高中数学竞赛 函数【讲义】

高中数学竞赛标准教材 函数

一、基础知识
定义1 映射， 对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B
中都有唯一一个元素与之对 应，则称f: A→B为一个映射。
定义2 单射，若f: A→B是一个映射且对任意x, y∈A, x
?
y, 都有f(x)
?
f(y)则称之为单射。
定义3 满射，若f: A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f: A→B
是A到B上的满射。
定义4 一一映射，若f: A→B既是单射又是满射，则叫做 一一映射，只有一一映射存在逆
映射，即从B到A由相反的对应法则f
-1
构成的映射 ，记作f
-1
: A→B。
定义5 函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定
义域，若x∈A, y∈B，且f (x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集
合{f(x)|x∈A}叫函数 的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义
的未知数的取值范围，如函数y= 3
x
-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.
定义6 反函数，若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f
-1
: A→B
叫原函数的反函数，通常写作y=f
-1
(x). 这里求反函数的过程是：在 解析式y=f(x)中反解x得
x=f
-1
(y)，然后将x, y互换得y=f-1
(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数
y=
11的反函数是y=1-(x
?
0).
1?xx
定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义7 函数的性质。
（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x
1
, x
2
∈I并且x
1
< x
2
，总有f(x
1
)2
)(f(x
-
)>f(x
2
))，则称f( x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。
（2）奇偶性：设函数y=f(x) 的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，
都有f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。
奇函数的 图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不 为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数
时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期 函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小
的正数T
0
，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。
定义8 如果实数a记作闭区间[a,b]，集合{x|a间[a, b)，集合{x|x>a}记作开区间（a, +∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].
定义9 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)的图象， 其中D为f(x)的定义
域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a ,b>0)；（1）向右平移
a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y= f(x+a)的图象；（3）向下平移b
个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(- x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)
-1
的图象关于原点成中心对称；（ 6）与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)
的图象关于x轴对称 。
定理3 复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=
∞,2）上是减函数，y=
1
, u=2-x在（-
2?x
11
在（ 0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。
u2?x
注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。
二、方法与例题
1．数形结合法。
1
y
例1 求方程|x-1|=的正根的个数.
1
x
1
x

【解】 分别画出y=|x-1|和y=

1
的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。
x
x
4
?x
2
?1
的最大值。
222
例2 求函数f(x)=
x?3x?6x?13?
222
42
【解】 f(x)=
(x?2)?(x?3)?(x?1)?(x?0)
，记点P(x, x
- 2
)，A（3，2），B
（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。
等 号成立。
所以f(x)
max
=
10.

2.函数性质的应用。
2
?
?
(x?1)?1997(x?1)??1
例3 设x, y∈R，且满足
?
，求x+y.
3
?
?
(y?1)?1997(y?1)?1

因为|PA |-|PA|≤|AB|=
3
2
?(2?1)
2
?10
,当 且仅当P为AB延长线与抛物线y=x
2
的交点时
【解】 设f(t)=t
3
+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若af(b)-f (a)=b
3
-a
3
+1997(b-a)=(b-a)(b
2+ba+a
2
+1997)>0，所以f(t)递增。
由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a
2
)<0，求 a的取值范围。
【解】 因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a
2
)=-f( a
2
-1)，由题设f(1-a)2
-1)。
又f(x) 在定义域（-1，1）上递减，所以-1<1-a2
-1<1，解得0例5 设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z, 用I
k
表示区间(2k-1, 2k+1]，
2
已知当x∈I
0时，f(x)=x，求f(x)在I
k
上的解析式。
【解】 设x∈I
k
，则2k-1所以f(x-2k)=(x-2k)
2
.
又因为f(x)是以2为周期的函数，
所以当x∈I
k
时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)
2
.
例6 解方程：(3x-1)(
9x
2
?6x?5?1
)+(2x -3)(
4x
2
?12x?13
+1)=0.
【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化为
m(
m
2
?4
+1) +n(
n
2
?4
+1)=0. ①
若m=0，则由①得n=0，但m, n不同时为0，所以m
?
0, n
?
0.
ⅰ)若m>0，则由①得n<0，设f(t)=t(
t
2
?4
+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，
4< br>.

5
4
ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=,但与m<0矛盾。
5
4
综上，方程有唯一实数解x=
.

5
所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
3.配方法。
例7 求函数y=x+
2x?1
的值域。

1
[2x+1+2
2x?1
+1]-1
2
111
=(
2x?1
+1)-1≥-1=-.
222
111
当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是[-，+∞）。
222
【解】 y=x+
2x?1
=
4．换元法。
例8 求函数y=(
1?x
+
1?x
+2)(
1?x
2
+ 1),x∈[0,1]的值域。
【解】令
1?x
+
1?x
=u，因 为x∈[0,1]，所以2≤u
2
=2+2
1?x
2
≤4,所以2
≤u≤2,
u
2
2?2
u?2u?2
2
所以 ≤≤2，1≤≤2，所以y=,u∈[
2
+2，8]。
2
2
22
所以该函数值域为[2+
2
，8]。
5．判别式法。
x
2
?3x?4
例9 求函数y=
2
的值域。
x?3x?4
【解】由函数解析式得(y-1)x< br>2
+3(y+1)x+4y-4=0. ①
当y
?
1时，①式是关于x的方程有实根。
所以△=9(y+1)
2
-16(y-1)
2
≥0，解得
1
≤y≤1.
7
又当y=1时，存在x=0使解析式成立，
所以函数值域为[
1
，7]。
7
6．关于反函数。
例10 若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证：
y=f
-1
(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。
【证明】设x
1
2
, 且y
1
=f
-1
(x
1
), y
2
=f< br>-1
(x
2
)，则x
1
=f(y
1
), x
2
=f(y
2
)，若y
1
≥y
2
，则因为 f(x)在(-∞,+
∞)上递增，所以x
1
≥x
2
与假设矛盾， 所以y
1
2
。
即y=f
-1
(x)在(-∞,+ ∞)递增。
4x?1
，解方程：f(x)=f
-1
(x).
3x?2
21
【解】 首先f(x)定义域为（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，设x
1
, x
2
是定义域内变量，且
34
5(x
2
?x
1
)
24x
2
?14x
1
?1
x
1
2< br><-;=>0,
?
3
3x
2
?23x
1
? 2(3x
2
?2)(3x
1
?2)
21
所以f(x)在（- ∞，-）上递增，同理f(x)在[-，+∞）上递增。
34
1
在方程f(x)=f
-1
(x)中，记f(x)=f
-1
(x)=y，则y≥0，又由f
-1
(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，
4
例11 设函数f(x)=
4
+∞）.
若x
?
y，设x同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化简得3x
5
+2x
4
-4x-1=0,
即(x-1)(3x
4
+5x
3
+5x
2
+5x+1)= 0,
因为x≥0，所以3x
4
+5x
3
+5x
2
+5x+1>0，所以x=1.
三、基础训练题

1．已知X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2}，映射f：X→Y满足：对任意的x∈X，它在Y中的 象
f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_______个。
2．给定A={1， 2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f为单射，则f有_______个；若f
为满 射，则f有_______个；满足f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。
3．若 直线y=k(x-2)与函数y=x
2
+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共 有_______个
交点。
4．函数y=f(x)的值域为[
,
5．已知f (x)=
34
]，则函数g(x)=f(x)+
1?2f(x)
的值域为__ _____。
89
1
，则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。
x?1
6．已知f(x)=|x+a|，当x≥3时f(x)为增函数，则a的取值范围是__ _____。
7．设y=f(x)在定义域（
8．若函数y=
?
(x)存在 反函数y=
?
-1
(x)，则y=
?
-1
(x)的图象与y =-
?
(-x)的图象关于直线
_______对称。
1
，2）内 是增函数，则y=f(x
2
-1)的单调递减区间为_______。
2
1 11
?
x?1
?
?
=1-
?
2
，则f() =_______。
x
x
x
?
x
?
10. 函数y=
x?1?x?1
, x∈(1, +∞)的反函数是_______。
9． 函数f(x)满足
f
?
11．求下列函数的值域：（1）y=
x?2?
(3)y=x+2
x?1
; (4) y=
x?1
; (2)y=
x?
1
x
?x?
1
?1
;
x
x?1
.

2
x?2
12. 已知
y?f(x)
定义在R上，对任意x∈R, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函 数，又当x∈[2,3]
时，f(x)=x，则当x∈[-2,0]时，求f(x)的解析式。
四、高考水平训练题
1．已知a∈
?
?
?
1
?< br>,0
?
, f(x)定义域是（0,1]，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+ f(x)的定义域为_______。
?
2
?
2．设0≤a<1时，f(x )=(a-1)x
2
-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______。
3．映射f: {a, b, c, d}→{1，2，3}满足10个。
4．设函数y=f(x)(x∈R) 的值域为R，且为增函数，若方程f(x)=x解集为P，f[f(x)]=x解集为Q，
则P，Q的关 系为：P_______Q（填=、
?
、
?
）。
?
?5．下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(x-1)
1?x
；（2）g(x)=|2 x+1|-|2x-1| (3)
1?x
（4）y=
x?1?x?1.

?
(x)=
x
2
?1?1?x
2
；
6. 设函数y=f(x)(x∈R且x
?
0)，对任意非零实数x
1
, x
2
满足f(x
1
x
2
)=f(x
1
)+f(x< br>2
)，又f(x)在（0，
+∞）是增函数，则不等式f(x)+f(x-
1< br>)≤0的解集为_______。
2
?
x
7．函数f(x)=
?
?
?x
x?P
x?M
，其中P，M为R的两个非空子集，又规定 f(P)={y|y=f(x), x∈P},
f(M)={y|y=f(x), x∈M}，给出如下判断：①若P∩M=
?
，则f(P) ∩f(M)=
?
；②若P∩M
?
?
，
则f(P) ∩f(M)
?
?
；③若P∪M=R, 则f(P) ∪f(M)=R；④若P∪M
?
R，则f(P) ∪f(M)
?
R. 其
中正确的判断是_______。
8．函数y=f(x+1)的反函数是y=f
- 1
(x+1)，并且f(1)=3997，则f(1998)= _______。
9．已知 y=f(x)是定义域为[-6，6]的奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是

二次函数，又f(6)=2，当x∈[3，6]时，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的 解析式。
10．设a>0，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=
1
?
2

f(x)?[f(x)]
2
，求证：f(x)为周期函数。
1 1．设关于x的方程2x
2
-tx-2=0的两根为α，β（α<β），已知函数f(x)=< br>4x?t
（,1）求f(α)、
2
x?1
f(β)；（2）求证：f( x)在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x
1
, x
2
，求证：?
x
1
?
?x
2
?
?
f
?< br>?
x?x
?
?
?
2
?
1
?
?
x
1
?
?x
2
?
?
f
?
?
x?x
?
?
<2|α-β|.
2
?
1
?

五、联赛一试水平训练题
1．奇函数 f(x)存在函数f
-1
(x)，若把y=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2 个单位
后，再关于直线y=-x对称，得到的曲线所对应的函数是________.
1
??
1
?
?
是________（奇偶性）.
x
?
a?1
2
?
?
1?x
??
1?x?
3．若
F
?
则下列等式中正确的有________.①F(-2-x )=-2-F(x)；②F(-x)=
F
??
=x，
?
；
1?x1?x
????
2．若a>0，a
?
1,F(x)是奇函数，则G(x )=F(x)
?
③F(x
-1
)=F(x)；④F(F(x))=-x. < br>4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y) -f(y)-x+2，则
f(x)=________.
5．已知f(x)是定义在R上的函 数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。
若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= ________.
6. 函数f(x)=
1
2
x?2x?3
xx
7. 函数f(x)=的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。
?
1?2
x
2
8. 函数y=x+
x
2
?3x?2
的值域为________.
9．设f(x)=
?
的单调递增区间是________.
?
1< br>?
x?1
x?[1,2]
x?
?
2,3
?
,
对任意的a∈R，记V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，试求V(a)的最小值。
?
1?x
2
?y
?
2
10．解方程组：
?
1?y?z. （在实数范围内）
?
1?z
2
?x
?
11．设k∈N
+
, f: N
+
→N
+
满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N+
, 有f[f(n)]=kn，求证：
对任意n∈N
+
, 都有
2kk?1
n≤f(n)≤
n.

k?12
?
1
?
?
；
x
??
六、联赛二试水平训练题
1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0, f(x)=x·f
?
（2）对所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
2.设f(x)对一切x>0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x>0,
f(x)f
?
f(x)?
?
?
1
?
?=1，试求f(1).
x
?
3. f:[0,1]→R满足：（1）任意x∈[0, 1], f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x, y, x+y∈[0, 1]时，f(x)+f(y)
≤f(x+y)，试求最小常数c，对满足（1） ，（2），（3）的函数f(x)都有f(x)≤cx.

4. 试求f(x,y)=6 (x
2
+y
2
)(x+y)-4(x
2
+xy+y
2
)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。
5．对给定的正数p,q∈(0, 1)，有p+q>1≥p
2
+q
2
，试求f(x)=(1-x)
在[ 1-q,p]上的最大值。
p
2
?x
2
+
xq
2
?(1?x)
2
?
x
?
6．已知f: (0,1)→R且f (x)=
?
p?1
?
q
?
当x∈
?
x?Q
.
p
x?,(p,q)?1,0?p?q
q
?
78
?
,
?
时，试求f(x)的最大值。
8
?
9
?
7．函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)=
?
(n?1000)
?
8．函数y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）求证：
2
方程f(x)=x恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。
9．设Q
+
是正有理数的集合，试构造一个函数f: Q
+
→Q+
，满足这样的条件：f(xf(y))=
y∈Q
+
.


?
n?3
?
f[f(n?5)]
(n?1000)
，求f(100)的值。
f(x)
,?
x,
y