邓杨高中数学讲义-微积分是高中数学必修几
函数模型及其应用
最新考纲：1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征、知
道直线上升、指数增长、
对数增长等不同函数类型增长的含义。
2.了解函数模型（指数函数
、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数
模型）的广泛应用，并能举例描述。 <
br>知识梳理1.指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间
?
0,?
?
?
上，
尽管函数
y?a
x
(a?1),y?log
a
x(a?1),y?x
n
(n?0)
都是增函数，但是它们的
_
_________不同，而且不在同一个“档次上”。随着x的增大，
y?a
x
(a
?1)
的增长速度
_______，会越过并远远大于
y?x(n?0)
的_
_________；而
y?log
a
x(a?1)
的增长速
度会_
_________，因此，总会存在一个
x
0
，当x>
x
0
时，有__________.
2.解应用问题的一般程序：读题
?
建模
?
求解
?
反馈。
（1）
读题：深刻理解题意，正确审题，弄清已知什么，求取什么，需要什么。
（2）
建模：通过换元，将实际问题转化为数学关系式或建立数学模型。
（3）
求解：通过数学运算将数学模型中的未知量求出
（4）
反馈：根据题意检验所求结果是否符合实际情况，并正确做大。
3.常见的几种函数模型
（5） 一次函数型y= kx+b
?
k?0
?
（2）反
比例函数型y=
（3）二次函数型
y?ax?bx?c
?
a?0
?<
br>
2
n
k
?
k?0
?
x
（4）指数函数型
y?N
?
1?p
?
（增长率问题）(x>0)
x
（5）
y?x?
a
型 （6）分段函数型
x
题型一： 函数模型为正比例函数型问题
例1. 某商人购货，进价已按原价a扣
去25%，他希望对货物订一新价，以便按新
价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人
经营这种货物的件数x
与按新价让利总额y之间的函数关系是？
感悟：
题型二
函数模型为反比例函数型问题
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例2. 学校请了30名木工
，要制作200把椅子和100张课桌。已知制作一张课桌与
制作一把椅子的工时数之比为10：7，问
30名工人应当如何分组（一组制课
桌，另一组制椅子），能最快完成任务？
感悟：
题型三 函数模型为指数函数型问题
例3.（07湖北）
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知
药物释放过程中，室内每立方米
空气中的含药量
y
（毫克）与时间
t
（小
?
1
?<
br>时）成正比；药物释放完毕后，
y
与
t
的函数关系式为
y?<
br>??
?
16
?
为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问
题：
t?a
（
a
（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量
y
（毫克）与时间
t
（小时）之间的函数
关系式为
.
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那
从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
感悟：
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题型四 函数模型为其它函数问题
例4.有甲、乙两种商品，经营
销售这两种商品所获得的利润依次是p和q（万元）。它
们与投入的资金x(万元)的关系有经验公式：
p?
13
x,q?x
，今有3万元资金投入
54
经营甲、乙
两种商品，为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少时
才能获得最大利润？
感悟：
例5某分公司经销
某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品总公司交a
元
?
3?a?5?
的管理费，预计当每件产品的售价为x元
?
9?x?11
?
时
，一年的销售量为
?
12?x
?
2
万件。
（1）公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式。
（2）产品的售价为多少元时，分公司一年利润L最大，并求出L的最大值Q（a）。
感悟：
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达标检测：
1某工厂
生产的商品A，若每件定价为80元，则每年可销售80万件。政府税务部门对
市场销售的商品A要征收
附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确
定税率。根据市场调查，若政府对商品A征收
附加税为p%（即销售100元时征收p元）
时，每年销售额将减少10p万件。（1）若税务部门对商
品A每年征收的税金不少于96
万元，求p的范围。（2）若税务部门仅仅考虑每年所获得税金最高，此
时p的值。
2.某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即年产量）x<
br>万件与年促销费用m万元（
m?0
）满足
x?3?
k
（k为常
数）。如果不搞促销，
m?1
则该产品的年销售量只能是1万件。已知2008年生产该产品的
固定投入为8万元，每
生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品
年平
均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）
（1）08年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数
（2）2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
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