高一数学 第三讲 函数的增减性

函数的增减性
一、 概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I
?
A
如果对于区间I内 的任意两个值x
1
,x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说y=f(x)在区间I上是
增函数。I称为y=f(x)的单调增区间。
如果对 于区间I内的任意两个值x
1
,x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)>f(x
2
)，那么就说在这个区间I上是减
函数。I称为y=f(x)的单调减区间。
1. 证明函数
f(x)?x?









2．归纳解题步骤
归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．
练习：证明函数
f(x)?
2
在
(2,??)
上是增函数．
x
x
在
[0,??)
上是增函数．
问题：要证明函数f(x)
在区间
(a,b)
上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的
x
1
,x
2
?(a,b)
，
且
x
1
?x
2
有
f(x
2
)?f(x
1
)?0
可以吗?
x
2
?x
1
x
在
[0 ,??)
上是增函数． 分析这种叙述与定义的等价性．尝试用这种等价形式证明函数
f(x) ?
①如果函数
f
?
x
?
对区间D内的任意
x1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时都有f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?< br>，则
f
?
x
?
在D内是增函数；
当
x
1
?x
2
时都有
f
?
x
1
?
? f
?
x
2
?
，则
f
?
x
?
在D内是减函数。
②设
x
1
,x
2
?
?
a,b
?
，那么
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?0?f
?
x
?
是增函数；
x
1
?x
2
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?0?f
?
x
?
是 减函数。
x
1
?x
2

二、主要方法
：
因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定
1.
讨论函数单调性必须 在其定义域内进行，
义域的子集；

1

2.
判断函数的单调性的方法有：
?
1
?
用定义；
?
2
?
用已知函数的单调性；
?
3
?
利用函数的导数；
?
4
?
如果< br>f(x)
在区间
D
上是增（减）函数，那么
f(x)
在
D
的任一非空子区间上也是增（减）函数
?
5
?
图象法；
“同增异减”
?
6
?
复合函数的单调性结论：
?
7
?
奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性 .
?
8
?
互为反函数的两个函数具有相同的单调性．
增函数< br>f(x)?
增函数
g(x)
是增函数；减函数
f(x)?
减函 数
g(x)
是减函数；增函数
f(x)?
(9)
在公共定义域内，< br>减函数
g(x)
是增函数；减函数
f(x)?
增函数
g(x)
是减函数。
???
b
??
b
??
bb
?
b
?,0或0，
??,?或,??
函数在上单调递增；在
y?ax? (a?0,b?0)
10
??
??
??
??
上是单调
??
??
??
a
?
a
??
a
x
?
a
??
??
递减。
3.
证明函数单调性的方法： ?
1
?
利用单调性定义①：如果函数
f
?
x
?
对区间D内的任意
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时都有
f
?
x
1
?
?f< br>?
x
2
?
，则
f
?
x
?
在 D内是增函数；当
x
1
?x
2
时都有
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
，则
f?
x
?
在D内时减函数。
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?0?f
?
x
?
在是增函数；
??
x,x?a,b
利用单调性定义②：设，那么
2
??
12
x
1
?x
2
f
?
x1
?
?f
?
x
2
?
?0?f
?
x
?
在是减函数。
x?x
12

三、函数单调性课堂练习
如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那 么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.已
知函数y=f(x)的图象，根据图象写出函数的单 调区间：
y y

a b O c d x
?
?

?
?

2
?

?
x
2
O

1.下列函数在区间(0,+
?
)上不是增函数的是（ ）
A.y=2x+1 B.y=x
2
+1 C.y=
3
D.y=x
2
+2x+1
x
2. 下列函数中，属于增函数的是 [ ]

2

3. 若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的 [ ]
A．上半平面 B．下半平面 C．左半平面 D．右半平面
4．函数f(x)=x
2
+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上 是减函数，则实数a的取值范围是 [ ]
A．a≥3 B．a≤-3 C．a≤5 D．a=-3
5. 已知f(x)=8+2x-x
2，如果g(x)=f(2-x
2
)，那么g(x)[ ]
A．在区间(-1，0)内是减函数 B．在区间(0，1)内是减函数
C．在区间(-2，0)内是增函数 D．在区间(0，2)内是增函数
6.在区间 上为增函数的是( ).

3

A．
C．

7.

B．
D．
4


的增区间是（ ）。

A． B．
C．
D．
8.(1)若函数y=kx+2在R上为增函数，则k的范围是 ；

5

(2)若函数y=x—mx+5在（—
?
，2）为减函数，在（2,+
?
）上为增函数，则m= 。
9.y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且f(x)＞0，那么在同
2

函数；y=[f(x)]
2
是单调______函数．
10． 在

都是减函数,则
6

数(填增或减)．
11．函数
是增函数,当

在
,当
时是减函数,则
7
上是____函
时,

12．已知
_______．

．
是常数),且
,则
8


的值为

13．函数
是减函数,则
14．若函数

在
的取值范围是_______．
在区间
9
上

15．已知

上是减函数，则实数
的取值范围是__________．
在定义域内是减函数，且
10

①
数）是___________；
②
是___________；

（
（
11
为常
为常数）
，在其定义域内判断下列函数的单调性：

③
④
16．设

是____________；
是__________．
，
12
是增

函数，和
是减函数，则
是_______函数；
13

，

是________函数；
是_______函数．
17.（1）函数f(x)=x-1在(-∞，0)上是减函数；、







2

14

18. 已知f(x)=-x-x+1(x∈R)，证明y=f(x)是定义域上的减函数，且满足等式 f(x)=0的实数值x至多只有一个．
3






19．判断一次函数




单调性.
15

20．证明函数



在
上是增函数，并判断函数
在
16
上的单调性.

21．判断函数



的单调性.
22.定义域为R的函数y=f(x)，对任意x∈R，都有f(a+x)=f( a-x)，其中a为常数．又知x∈(a，+∞)时，该函
数为减函数，判断当x∈(-∞，a)时，函 数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论．



23.设f(x)是定义在R上的递增函数，且f(xy)=f(x)+f(y)
+

17

(2)若f(3)=1，且f(a)＞f(a-1)+2，求a的取值范围．



24．函数 对于

18

有意义，且满足条件
数，（1）证明

；（
19
，
2）若
是非减函


，

取值范围．





25．已知函数

成立，求
20


的

（1）
证明：
（2）证明

，

在
21
，

26．函数

上是增函数
，
22
，

求函数






27．求证：
上不是单调函数．




的单调区间．
在
23

28．根据函数单调性的定义，证明函数







上是减函数．
24
在

29．设
且

是定义在
上的增函数，
，求满足不等式
25

，

的
x
的取值范围.








关于复合函数
1、复合函数的概念
如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g （x）]
叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。

26

例如：函数
复合而成立。
是由
函数
成立。
是由复合而
a是中间变量。
2、复合函数单调性
定理：一般地，设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u ）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。
有以下四种情况：

27

（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y =f[g（x）]在M上也是增函数；
（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是 减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；
（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（ u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；
（4）若u=g（x）在M上是减函 数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。
注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。
例、讨论函数的单调性
（1）



28
2）（

一．复合函数y=f[g(x)]的单调性规律

若函数y=f(x)是由外函数y= f(u)和内函数u=g(x)复合而成，则复合函数y=f[g(x)]的单调性与各分函数
y=f( u),u=g(x)的单调性之间的关系如下表：


单 调 性

三个以上分函


数



y=f(u)

u=g(x)

y=f[g(x)]

判断原则

↗

↗

↗

↗

↘

↘

↘

↗

↘

↘



↘

偶数个减为增


↗

奇数个减为减



“同增异减”



二．判断原则是“同增异减”
------两分函数的单调性相同时复合函数为增函数，两分函数的单调性不
同时复合函数为减函数 。
具体步骤是：
1. 求定义域；2. 把复合函数分解成若干基本初等函数；3. （外函数不单调时）依中间变量u
的范围求自变量x的范围；4. 依“同增异减”原则判断复合函数的增减性。
具体题目根据内外函数的难易情况分以下几类：
（1）内外均简：在其定义域上内外函数均单调。
（2）内繁外简：在其定义域上内函数不单调外函数单调。
（3）内简外繁：在其定义域上外函数不单调内函数单调。
（4）内外均繁：内外函数均不单调。
（5）含参型：函数中含有参数。
（6）分函数有两个以上：分函数中减函数有奇数个时复合函数减、偶数个时增。


29

例1 函数y=
x
（
x?0
）的单调性是 。(内外均简)
例2 求y=log
0.5
(-x+4x+3)的单调区间。（内繁外简）



例3 求y=4＋6?2+2的增区间。（外繁内简）



例4 函数f(x+1)= x-2x+1的定义域[-2,0]。求f(x)的单调区间。




练习：f(x)与g(x)= 关于y=x对称，求f(3x-x)的减区间。




例5 求函数
y=x



4
2
2
xx
2
-2x+6
的单调区间（内外均繁）。
2

30

练习 .已知
f(x)=8+2x-x. g(x)=f(2-x

)
。求g(x)的单调区间。



例6 判断函数f(x)=log
a
(1-a)的单调性（含参型）。




练习：1．函数
y=log
a
( 2-ax)
在[0,1]上是减函数，求a的取值范围。



2．函数
y=log
0.5
(3x




3.求
y =lg(2+1)+lg（2-2）
的单调区间（三个分函数）。

xx
x
22
2
-ax+5)
在(-1,+∞)上单调递减， 求a 的取值范围。




31

二．两函数的运算：
两个单调函数的运算，只有（同性的和、异性的差、相反三类）
1.增＋增＝增 减＋减＝减；2.增－减＝增 减－增＝减；3.－增（减）＝减（增）其它均不确定。

f(x)

g(x)

f(x)+g(x)

-f(x)

f(x)-[-g(x)]


↗

↘

↘

↗

↗

↘



单调性

↗

↗

↘

↘

原则

同性之和不需变，异性之差看被减，其它

运算不确定


同性和不变，异性差被减，负的增减反，其余不能判断。













32

函数单调性课后练习题 < br>1.
（1）已知函数f(x)＝x+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数 a的取值范围
2
是 .

（2）已知函数f(x)＝ x
2
+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a的取值范围是 .

（3）已知x∈[0，1]，则函数
y

?

2

2

x
的最大值为_______最小值为_________
x

??

1

?
ax
2.讨论函数f(x)＝ (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.
2
1?x







3.判断函数f(x)=－x
3
+1在( －∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增
函数还 是减函数？








4.已知：f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)2
－1)求 x的取值范围．









5.设y=f(x)的单增区间是(2，6)，求函数y=f(2－x)的单调区间．








33

6．函数
f(x)?
ax?1
在区间（-2，+∞ ）上是增函数，那么a的取值范围是（ ）
x?2
11
A.
0?a?
B.
a?
C.a<-1或a>1 D.a>-2
22

2
?
?
x＋4x，x≥0，
7.已知函数f(x)＝
?
若f(2－a
2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
2
?
4x－x，x<0.
?

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

8.已知f(x)在其定义域R
+
上 为增函数，f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式f(x)+f(x－2) ≤3






9.已知定义在区间（0，+∞）上 的函数f(x)满足f(
x
1
)
=f(x
1
)-f(x2
)，且当x＞1时，f(x)＜0.
x
2
（1）求f(1)的值；
（2）判断f(x）的单调性；
（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.







10.函数f(x)对 任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数；
2
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m-m-2)＜3.







11.设f（x）的 定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，
f()?f(x)?f(y)

（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）设f（2）=1，解不等式
f(x)?f(



34
x
y
1
)?2
。
x?3

3－ax
(a≠1)．
a－1
(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

12.已知函数f(x)＝
b?R
，有13. 定义在
R
上的函数< br>y?f(x)
，
f(0)?0
，当
x?0
时，
f(x )?1
，且对任意的
a、
2
(2)求证：对任意的
x?R
， 恒有
f(x)?0
；(3)若
f(x)?f(2x?x)?1
，
f( a?b)?f(a)?f(b)
. (1)求
f(0)
的值；
求
x
的取值范围.












2
14.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且 当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
3
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．











35

小测试
1.（1）已知函数f(x)＝x
2
+2(a-1)x+2在区间 (-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围
是 .
（2）已知函数f (x)＝x
2
+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a的取值范围是 .
（3）
已知x∈[0，1]，则函数
y

?

2

2

x
的最大值为_______最小值为_________
x

??

1

?
ax
2.讨论函数f(x)＝ (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.
1?x
2

3.判断函数f( x)=－x
3
+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋ ∞），函数f(x)是增
函数还是减函数？







4. 已知：f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)< f(x
2
－1)求x的取值范围．







5.设y=f(x)的单增区间是(2，6)，求函数y=f(2－x)的单调区间．









6．函数< br>f(x)?
ax?1
在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（ ）
x?2
11
A.
0?a?
B.
a?
C.a<-1或a>1 D.a>-2
22
2
?
?
x＋4 x，x≥0，
7.已知函数f(x)＝
?
若f(2－a
2
)>f(a )，则实数a的取值范围是( )
2
?
4x－x，x<0.
?

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)



36

8.已知f(x)在其定义域R
+
上为增函数，f(2)=1，f(xy)=f(x) +f(y)，解不等式f(x)+f(x－2) ≤3









9.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f (
x
1
)
=f(x
1
)-f(x
2
)，且 当x＞1时，f(x)＜0.
x
2
（1）求f(1)的值；
（2）判断f(x）的单调性；
（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.













10.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a )+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数；
2
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m-m-2)＜3.














37

11.设f（x）的定域为（0，+∞ ），且在（0，+∞）是递增的，
f()?f(x)?f(y)

（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）设f（2）=1，解不等式
f(x)?f(








3－ax
(a≠1)．
a－1
(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
12.已知函数f(x)＝
x
y
1
)?2
。
x?3
b?R
，有13. 定义在
R
上的函数
y?f(x)
，
f(0)?0
，当
x?0
时，
f(x)?1
，且 对任意的
a、
2
(2)求证：对任意的
x?R
，恒有
f(x )?0
；(3)若
f(x)?f(2x?x)?1
，
f(a?b)?f(a) ?f(b)
. (1)求
f(0)
的值；
求
x
的取值范围.











2
14.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
3
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．






38