高中数学函数的切线问题

函数的切线问题
一、基础知识：
（一）与切线相关的定义
1、切 线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A。这样直线AB的极限
位置就是曲线在 点A的切线。
（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一 方面
也可理解为一个动态的过程，让切点A附近的点向
A
不断接近，当与
A< br>距离非常小时，观察
直线
AB
是否稳定在一个位置上
（2）判断一条 直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数
y?x
在
3
?
?1,?1
?
处的切线，与曲线有两个公共点。
（3）在定义中，点B
不断接近
A
包含两个方向，
A
点右边的点向左接近，左边的点 向右接近，
只有无论从哪个方向接近，直线
AB
的极限位置唯一时，这个极限位置才能 够成为在点
A
处
的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y?x
在
?
0,0
?
处，通过观
察图像可知，当
x?0
左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为
y??x
，而当
x?0
右边
的点向其无限接近时，割线的极限位置为
y?x
，两个不同的方向极限位 置不相同，故
y?x
在
?
0,0
?
处不含切线
（ 4）由于点
B
沿函数曲线不断向
A
接近，所以若
f
?
x
?
在
A
处有切线，那么必须在
A
点及其
附近有 定义（包括左边与右边）
2、切线与导数：设函数
y?f
?
x
?< br>上点
Ax
0
,f
?
x
0
?
,
f
?
x
?
在
A
附近有定义且附近的点
??
B
?
x
0
??x,f
?
x
0
??x?
?
，则割线
AB
斜率为：
k
AB
?
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
f
?
x
0
??x
?
?f
?x
0
?

?
?x
?
x
0
?? x
?
?x
0
当
B
无限接近
A
时，即
?x
接近于零，
?
直线
AB
到达极限位置时的斜率表示为： k?lim
?x?0
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
,
?x

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即切线斜率，由导数定义可知：
k?lim
?x?0< br>f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
?f
'
?
x
0
?
。故
f< br>'
?
x
0
?
为
f
?
x
?< br>?x
在
Ax
0
,f
?
x
0
?
处切线的斜率。这是导数的几何意义。
3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：
（1）函数的边界点：此类 点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就
无从谈起极限位置。故切线不存在，导 数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断
开处的边界值也不存在导数
（2）已知点 与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。例如前面
例子
y?x在
?
0,0
?
处不存在导数。此类情况多出现在单调区间变化的分界处， 判断时只需选
点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可
（3）若在已知点处存在切线 ，但切线垂直
x
轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。
例如：
y?< br>3
??
x
在
?
0,0
?
处不可导
综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的
点 存在切线，但没有导数。由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数 。
（二）方法与技巧：
1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑 先求出切线的斜率（切
点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程
2、若函数的导函数可求 ，则求切线方程的核心要素为切点
A
的横坐标
x
0
，因为
x
0
可“一点
两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标
f
?x
0
?
，代入到导函数中可得到切线的斜率
f
'
?x
0
?
?k
,从而一点一斜率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要 盯住切点横坐标，千
方百计的把它求解出来。
3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点 已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与
导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先 要设出切点坐标
?
x
0
,y
0
?
,再考虑
利用条件解出核心要素
x
0
，进而转化成第一类问题
4、在解析几何中也学 习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用
??0
求
出参数值进而 解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互
通。若某函数的图像为圆锥 曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，

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例如：
y?1?x
2
（图像为圆的一部分）在
??
13
?
?
处的切线方程，则可考虑利用圆的切线
?
2 2
?
,
的求法进行解决。若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在
y
轴的抛物线，可看作
y
关于
x
的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求 解（此方法也为解析几何中处理焦点在
y
轴的
抛物线切线问题的重要方法）
5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点。“在某点处的切线”意味着该点即
为切点，而 “过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点。如果该点恰好
在曲线上那就需要进行分 类讨论了。
二、典型例题
例1：求函数
f
?
x
?
?e
x
?
3x?2
?
在
x?1
处的切线方程 < br>思路：本题切点已知，代入原函数求得函数值，代入导函数中求得切线斜率，进而利用点斜
式求出 切线方程
解：
f
?
1
?
?e

?
切点坐标为
?
1,e
?

f
'
?
x
?
?3e
x
?
?
3x?2
?
e
x
?
?
3x?1
?
e
x

?f
'
?
1
?
?4e

?
切 线方程为：
y?e?4e
?
x?1
?
?y?4ex?3e

小炼有话说：切点已知时求切线方程是切线问题中较简单的一类问题，体会切点分别代入到
函数 与导函数中所起到的作用，体会切点横坐标在切线问题中的关键作用
例2：已知函数
f
?
x
?
?lnx?2x
，则：
（1）在曲线
f
?
x
?
上是否存在一点，在该点处的切线与 直线
4x?y?2?0
平行
（2）在曲线
f
?
x
?
上是否存在一点，在该点处的切线与直线
x?y?3?0
垂直
解： （1 ）思路：切点未知，考虑设切点坐标为
?
x
0
,y
0
?，再利用平行条件求出
x
0
，进而求出
切线方程
设切点坐标为
?
x
0
,y
0
?

?f
'
?
x
0
?
?
1
?2
由切线与
4x?y?2?0
平行可得：
x
0
f
'
?
x
0
?
?
11
1
?
1
?
?2?4?x
0
?

?y
0
?f
??
?ln?1

x
0
2
2
?
2
?

第 3 页 共 13 页

1
??
?
切线方程为：
y?1?ln 2?4
?
x?
?
?y?4x?ln2?1

2
??
（2）思路：与（1）类似，切点未知，考虑设切点坐标为
?
x
0
, y
0
?
，有垂直关系可得切线斜率
与已知直线斜率互为负倒数，列出方程求出
x
0
，进而求出切线方程
设切点坐标
?
x
0
,y
0
?

?f
'
?
x
0
?
?
1
?2
，直线
x?y?3?0
的斜率为
1

x
0
?f
'
?
x
0
?
?
11
?2??1?x
0
??
而
x
0
?
?
0,??
?

x
0
3
1
?x
0
??
不在定义域中，舍去
3
?
不存在一点，使得该点处的切线与直线
x?y?3?0
垂直 < br>小炼有话说：（1）求切线的关键要素为切点，进而若切点已知便直接使用，切线未知则需先
设再 求。两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条
件
（2 ）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域。在解出自变量的值或范围时也要验证其是
否在定义域内
例3：函数
f
?
x
?
?alnx?bx
上一点P2,f
?
2
?
处的切线方程为
y??3x?2ln2?2，求
2
??
a,b
的值
思路：本题中求
a,b
的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，
P
在直线
y??3x?2ln2?2
上，
?y??3?2?2ln2?2?2ln2?4
，即
f
?
2< br>?
=2ln2?4
，得到
a,b
的一个等量关系，在从切
线斜 率中得到
x?2
的导数值，进而得到
a,b
的另一个等量关系，从而求出a,b

解：
QP
在
y??3x?2ln2?2
上，< br>?f
?
2
?
??3?2?2ln2?2?2ln2?4

?f
?
2
?
?aln2?4b?2ln2?4

又因为
P
处的切线斜率为
?3

f
'
?
x
?
?
a
?2bx
x
?f
'
?
2
?
?
a
?4b??3< br>
2

第 4 页 共 13 页

?
aln 2?4b?2ln2?4
?
a?2
?
?
?
a
??

?4b??3
?
b?1
?
?
2
小 炼有话说：（1）本题中切线体现了两个作用：①切点在切线上，进而可间接求出函数值；
②切线的斜率 即为切点导数值
（2）一般来说，在求未知量的值题目中，未知量的个数与所用条件的个数相等。在本 题中确
定
a,b
两个未知量，从而想到寻找两个条件来解决问题。
例4：曲 线
y?e
在点
2,e
2
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
x
??
A.
e

思路：
f
2

'
B.
2e

2
C.
4e

2
e
2
D.
2
?
x
?
?e
x
由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线
'
方程
?f
?
2
?
?e
2
所以切线方程为：
y?e
2
?e
2
?
x?2
?
即
e
2
x?y ?e
2
?0
，
2
1e
2
2
与两坐标轴的 交点坐标为
?
1,0
?
?
0,?e
?

?S??1?e?

22
答案：D
小炼有话说：在平面直角坐标 系中，我们研究的问题不仅有函数，还有解析几何。所以在求
面积等问题时也会用到解析几何的一些理念 与方法。例如求三角形面积要寻底找高，而选择
底和高以计算简便为原则，优先使用点的坐标表示。在本 题中选择横纵截距来刻画三角形的
两条直角边有助于简化计算。
例5：一点
P
在曲线
y?x?x?
围是( )．
A.
?
0,
3
2
上移动，设点
P
处切线的倾斜角为
?
，则角
?
的取值范
3
?
?
??
?
??
3
??
3
??
?
3
?
?< br>0,U
?
,
?
?
,
?
B. C. D.
?
?
???
,
?

???
?
2
??
2
??
4
??
4
??
24
?
'2
思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。
y?3x?1
，对于曲线上任
意一点
P
，斜率的范围即为导函数的值域：
y=3x ?1?
?
?1,??
?
，所以倾斜角的范围是
'2
?
?
??
3
?
0,U
?
,
?
?
?
?

?
?
2
??
4
?
答案：B

第 5 页 共 13 页

小炼有话说：（1）对于切线而言，其 倾斜角，斜率，切点处的导数联系紧密：倾斜角的正切
值为斜率，斜率即为切点的导数值。
（2）斜率范围到倾斜角范围的转化要注意一下两点：① 斜率化倾斜角时尽量用图像进行辅
助，观察斜率变化时，倾斜角的变化程度。② 直线倾斜角的范围为
?
0,
?
?

例6：求过点
A
?
2,8
?
，且与曲线
f
?
x
?
?x
3
相切的直线方程
思路：
A
?
2,8
?满足
f
?
x
?
，但题目并没有说明
A
是否为切 点，所以要分
A
是否为切点进行分
类讨论。当
A
是切点时，易于求出 切线方程，当
A
不是切点时，切点未知，从而先设再求，
设切点
?
x
0
,y
0
?
，切线斜率为
k
，三个未知量需用三个 条件求解：①
y
0
?f
?
x
0
?
，②< br>k?f
'
?
x
0
?
，③
k?
y0
?y
A

x
0
?x
A
'
解 ：（1）当
A
?
2,8
?
为切点时
f
?
x
?
?3x
2

?f
'
?
2
?
?12

?
切 线方程为：
y?8?12
?
x?2
?
?y?12x?16

（2）当
A
?
2,8
?
不是切点时，设切点
P?
x
0
,y
0
??
x
0
?2
?
，切线斜率为
k

?
3
?
y
0
?x
0
3
?
x
0
?8
?
2
2
?
?
k?3x
0
，消去
k,y
0
可 得：
3x
0
?
x?2
0
?
y
0
? 8
?
k?
x
0
?2
?
?
32
而< br>x
0
?8?
?
x
0
?2
?
x
0
?2x
0
?4

Qx
0
?2
222
?x
0
?2x
0
?4?x
0
?x
0
?2?0

?
方程等价于：
3x
0
??
解得：
x
0
?2
（舍），
x
0
??1

?y
0
??1,k?3

?
切线方程为
y?1? 3
?
x?1
?
?y?3x?2

综上所述：切线方程为
y?12x?16
或
y?3x?2

小炼有话说：（1）由于在导数中利用极限的思想对切线进行了严格定义，即割线的极限位置
是切线，从 而不能局限的认为切线与曲线的公共点一定就是切点，存在一条直线与曲线相切
于一点，并与曲线的另一 部分相交于一点的情况，本题便是一个典型的例子
（2）在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可以用已

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知点与切点来进行表示，进而增加可以使用的条件。
例7：设函数
f
?
x
?
?x
3
?ax
2
?9x?1
?
a?0
?
，若曲线
y?f
?
x
?
的斜 率最小的切线与直线
12x?y?6
平行，求
a
的值
思路：切线斜 率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为
?12
，进而可得导函数的最
小值为
?12
，便可求出
a
的值
21
?
11
?
1
??
解：
f
'
?
x
?
?3x< br>2
?2ax?9?3
?
x
2
?a?a
2
?< br>?a
2
?9?3
?
x?a
?
?a
2
?9

39
?
33
?
3
??
1
?
1
?
?f
'
?
x
?
min
?f< br>?
a
?
??a
2
?9

Q
直线
12x?y?6
的斜率为
?12
，依题意可得： < br>3
?
3
?
2
1
?a
2
?9??12 ?a??3

Qa?0

3
?a??3

15
x?9
都相切,则
a
等于( )
4
257257
21
A.
?1
或
?
B.
?1
或 C.
?
或
?
D.
?
或
7

644644
4
15
2< br>思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线
y?ax?x?9
含有参数，所以考虑先 从
4
15
3
2
常系数的曲线
y?x
入手求出切线方 程，再考虑在利用切线与曲线
y?ax?x?9
求出
a
4
2
例8：若存在过点(1,0)的直线与曲线
y?x
和
y?ax?
3
3 2
3
的值。设过
?
1,0
?
的直线与曲线
y?x< br>切于点
x
0
,x
0
,切线方程为
y?x
0
?3x
0
?
x?x
0
?
，
3
23
即
y?3x
0
x?2x
0
，因为
?
1,0
?
在切线上，所以解得：
x
0
?0
或
x
0
?
??
3
，即切点坐标为
?
0,0
?
或< br>2
15
?
327
?
2
,
.当切点时，由与< br>y?ax?x?9
相切可得
y?0
0,0
??
??
28
4
??
25
?
327
?
?
15
?
??
??
?4a
?
?9
?
?0?a??
，同理，切点为
?
,
?
解得
a??1

64
?
28
?
?
4
?
答案：A
小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁。所以
可以考虑先 从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系
（2）在利用切线与
y? ax?
2
2
1515
x?9
求
a
的过程中，由于曲 线
y?ax
2
?x?9
为抛物线，
44
所以并没有利用导数 的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的
??0
来求
解，减少了运 算量。通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关

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导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时， 若曲线可写成函数
的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）
例9：（201 4，北京）已知函数
f
?
x
?
?2x
3
?3x，若过点
P
?
1,t
?
存在3条直线与曲线
y?f?
x
?
相切，求
t
的取值范围
思路：由于并不知道3 条切线中是否存在以
P
为切点的切线，所以考虑先设切点
?
x
0,y
0
?
，切
3
?
y?2x
?
00< br>?3x
0
线斜率为
k
，则满足
?
，所以切线方程为
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
，即
'2
?
?
k?f
?
x
0
?
?6x
0
?3
32
32
?6x
0
?3
，所以若
y?
?
2x
0
?3x
0
?
?
?
6 x
0
?3
?
?
x?x
0
?
，代入
P
?
1,t
?
化简可得：
t??4x
0
32
存在3条切线，则等价于方程
t??4x
0
?6x
0
?3
有三个解，即
y?t
与
g
?
x
?
??4x
3
?6x
2
?3
有三个不同交点，数形结合即可解决
解：设切点坐 标
?
x
0
,y
0
?
，切线斜率为
k
，则有：
3
?
?
y
0
?2x
0
?3x
0
32

?
切线方程为：
y?
?
2x
0
?3x
0
?
?
?
6x
0
?3< br>?
?
x?x
0
?

?
'2
?
?
k?f
?
x
0
?
?6x
0
?3
因为切线过
P
?
1,t
?
，所以将
P
?
1,t
?
代入直线方程可得：
32
t?
?
2x
0
?3x
0
?
?
?
6x
0
?3
?< br>?
1?x
0
?

23
?t?
?
6x
0
?3
?
?
1?x
0
?
?
?2x
0
?3x
0
?

23332
?6x
0
?3?6x
0
?3x
0
?2x
0?3x
0
??4x
0
?6x
0
?3

32
32
所以问题等价于方程
t??4x
0
?6x
0?3
，令
g
?
x
?
??4x?6x?3
即直线
y?t
与
g
?
x
?
??4x?6x?3
有三个不同交点
32
g
'
?
x
?
??1 2x
2
?12x??12x
?
x?1
?

令
g
?
x
?
?0
解得
0?x?1
所以
g
?
x
?
在
?
??,0
?
,
?
1,??
?
单调递减，在
?
0,1
?
单 调递增
'
g
?
x
?
极大值
?g
?
1
?
??1,g
?
x
?
极小值
?g
?< br>0
?
??3

所以若有三个交点，则
t?
?
?3,?1
?

所 以当
t?
?
?3,?1
?
时，过点
P
?
1 ,t
?
存在3条直线与曲线
y?f
?
x
?
相切

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例10：已知曲线
C:x?y
，点
P
在抛物线上且
P
的横坐标为
1
，过
P
作斜率为
k
?
k?0
?
的
2
直线交C
于另一点
Q
，交
x
轴于
M
，过点
Q
且与
PQ
垂直的直线与
C
交于另一点
N
，问是否存在实数
k
，使得直线
MN
与曲线
C
相切？若存在， 求出
k
的值，若不存在，说明理由。
思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解 分析。点
P
?
1,1
?
，则可求出
PQ:y?kx?k?1
，从而与抛物线方程联立可解得
Qk?1,
?
k?1
?
，以 及
M
点坐标，从
而可写出
QN
的方程，再与抛物线联立得到
N
点坐标。如果从
M,N
坐标入手得到
MN
方程，
再根据相 切
?
??0
?
求
k
，方法可以但计算量较大。此时可以着眼 于
N
为切点，考虑抛物线
?
2
?
x
2
?y
本身也可视为函数
y?x
2
，从而可以
N
为入手点先求出切 线，再利用切线过
M
代入
M
点坐标求
k
，计算量会相对小些 。
解：由
P
在抛物线上，且
P
的横坐标为1可解得
P?
1,1
?

?
k?1
?
,0
?

?
设
PQ :y?1?k
?
x?1
?
化简可得：
y?kx?k?1

?M
?
k
??
?
y?x
2
2
消去
y
：
x?kx?k?1?0

?
?
?
y?kx?k?1
?x
1
?1,x
2
?k?1

?Qk?1,
?
k?1
?

设直线
QN:y?< br>?
k?1
?
??
2
?
2
?
112
即
x?k?1y?k?1?x?
?
k?1
?
??? ?
??
?
??
???
kk
?
y?x
2?
?
联立方程：
?

1
2
x?
?< br>k?1
?
?
?
y?
?
k?1
?
?< br>?
?
k
?
?
?x
2
?
11
??
x?
?
k?1
?
?
k?1?
?
?0< br>
kk
??
1
?
1
???
?x
Q
?x
N
??
?
k?1
?
?
k?1?
?
?x
N
??
?
k?1?
?

k?
k
???
2
?
?
1
??
1
?
?
?N
?
?
?
k?1?
?
,
?
k?1?
?
?

?
?
k
??
k
?
?
??

第 9 页 共 13 页

'
由
y?x
可得：
y?2x

2
1
??
?
切线
MN
的斜率
k
MN
?y
'
|
x?x
N
??2
?
k?1?
?< br>
k
??
1
?
1
?
?
1
?
?
???
?MN:y?
?
k?1?
?
??2?
k?1?
?
?
x?
?
k?1?
?
?

k
?
k
?
?
k
?
?
???
代入
M
?
2
?
1?k
?
,0
?
得：
?
k
?
2
1
?
1
?< br>?
1
?
1
?
?
??
?
?
k ?1?
?
??2
?
k?1?
?
?
1??
?
k?1?
?
?

k
?
k
?
?k
?
k
?
?
??
?k?1?
?k?
1
?2k?k
2
?k?1?0

k
?1?5
< br>2
小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆< br>双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方
程计 算
??0
简便
（2）本题在求
N
点坐标时，并没有对方程进行因式 分解，而是利用韦达定理，已知
Q
的横坐
标求出
N
的横坐标。这种利 用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另
一交点的问题。
三、好题精选：
1、设函数
f
?
x
?
?g
?
x
?
?x
，曲线
y?g
?
x
?
在点
1,g
?
1
?
处的切线方程为
y?2x?1
，则
2
??
曲线
y?f
?
x
?
在点
1,f
?
1
?
处的切线方程为________
2、已知直线< br>y?kx?1
与曲线
y?x?ax?b
切于点
(1,3)
，则
b
的值为_________
3、若曲线
C
1
：y?x< br>与曲线
C
2
：y?ae
存在公切线，则
a
的最值情况 为（ ）
A．最大值为
2x
3
??
8484
B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为
2222
eeee2
4、已知曲线
y?x?lnx
在点
?
1,1
?
处的切线与曲线
y?ax?
?
a?2
?
x?1
相切，则< br>a?
_______

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5、设曲线
y?e
在点
?
0,1
?
处的切线与曲线y?
x
1
?
x?0
?
上点
P
处的切线 垂直，则
P
的坐标
x
为_________
6、曲线
y? e
?5x
?2
在点
?
0,3
?
处的切线方程为__ ________
7、若曲线
y?e
上点
P
处的切线平行于直线< br>2x?y?1?0
，则点
P
的坐标为__________
?xlnx
，则过原点且与函数
f
?
x
?
图像相切的直线方 程为______
x
1
2x
9、已知函数
f
?
x
?
?e?x?ax
?
a?R
?
，若函数
f
?
x
?
的图像在
x?0
处的切线方程为
2
8、已知 函数
f
?
x
?
?
y?2x?b
，则
a?< br>_______,
b?
__________



















习题答案：
1、答案：
y?4x


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