高中数学 函数知识点总结与经典例题与解析

函数知识点总结
知识点一、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴 叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴
或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公 共的原点）叫做直角坐标系的原
点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述 坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四
个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第 三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念 < br>点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”
分开，横、纵坐标 的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当
a?b
时，
（a，b）和（b，a ）是两个不同点的坐标。

知识点二、不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
?x?0,y?0

点P(x,y)在第二象限
?x?0,y?0

点P(x,y)在第三象限
?x?0,y?0

点P(x,y)在第四象限
?x?0,y?0

2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上
?y?0
，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上
?x?0
，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上
?
x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上
?
x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上
?
x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x轴、y轴或远点对称
的点的坐标的特 征
点P与点p’关于x轴对称
?
横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称
?
纵坐标相等，横坐标互为相反数

1

点P与点p’关于原点对称
?
横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
y

（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
x

22
x?y
（3）点P(x,y)到原点的距离等于

知识点三、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做
常量。
一 般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y
都有唯一确定的值与它对应，那 么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以 用一个含有这两个变量及数字运算符号的
等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种
表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起
来。

知识点四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地 ，如果
y?kx?b
（k，b是常数，k
?
0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数
y?kx?b
中的b为0时，
y?kx
（k为常 数，k
?
0）。
这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

2

一次函数
y?kx?b
的图像是经过点（0， b）的直线；正比例函数
y?kx
的图
像是经过原点（0，0）的直线。
k的b的
函数图像 图像特征
符号 符号
y



图像经过一、二、三象限，
b>0 0 x
y随x的增大而增大。




k>0
y



图像经过一、三、四象限，
b<0 0 x
y随x的增大而增大。




y





图像经过一、二、四象限，

b>0
y随x的增大而减小

0 x
k<0








y





图像经过二、三、四象限，
b<0

y随x的增大而减小。
0 x
k<0




注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数
y?kx
有下列性质：

3

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，图像从左之
右上升；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，图像从左之
右下降。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数
y?kx?b
有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
（3）当b>0时，直线与y轴交点在y轴正半轴上
（4）当b<0时，直线与y轴交点在y轴负半轴上
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式
y?kx
（k
?
0）中的常
数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式
y?kx?b
（k?
0）中的常数
k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法
知识点五、反比例函数
1、反比例函数的概念
k
一般地，函数< br>y?
（k是常数，k
?
0）叫做反比例函数。反比例函数的解
x
析式也可以写成
y?kx
?1
或xy=k的形式。自变量x的取值范围是x
?
0的一切实
数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三
象限，或第二、四象限， 它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x
?
0，
函数y
?
0， 所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限
接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比
例函
数
k的
符号
k>0
y?
k
(k?0)

x
k<0

4

y



图像
O x





y



O x



①x的取值范围是x
?
0， ①x的取值范围是x
?
0，
y的取值范围是y
?
0； y的取值范围是y
?
0；
②当k>0时，函数图像的两个分支②当k<0时，函数图像的两个分支分别
分别 在第二、四象限。在每个象限内，y
性质
在第一、三象限。在每个象限内，随x 的增大而增大。
y
随x 的增大而减小。
4、反比例函数解析式的确定
k
中，只有一个
x
待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可 求出k的值，
从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
k若过反比例函数
y?(k?0)
图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，
x
k
则所得的矩形PMON的面积S=PM
?
PN=
y?x?xy< br>。
?y?,?xy?k,S?k
。
x
知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
确定解析式 的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数
y?
一般地，如果
y?ax
2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)
，特别注意a不为零，那
么y叫做x 的二次函数。
y?ax
2
?bx?c(a,b,c是常数，a?0)
叫做二 次函数的一般式。
2、二次函数的图像
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
2a
抛物线的主要特征（也叫抛物线的三要素）：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，
二次函数的图像是一条 关于
x??

5

并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线
y?ax
2
?bx?c
与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点
C，再找到点C的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或
向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛 物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对
称点D。由C、M、D三点可粗略 地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确
的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点 ，画出二次函数的图像。
知识点七、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：
y?ax
2
的性质：
开口方
向
顶点坐
标
对称
轴
a
的符号 性质
x?0时，
y
随
x
的增大而增大；
x?0
时，
a?0

向上
?
0，0
?

y
轴
y
随
x
的增大而减小；
x?0
时，
y
有最小
值
0
．
x?0
时，
y
随
x
的增大而减小 ；
x?0
时，
a?0

向下
?
0，0
?

y
轴
y
随
x的增大而增大；
x?0
时，
y
有最大
值
0
．
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.
y?ax
2
?c
的性质：
二次函数
y?ax
2< br>?c
的图像可由
y?ax
2
的图像上下平移得到（平移规律：上加 下
减）。
a
的符号
开口方
向
顶点坐
标
对称
轴
性质
x?0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?0
时，
a?0

向上
?
0，c
?

y
轴
y
随
x的增大而减小；
x?0
时，
y
有最小
值
c
．
x?0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x?0
时，
a?0

向下
?
0，c
?

y
轴
y
随
x
的增大而增大；
x?0
时，
y
有最大
值
c
．

6

3.
y?a
?
x?h
?
的性质：
二次函数y?a
?
x?h
?
的图像可由
y?ax
2
的图 像左右平移得到（平移规律：左加
右减）。
a
的符号
2
2
开口方
向
顶点坐
标
对称
轴
性质
x?h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?h
时，
a?0

向上
?
h，0
?

X=h
y
随
x
的增大而减小；
x?h
时，
y
有最
小值
0
．
x?h
时，
y
随x
的增大而减小；
x?h
时，
a?0

向下
?
h，0
?

X=h
y
随
x
的 增大而增大；
x?h
时，
y
有最
大值
0
．
4.
y?a
?
x?h
?
?k
的性质：
a
的符号
2
开口方
向
顶点坐
标
对称
轴
性质
x?h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?h
时，
a?0

向上
?
h，k
?

X=h
y
随
x
的 增大而减小；
x?h
时，
y
有最
小值
k
．
x?h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x?h
时，< br>a?0

向下
?
h，k
?

X=h y
随
x
的增大而增大；
x?h
时，
y
有最大值
k
．

知识点八、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：
y?ax
2
?bx?c
（
a
，b
，
c
为常数，
a?0
）；
2. 顶点式：
y?a(x?h)
2
?k
（
a
，
h
，
k< br>为常数，
a?0
）；
3. 两点式：
y?a(x?x
1)(x?x
2
)
（
a?0
，
x
1
，< br>x
2
是抛物线与
x
轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函 数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函
数都可以写成两点式，只有抛物线与
x
轴有交点，即
b
2
?4ac?0
时，抛物线
的解析式才 可以用两点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
知识点九、二次函数解析式的确定
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法． 用待定系数法求
二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一

7

般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与
x
轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
知识点十、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取 得最大值（或最小
4ac?b
2
b
值），即当
x??
时，< br>y
最值
?
。
4a
2a
如果自变量的取值范围是x
1
?x?x
2
，那么，首先要看
?
b
是否在 自变量取
2a
4ac?b
2
b
值范围
x
1
?x?x
2
内，若在此范围内，则当x=
?
时，
y
最值?
；若不在
4a
2a
此范围内，则需要考虑函数在
x
1
?x?x
2
范围内的增减性，如果在此范围内，y
2
?bx
2
?c
，当
x?x
1
时，随x的增大而增大，则当
x?x< br>2
时，
y
最大
?ax
2
y
最小
?a x
1
2
?bx
1
?c
；如果在此范围内，y随x的增大而减 小，则当
x?x
1
时，
2
y
最大
?ax
1
2
?bx
1
?c
，当
x?x
2
时，
y
最小
?ax
2
?bx
2
?c
。
知识点十一、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函
数
a>0

y



图

像



0 x


（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
性
b
，
质
（2）对称轴是x=
?
2a

8
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a,b,c是常数，a?0)

a<0


y






0 x


（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
b
（2）对称轴是x=
?
，
2a

4ac?b
2
b
顶点坐标是（
?
，）；
4a2a
4ac?b
2
b
顶点坐标是（
?
，）；
4a
2a
bb
时， （3）在对称轴的左侧，即当x<
?
时 ，
2a2a
y随x的增大而减小；在对称轴的右侧， y随x的增大而增大；在对称轴的右
b
侧，
即当x>
?
时，y随x的增大而增大，
b
2a
即当x>
?
时，y随x的增大而
简记左减右增；
2a
b
减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最低点，当x=
?< br>时，y有
b
2a
（4）抛物线有最高点，当x=
?
时，
2a
4ac?b
2
最小值，
y
最小值
?

4ac?b
2
4a
y有最大值，
y
最大值
?

4a
（3）在对称轴的左侧，即当x<
?
2、二次函数与一元二次方程的 关系（二次函数与
x
轴交点情况）：
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
是二次函数
y?ax
2
?bx?c
当函数值
y?0
时的特殊
情况.
图象与
x
轴的交点个数：
0?
，B
?
x
2
，0
?
(x
1
?x
2
)
，其中① 当
??b
2
?4ac?0
时， 图象与
x
轴交于两点
A
?
x
1
，
的
x
1
，x
2
是一元二次方程
ax
2
?bx?c? 0
?
a?0
?
的两根．这两点间的距离
b
2
?4a c

AB?x
2
?x
1
?
a
0
?
，B
?
x
2
，0
?
，推导过程：若抛物线
y?ax
2
?bx?c
与
x
轴两交点为
A
?
x
1
，
由于
x
1
、
x
2
是方程
ax
2
?bx?c?0
的两个根，故
bc
x
1< br>?x
2
??,x
1
?x
2
?
aa
A B?x
1
?x
2
?
?
x
1
?x
2
?
2
?
?
x
1
?x
2
?
2
b
2
?4ac?
?
b
?
4c
?4x1
x
2
?
?
?
?
???
aaa
?
a
?
2
② 当
??0
时，图象与
x
轴只有一个交点；
③ 当
??0
时，图象与
x
轴没有交点.
1'
当
a ?0
时，图象落在
x
轴的上方，无论
x
为任何实数，都有
y ?0
；
2'
当
a?0
时，图象落在
x
轴的下方， 无论
x
为任何实数，都有
y?0
．

记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方 程中的
??b
2
?4ac
，在二次函数中表示图像与x轴是否有

9

交点。
当
?
>0时，图像与x轴有 两个交点；当
?
=0时，图像与x轴有一个交点；
当
?
<0时，图像与x轴没有交点。
知识点十二 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解
题方法）

y
如图：点A坐标为（x
1
，y
1
）点B坐标为（x2
，y
2
）
则AB间的距离，即线段AB的长度为
?
x
1
?x
2
?
2
?
?
y
1
?y
2
?
2
A



0
B
2、二次函数图象的平移
① 将抛物线解析式转化成顶点式
y?a
?< br>x?h
?
?k
，确定其顶点坐标
?
h，k
?
；
② 保持抛物线
y?ax
2
的形状不变，将其顶点平移到
?h，k
?
处，具体平移方法
如下：
y=ax
2
向上( k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax
2
+k
2
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
向上( k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k| 个单位
y=a(x-h)
2
y=a(x-h)
2
+k

③平移规律 在原有函数的基础上“
h
值正右移，负左移；
k
值正 上移，负下
移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．函数平移图像大致位置规律（中
考试 题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大
大节省做题的时间）
3、直线斜率：
k?tan
?
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
4、设两条直线分别为，
l1
：
y?k
1
x?b
1

l
2
：
y?k
2
x?b
2
若
l
1
l
2
，则有
l
1
l
2
?k< br>1
?k
2
且
b
1
?b
2
。 若
l
1
?l
2
?k
1
?k
2
??1

知识点十三、二次函数的图象与各项系数之间的关系
抛物线
y?ax
2
?bx?c
中， a b c,的作用

10

（1）
a
决定开口方向及开口大小，这与< br>y?ax
2
中的
a
完全一样.

a
>0时 ，抛物线开口向上；
a
<0时，抛物线开口向下；
a
的绝对值越大，
开口越小
（2）
b
和
a
共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物 线
y?ax
2
?bx?c
的对称轴
是直线
bb
， 故：①
b?0
时，对称轴为
y
轴；②
?0
（即
a< br>、
b
同号）时，
a
2a
b
对称轴在
y
轴左侧；③
?0
（即
a
、
b
异号）时，对称轴在
y
轴右侧.（口
a
x??
诀左同 右异）
（3）
c
的大小决定抛物线
y?ax
2
?bx?c
与
y
轴交点的位 置.
当
x?0
时，
y?c
，∴抛物线
y?a x
2
?bx?c
与
y
轴有且只有一个交点（0，
c
）：
①
c?0
，抛物线经过原点;
②
c?0
,与
y
轴交于正半轴；
③
c?0
,与
y
轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在
y
轴右
侧，则
b
?0
.
a


经典例题与解析（二次函数与三角形）
1、已知：二次函数y=错误!未找到引用源。x2
+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，
且经过点（2，﹣错误!未找到引用源。）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧） ，请在此二次函数x
轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．







11

< br>2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与
x
轴交于
A
、
B< br>两点（A
9
在B的左侧），与
y
轴交于点
C
(0，4)，顶点为（1，）．
2
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线 的对称轴与轴交于点
D
，试在对称轴上找出点
P
，使
△
CD P
为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点
P
的坐标．
A
y
C
O D B x
(第2题图)
（3）若点
E
是线段
AB
上的一个动点（与
A
、
B
不重合），分别连接
AC
、
BC
，过
点
E
作
EF
∥
A C
交线段
BC
于点
F
，连接
CE
，记△
C EF
的面积为
S
，
S
是否存
在最大值？若存在，求出
S
的最大值及此时
E
点的坐标；若不存在，请说
明理由．








3、如图，一次函数y
＝－4
x
－4的图象与
x
轴、
y
轴分别交于
A
、
C
4
两点，抛物线
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
的图象经过
A
、
C
两 点，且与
x
轴
3
交于点
B
．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为
D
，求四边形
ABDC
的面积；
（3）作直线
MN
平行于
x
轴，分别交线段
AC
、
BC
于点
M
、
N
．问在
x
(第3题图)
C
A O
y
B x
轴上是否存在点
P
，使 得△
PMN
是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满
足条件的
P
点 的坐标；如果不存在，请说明理由．







（二次函数与四边形）

12

1
2
7
x?mx?2m?
．
22
(1)试说明： 无论
m
为何实数，该抛物线与
x
轴总有两个不同的交点；
(2)如 图，当该抛物线的对称轴为直线
x
=3时，抛物线的顶点为点
C
，直线
y
=
x
－1与抛物线交于
A
、
B
两点，并与它的 对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐< br>标；若不存在，说明理由；
②平移直线
CD
，交直线
AB
于 点
M
，交抛物线于点
N
，通过怎样的平移能使得
C
、
D
、
M
、
N
为顶点的四边形是平行四边形．















5、如图，抛物线
y
＝
mx
2－11
mx
＋24
m
(
m
＜0) 与
x轴交于
B
、
C
两点（点
B
在点
4、已知抛物线
y?
C
的左侧），抛物线另有一点
A
在第一象限内，且∠
B AC
＝90°．
（1）填空：
OB
＝_ ▲ ，
OC
＝_ ▲ ；
（2）连接
OA
，将△
OA C
沿
x
轴翻折后得△
ODC
，当四边形
OACD
是 菱形时，求此
时抛物线的解析式；
（3）如图2，设垂直于
x
轴的直线l
：
x
＝
n
与（2）中所求的抛物线交于点
M
，
与
CD
交于点
N
，若直线
l
沿
x轴方向左右平移，且交点
M
始终位于抛物线
上
A
、
C< br>两点之间时，试探究：当
n
为何值时，四边形
AMCN
的面积取得最< br>大值，并求出这个最大值．
O B
A
A
C
x
O B
D
y
y
l:x＝n
M
C






N
x
D
13

6、如图所示，在平面直角坐标系中 ，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠
BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的 中点，A、B、D三点的坐标分别
是A（
?1 ，
，B（
?1 ，
，D（3，0）．连接DM，并把
0
）
2
）
线段 DM沿DA方向平移到ON．若抛物线
y?ax
2
?bx?c
经
过点 D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC， 若存在，求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E ，点Q是抛物线的
对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE- QC|最
大？并求出最大值．












7、已知抛物线
y?ax
2
?2ax?3a (a?0)
与x轴交于 A、B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标；
（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；
（3）在 第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作
NF丄x轴，并交直线CD于 点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD
的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出 点M的坐标；若不存在，请说明
理由．

14

8、如图，在平面直角坐 标系中，抛物线y=ax
2
+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，
0）和N（3， 0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．1）
求该抛物线的解析式．
2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为
6，求此直线的解 析式．
3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．


9、如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶
点为M，图 象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为
直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3， 0），连接ED．（m＞0）
（1）写出A、B、D三点的坐标；
（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关
系；

15

（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的 直角坐标系中画出S
关于m的函数图象的示意图。







10、已知抛物线
y?ax
2
?bx?c< br>的对称轴为直线
x?2
，且与x轴交于A、B两点．与
y轴交于点C．其中AI (1，0)，C(0，
?3
)．
（1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．
①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC
面积相等时．求点P的坐标；
②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求
直线CP的解析式。

















答案与分析：

16

1、解：（1）由已知条件得错误!未找到引用源。，（2分）
解 得b=﹣错误!未找到引用源。，c=﹣错误!未找到引用源。，∴此二次函数的解
析式为y=错误!未 找到引用源。x
2
﹣错误!未找到引用源。x﹣错误!未找到引用
源。；（1分） < br>（2）∵错误!未找到引用源。x
2
﹣错误!未找到引用源。x﹣错误!未找到引用源。
=0，∴x
1
=﹣1，x
2
=3，
∴B（﹣1，0），C（3，0），∴BC=4，（1分）
∵E点在x轴下方，且△EBC面 积最大，∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，
﹣3），（1分）
∴△EBC的面积=错误!未找到引用源。×4×3=6．（1分）
9
2、（1）∵抛物线的顶点为（1，） ∴设抛物线的函数关系式为
y
＝
a
(
x
2
9
－1)
2
＋
2
91
∵抛物线与
y
轴交于点
C
(0，4)， ∴
a
(0－1)
2
＋＝4 解得
a
＝－
22
19
∴所求抛物线的函数关系式为
y
＝－(
x
－1)
2
＋
22
17
（2）解：
P
1
(1，17)，
P
2
(1，－17)，
P
3
(1，8)，
P
4
(1，)，
8
19
（3）解：令－(
x
－1)
2
＋＝0，解得
x
1
＝－2，
x
1
＝4
22
19
∴抛物线
y
＝－(
x
－1)
2
＋与
x
轴的交点为
A
(－2，0)
C
(4，0)
22
过点
F
作
FM
⊥
OB
于点
M
，
∵
EF
∥
AC
，∴△
BEF< br>∽△
BAC
，∴
MFEBEB
＝ 又 ∵
OC
＝4，
AB
＝6，∴
MF
＝×
OCABAB
OC< br>＝
EB

21
设
E
点坐标为 (
x
，0)，则
EB
＝4－
x
，
MF
＝ (4－
x
) ∴
S
＝
S
△
BCE
－< br>S
△
BEF
＝
EB
·
OC
32
1112128
y
－
EB
·
MF
＝
EB
(
OC
－
MF
)＝ (4－
x
)[4－ (4－
x
)]＝－
x
2
＋x
＋
2223333
1
E
A O B
＝－(
x
－1)
2
＋3
3
1
∵
a
＝－＜0，∴
S
有最大值 当
x
＝1时，
S
最大值
＝3 此时点
E
的坐标
3
为 (1，0)
C
3、（1）∵一次函数
y
＝－4
x
－4的图象与
x
轴、
y
轴分别交于
A
、
C
两
点，
D
4
2
∴
A
(－1，0)
C
(0，－4) 把
A
(－1，0)
C
(0，－4)代入
y
＝
x
(第3题图)
3
＋
bx
＋
c
得

17
2
3
x

48
??
?
－
b
＋
c
＝0
?
b
＝－
48
3 ∴
y
＝
x
2
－
x
－4 ∴
?
3
解得
?
33
??
?
c
＝－4
?
c
＝－4
4841616
（2）∵
y
＝
x
2
－
x
－4＝(
x
－1)
2
－ ∴顶点为
D
（1，－）
33333
16
y
设直线
DC
交
x
轴于点
E
由
D
（1，－）
C
(0，－4)
3
4
P
A O B x
易求直线
CD
的解析式为
y
＝－
x
－4
3
116
易求
E
（－3，0），
B
（3，0）
S
△
EDB
＝×6×＝16
M N
23
1
(第3题图)
S
△
ECA
＝×2×4＝4
S
四边形
ABDC
＝
S
△
EDB
－
S
△
ECA
＝12
C
2
（3）抛物线的对称轴为
x
＝－1
做
BC
的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点
D
3

易求
AB
的解析式为
y
＝－3
x
＋3
∵
D
3
E
是
BC
的垂直平分线 ∴
D
3
E
∥
AB

设
D
3
E
的解析式为
y
＝－3
x
＋
b

∵D
3
E
交
x
轴于（－1，0）代入解析式得
b
＝－3, ∴
y
＝－3
x
－3
把
x
＝－1代入得
y
＝0 ∴
D
3
(－1，0), 过
B
做
BH
∥
x
轴，
则
BH
＝111
在Rt△
D
1
HB
中，由勾股定理得
D
1
H
＝11 ∴
D
1
（－1，11＋3）
同理可求其它点的坐标。
可求交点坐标
D
1
（－1，11＋3）,
D
2
（－1，22）,
D
3
(－1，0),
D
4
(－1,
11－3)
D
5
（－1，－22） 1
?
7
?
2
2
4、(1)
?
=
?
?m
?
?4??
?
2m?
?
=
m2
?4m?7
=
m
2
?4m?4?3
=
?m?2
?
?3
，∵
2
?
2
?
不管m
为何实数，总有
?
m?2
?
≥0，∴
?
=< br>?
m?2
?
?3
＞0，∴无论
m
为何实数，
该抛物线与
x
轴总有两个不同的交点．
(2)∵ 抛物线的对称轴为直线
x
=3，∴
m?3
，
151
2抛物线的解析式为
y?x
2
?3x?
=
?
x?3
?
?2
，顶点
C
坐标为（3，－2），
222
?
y?x?1,
?
x
1
?1
?
x
2
?7< br>?
解方程组
?
，解得或
?
，所以
A
的坐标为 （1，0）、
1
2
5
?
y?x?3x?
?
y
1
?0
?
y
2
?6
?
?22
2
2
B
的坐标为（7，6），∵
x?3
时
y
=
x－1=3－1=2，∴D的坐标为（3，2），设
抛物线的对称轴与
x
轴的交点为
E
，则
E
的坐标为（3，0），所以
AE
=
BE< br>=3，
DE
=
CE
=2，
① 假设抛物线上存在一点P使得 四边形
ACPD
是正方形，则
AP
、
CD
互相垂直平分且相 等，于是
P
与点
B
重合，但
AP=
6，
CD=4，

18

AP
≠
CD
， 故抛物线上不存在一点P使得四边形
ACPD
是正方形．
② (Ⅰ)设直线
CD
向右平移
n
个单位（
n
＞0）可使得
C
、D
、
M
、
N
为顶点的
四边形是平行四边形，则直线CD
的解析式为
x
=3
?n
，直线
CD
与直线
y
=
x
－1交于点
M
（3
?n
，2
?n
），又∵D的坐标为（3，2），
C
坐标为（3，－2），
∴
D
通过向下平移4个单位得到
C
．
∵
C
、
D、
M
、
N
为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形
CDMN是平行四边形
或四边形
CDNM
是平行四边形．
（ⅰ）当四边形
CDMN
是平行四边形，∴
M
向下平移4个单位得
N
，∴
N
坐标
为（3
?n
，
n?2
），
又
N< br>在抛物线
y?
1
2
515
2
x?3x?
上， ∴
n?2?
?
3?n
?
?3
?
3?n
?< br>?
，
2222
解得
n
1
?0
（不合题意， 舍去），
n
2
?2
，
（ⅱ）当四边形
CDNM
是 平行四边形，∴
M
向上平移4个单位得
N
，∴
N
坐标
为（3
?n
，
n?6
），
1515
2
又
N
在抛物线
y?x
2
?3x?
上，∴
n?6?
?
3?n
?
?3
?
3?n
?
?
，
2222
解得
n
1
?1?17
（不合题意，舍去），
n2
?1?17
，
(Ⅱ) 设直线
CD
向左平移
n个单位（
n
＞0）可使得
C
、
D
、
M
、
N
为顶点的四
边形是平行四边形，则直线
CD
的解析式为
x
=3
?n
，直线
CD
与直线
y
=
x－1
交于点
M
（3
?n
，2
?n
），又∵D的 坐标为（3，2），
C
坐标为（3，－2），∴
D
通过向下平移4个单位得到
C
．
∵
C
、
D
、
M
、
N
为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形
CDMN
是平行四边形
或四边形< br>CDNM
是平行四边形．
（ⅰ）当四边形
CDMN
是平行四边形，∴
M
向下平移4个单位得
N
，∴
N
坐标
为（3
?n
，
?2?n
），
1515
2
又
N
在抛物线
y?x
2
?3x?
上，∴
?2?n?
?
3 ?n
?
?3
?
3?n
?
?
，
2222< br>解得
n
1
?0
（不合题意，舍去），
n
2
? ?2
（不合题意，舍去），
（ⅱ）当四边形
CDNM
是平行四边形，∴M
向上平移4个单位得
N
，∴
N
坐标
为（3
? n
，
6?n
），
1515
2
又
N
在抛物 线
y?x
2
?3x?
上，∴
6?n?
?
3?n?
?3
?
3?n
?
?
，
2222
解 得
n
1
??1?17
，
n
2
??1?17
（不合题意，舍去），
综上所述，直线
CD
向右平移2或（
1?17
）个单位或向左平移（
?1?17
）
个单位，可使得
C
、
D
、
M
、
N
为顶点的四边形是平行四边形．
5、解：（1）
OB
＝3，
OC
＝8
（2）连接
OD
，交
OC
于点
E

y
1
∵四边形
OACD
是菱形 ∴
AD
⊥
OC
，
OE
＝
EC
＝ ×8＝4
2
A

19
O B
E
D
C
x

∴BE＝4－3＝1
又∵∠
BAC
＝90°，
∴△
ACE
∽△
BAE
∴
AECE
＝

BEAE
∴
AE
2
＝
BE
·
CE
＝1×4
∴
AE
＝2
∴点
A
的坐标为 (4，2)
把点
A
的坐标 (4，2)代入抛物线
y
＝
mx
2
－11
mx
＋24
m
，
y
11
2
11
l:x＝n
得
m
＝－ ∴抛物线的解析式为
y
＝－
x
＋
x
－12
222
M
A
（3）∵直线
x
＝
n
与抛物线交于点
M
111
∴点
M
的坐标为 (
n
，－
n
2
＋
n
－12)
C
O B
E
22
N
由（2）知，点
D
的坐标为（4，－2），
D
1
则C
、
D
两点的坐标求直线
CD
的解析式为
y
＝
x
－4
2
11111
∴点
N
的坐标为 (
n
，
n
－4) ∴
MN
＝（－
n
2
＋
n
－12）－（
2222
1
n
－4） ＝－
n
2
＋5
n
－8
2
111
∴
S
四边形
AMCN
＝
S
△
AMN
＋
S
△
CMN
＝
MN
·
CE
＝（－
n2
＋5
n
－8）×4＝－(
n
－5)
2
222
＋9
∴当
n
＝5时，
S
四边形
AMCN
＝9
6、解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与x轴的交点，∴M（0，2），
?
9a?3b?c?0
1
?
?
?
a??
9
∵DM∥ON，D（3，0），∴N（-3，2），则
?
c?2
，解得
?，∴
1
?
?
9a?3b?c?0
?
b??
3< br>?
?
?
c?2
?
?
x
11
y??x
2
?x?2
；
93
（2）连接AC 交y轴与G，∵M是BC的中点，∴AO=BM=MC，AB=BC=2，∴AG=GC，
即G（0，1 ），
∵∠ABC=90°，∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在A C
的垂直平分线上，故P在直线BG上，∴点P为直线BG与抛物线的交点，
?
?k ?b?2
?
k??1
设直线BG的解析式为
y?kx?b
，则
?
，解得
?
，∴
y??x?1
，
?
b?1?
b?1
?
y??x?1
??
?
x
1
?3?32
?
x
2
?3?32
?
∴
?
，解 得
?
，
?
，
1
2
1
y??x?x?2< br>?
?
?
y
1
??2?32
?
?
y< br>2
??2?32
93
?

20

∴点P（
3?32 ， ?2?32
）或P（
3-32 ， ?2?32
），
（3）∵
y??
1
9
x
2
?
1
3
x?2??
1
9
(x?
3
2)
2
?
9
4
，∴对称轴
x??
3
2< br>，
令
?
1
9
x
2
?
1
3
x?2?0
，解得
x
1
?3
，
x
2
?6
，∴E（
?6
，0），
故E、D关于直线
x??
3
2
对称，∴QE=QD，∴|QE- QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，则延长DC与
x??
3
2
相交于点Q，即点Q
为直线DC与直线
x??
3
2
的交 点，
由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，
则?
?
3k?b?0
，解得
?
k??1
?
k?b ?2
?
b?3
，∴
y??x?3
，
?
当
x??
33939
2
时，
y?
2
?3?
2
，故当Q在（
?
2
，
2
）的位置时，|QE-QC|最大， 过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD=
CF
2
?DF
2
?2
2
?2
2
?22
．
7、解：（1）由y=0得，ax
2
-2ax-3a=0，
∵a≠0，∴x
2
-2x-3=0， 解得x
1
=-1，x
2
=3， ∴点A的坐标（-1，0），
点B的坐标（3，0）；
（2）由y=ax
2
-2ax-3a，令x=0，得y=-3a， ∴C（0，-3a），
又∵y=ax
2
-2ax-3a=a（x-1）
2
-4a， 得D（1，-4a），
∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a， ∴-a=1，∴a=-1， ∴C（0，3），
D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得， ，解得
，
∴直线CD的解析式为y=x+3；
（3）存在．
由（2）得，E（-3，0），N（- ，0） ∴F（ ， ），EN= ，
作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件的点M（ ，m），则FM= -m，
EF= = ，MQ=OM=
由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，∴ = ，整理得4m
2
+36m-63=0，∴m
2
+9m=
，

21

m+9m+ =
2
+ （m+ ）=
2
m+ =±
）．
∴m
1
= ，m
2
=- ，
∴点M的坐标为M
1
（ ， ），M
2
（ ，-
8、解： （1）∵抛物线y=ax
2
+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两< br>点，且与y轴交于D（0，3），
∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），
将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：3=3a， ∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x
2
﹣4x+3；
（2 ）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积
为6，∴错误!未找到引 用源。AC×BC=6，
∵抛物线y=ax
2
+bx+c（a≠0）的图象经过M（ 1，0）和N（3，0）两点，∴二次
函数对称轴为x=2，
∴AC=3，∴BC=4，∴B点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；
y=kx+b，
∴错误!未找到引用源。，解得：错误!未找到引用源。，y=错误!
未找到引用源。x+错误 !未找到引用源。；
（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相
切，
∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4， ∴AB=5，AM=3， ∴BM=2，
∵∠MBP=∠ABC，∠BMP=∠ACB，
∴△ABC∽△CBM，∴错误!未找到引用源。，
∴错误!未找到引用源。，∴PC=1.5，P点坐标为：（2，1.5）．
9、解：（1）A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．
（2）设直线ED的解析式为y=kx+b，将E（﹣3，0），D（0，
代入得：
解得，k=，b=
m）
m． ∴直线ED的解析式为y=mx+m．
将y=﹣（x+m）（x﹣3m）化为顶点式：y=﹣（x+m）
2
+m．
∴顶点M的坐标为（m，m）．代入y=mx+m得：m
2
=m
∵m＞0， ∴m=1．所以，当m=1时，M点在直线DE上．连接CD，C为AB中点，C
点坐标为C（m，0） ．
∵OD=

，OC=1，∴CD=2，D点在圆上
22

又OE=3，DE
2
=OD
2
+OE2
=12，EC
2
=16，CD
2
=4，∴CD
2+DE
2
=EC
2
．∴∠FDC=90°∴直线
ED与⊙C相切 ．
（3）当0＜m＜3时，S
△AED
=AE．?OD=m（3﹣m） S=﹣m
2
+m．
当m＞3时，S
△AED
=AE．?OD=

m（m﹣3）． 即S=m
2_
m．
?
?
a?b?c?0
?
a?? 1
?
?
10、解：（1）由题意，得
?
c??3
，解得?
b?4
∴抛物线的解析式为
?
c??3
?
b
?
?
??2
?
2a
y??x
2
?4x?3
。
（2）①令
?x?4x?3?0
，解得
x
1
?1，x< br>2
?3
∴B（3, 0）
当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于
点P，
易求直 线BC的解析式为
y?x?3
，∴设直线AP的解析式为
y?x?n
， ∵直线AP过点A（1,0），代入求得
n??1
。∴直线AP的解析式为
y?x ?1

C
E
2
y
P
A
O
P
3
B
x
?
y?x?1
?
x
1
?1
?
x
2
?2
1)

，
解方程组
?
，得
?
∴点
P
?< br>1
(2，
2
?
y
1
?0
?
y
2
?1
?
y??x?4x?3
当点P在x轴下方时，如图1 设直线
AP
1
交y轴于点
E(0，?1)
，
P
2
第24题 图1
把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点
P
2
、P
3
， 得直线
P
2
P
3
的解析式为
y?x?5
，
解方程组
?
y?x?5
?
2
y??x?4x?3
?
，
?
3?17
?
3?17
x?
?
1
?
x
2
?
??
22
，
??
?
y?< br>?7?17
?
y?
?7?17
12
??
?2?2 ∴
P
2
(
3?17?7?173?17?7?17
，) ，P
3
(，)

2222
1)
，
P
2(
综上所述，点P的坐标为：
P
1
(2，

3?17?7?173?17?7?17
，)，P
3
(，)

2222
23

②∵
B(3，，0)C(0，?3)
∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45° 设直线CP的解析式为
y?kx?3

如图2，延长CP交x轴于点Q，设∠OCA=α，则∠ACB=45°
?
α
∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45°
?
α
∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°
?
α）=α
∴∠OCA=∠OQC
又∵∠AOC=∠COQ=90° ∴Rt△AOC∽Rt△COQ
∴
OA
OC
?
OC
OQ< br>，∴
1
3
?
3
OQ
，∴OQ=9，∴
Q(9 ，0)

∵直线CP过点
Q(9，0)
，∴
9k?3?0
∴
k?
1
3

∴直线CP的解析式为
y?
1
3
x?3
。






24
y
A
B
O
Q
x
P
C
第24题 图2