在区间
[0,2]
上的最大 值为
f
max
(x)
＝
f(2)
＝
3?4a
；
当
0?a?1
时，
f(x)
在区间
[0,2]上的最小值为
f
min
(x)
＝
?(a
2
?1 )


f(x)
在区间
[0,2]
上的最大值为
f
max
(x)
＝
f(2)
＝
3?4 a
；
2
当
1?a?2
时，
f(x)
在区间[0,2]
上的最小值为
f
min
(x)
＝
?(a?1 )


f(x)
在区间
[0,2]
上的最大值为
f
max
(x)
＝
f(0)
＝－1；
当
a?2
时，
f(x)
在区间上的最小值为
f
m in
(x)
＝
f(2)
＝
3?4a


f(x)
在区间
[0,2]
上的最大值为
f
max
(x)
＝
f(0)
＝－1；
11．解析：因为函数
f(x)?x?2x?2
＝
(x?1)?1

当
t
≤0时，最小值
g(t)
＝
f(t?1)
＝< br>t?1
；
当0＜
t
≤1时，最小值
g(t)
＝f(1)
＝1；
当
t
＞1时，最小值
g(t)
＝f(t)
＝
t?2t?2
；
2
2
22
?t
2
?1,t?0
?
∴
g(t)?
?
1,0?t?1
，
?
t
2
?2t?2,t?1
?
33

g(t)
当
t?[?3,?2]
时的最大值为
g(?3)
＝10；最小值为
g(?2)
＝5．
12．解析：函数
f(x)
＝
ax
＝
2
x?1
a
1
x?
x

作函数
g(x)?x?
1
，
g(x)< br>为奇函数且在
(?1,0)
和
(0,1)
上都是增函数，
x
∴ 当
a
＜0时，
f(x)
在
(?1,0)< br>和
(0,1)
上都是增函数；
当
a
＞0时，
f(x)
在
(?1,0)
和
(0,1)
上都是减函数．

34