高一数学函数单调性例题

高一数学函数单调性典型例题
例1．(1)
设函数f(x)?(2a?1)x?b是R上的减函数,
则a的范围为( D)
A．
a?
1111
B．
a?
C．
a??
D．
a?

2222
2
提示：2
a
?
1<0时该函数是R上的减函数.
(2)函数
y?x?bx?c(x?[0,??)
)是单调函数的充要条件是( A )
A．
b?0
B．
b?0
C．
b?0
D．
b?0

提示：考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象
(3)
已知
f(x)在区间
(??,??)
上是减函数，
a,b?R
且
a?b?0< br>，则表达正确的是（
D
）

A
．
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
B
．
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)

C
．
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
D
．
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)

提示：
a?b ?0
可转化为
a??b
和
b??a
在利用函数单调性可得
.
(4) 如下图是定义在闭区间上的函数
y?f(x)

的图象,该函数的单调增区间为 [-2,1]和[3,5]
提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并.
(5) 函数
y?x
2
?2x?3
的单调减区间是
(??,?3]

提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域.
例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间
22
（1）
y??x?2|x|?1
（2）
y?|?x?2x?3|

22
??
?
?x?2x? 1(x?0)
?
?(x?1)?2(x?0)

即
y?
?

解：
(1)
y?
?
2 2
?x?2x?1(x?0)?(x?1)?2(x?0)
??
??
如图所示，单调增区间为
(??,?1]和[0,1]
，单调减区间为
[?1,0 ]和[1,??)

222
（
2
）当
?x?2x?3?0, 得?1?x?3
，函数
y??x?2x?3??(x?1)?4

当
?x?2x?3?0,得x??1或x?3
，函数
y?x?2x?3?(x?1)?4

2
?
?
?(x?1)?4(?1?x?3)

即
y ?
?
2
(x?1)?4(x??1或x?3)
?
?
如图所示 ，单调增区间为
[?1,1]和[3,??]
，单调减区间为
(??,?1]和[1, 3]

222
(1) (2)
例
3
．根据函数单调性的定义，证明函数

证明：设
x1
,x
2
?R且x
1
?x
2

3322

则
f(x
1
)?f(x
2
)?x
2
?x
1
?(x
2
?x
1
)(x
2
?x
1
x
2
?x
1
)

在

上是减函数．


因为x
1
?x
2

所以x
2
?x
1
?0
，且在

x
1
与

x
2
中至少有一个不为
0
，

22
不妨设

x
2
?0
，那么
x
2
?x
1
x
2
?x
1
?(x
1
?
x
2
2
3
2
)?x
2
?0
，所以f(x
1
)?f(x
2
)

24
故

f(x)
在

(??,??)
上为减函数

例
4.设
f(x)
是定义在
R
上的函数，对
m
、
n? R
恒有
f(m?n)?f(m)?f(n)
，且当
x?0
时，
0?f(x)?1
。

（
1
）求证：
f(0)?1
；

（
2
）证明：
x?R
时恒有
f(x)?0
；

（
3
）求证：
f(x)
在
R
上是减函数；

（
4
）若
f(x)?f(2?x)?1
，求
x
的范 围。

1111
则
f(?0)?f()?f(0)
，因为
f ()?0

所以
f(0)?1

2222
(2)
设
x?0
则
?x?0
，

由条件可知
f(?x)?o

又因为
1?f(0)?f(x?x)? f(x)gf(?x)?0
，所以
f(x)?0

∴
x?R
时，恒有
f(x)?0

（
3
）设
x
1
?x
2
则

解：
(1)
取
m=0
，
n=
f(x
1< br>)?f(x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
?x
1
)
=
f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)f(x
1
)

=
f(x
1
)[1?f(x
2
?x
1
)]


因为
x
1
?x
2
所以
x
2
?x
1
?0
所以
f(x
2
?x
1
)?1
即
1?f(x
2
?x
1
)?0


又因为
f(x
1
)?0
，所以
f(x
1
) [1?f(x
2
?x
1
)]?0


所以
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，即该函数在
R
上 是减函数
.
(4)
因为
f(x)?f(2?x)?1
，所以f(x)?f(2?x)?f(2x?x
2
)?f(0)

所以
2x?x
2
?0
，所以
x的范围为x?2或x?0


【课内练习】

1
．下列函数中
,
在区间
(0,2 )
上为增函数的是
( D ).
A
．
y??3x?2
B
．

y?
提示：根据函数的图象
.
2.
函数

y??x
2
?2x?3
的增区间是（
A
）
.

A
．
[
?
3,
?
1] B
．
[
?
1,1] C
．

(??,?3)
D
．

[?1,??)

提示：注意函数的定义域
.
3.
f(x)?x
2
?2(a?1)x?2
在

(??,4]
上是减函数，则
a
的取值范围是（
A
）
.

A
．

a??3
B
．

a??3
C
．

a?5
D
．

a?3

提示
:
考查二次函数图象的对称轴和区间端点
.
4
．若函 数
f(x)
在区间
[
a
,b]
上具有单调性，且
f (a)?f(b)?0
,
则方程
f(x)?0
在区间
[
a< br>，
b]
上（
D
）

A
．至少有一个实数根
B
．至多有一个实数根

C
．没有实数根
D
．必有唯一的实数根

提示
:
借助熟悉的函数图象可得
.
5.
函数
y??x
2
?6x?10

的单调增区间是
_ _
(??,?3]
__
，单调减区间
___
[?3,??)
___
。

提示
:
画出二次函数的图象
,
考虑函数对称轴
.
6
．若
f(x)?2x
2
?mx?3
当

x?[?2,??)
时是增函数
,
当
x?(??,?2]
时是减函数
,
则

3
C
．

y?x
2
?4x?5

D
．

y?3x
2
?8x?10

x
f(1)?
13
提示：由题可知二次函数的对称轴是
x??2
可求出
m
的值
.
7
．已知
f(x)
在定义域内是减函数，且
f(x)
> 0
，在定义域内下列函数为单调增函数为

②③

①y?a?f(x)
（为常数）；②
y?a?f(x)
（
a
为常数 ）；③

y?
提示：借助复合函数的单调性
.
1
2

；④

y?[f(x)]
．
f(x)

x(x?1)
在[0,1]
上的最大和最小值的和为
a
，则
a
=8
．函 数
f(x)?a?log
a
1

2
1

2
9
．设
f(x)
是定义在
(0,??)
上的单 调增函数，满足
f(xy)?f(x)?f(y),f(3)?1


求： （
1
）
f
（
1
）；（
2
）当
f( x)?f(x?8)?2
时
x
的取值范围
.
提示：
f(x )
是
[0,1]
上的增函数或减函数
,
故
f(0)?f(1 )?a
，可求得
a
=
解
:(1)
令
x?y?1
可得
f(1)?0
(2)
又
2=1+1=
f(3)?f(3)?f(9)

由
f(x)?f(x?8)?2
,
可得
f[x(x?8)]?f(9)

因为
f(x)
是定义在
(0,??)
上的增函数
,
所以有
x?0
且
x?8?0
且
x(x?8)?9
，解得：
8?x?9

10
．求证
:
函数
f(x)?x?< br>证明
:
设
x
1
?x
2
?a
则

a
(a?0)
在
(a,??)
上是增函数
.
x
f(x
1
)?f(x
2
)?
(x
1
?< br>xx?a
aaa
)?(x
2
?)?(x
1
?x
2
)(1?)?(x
1
?x
2
)(
12
)

x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
当
x
1
?x
2
?a
时< br>x
1
?x
2
?0
,
x
1
x
2
?0
,
x
1
x2
?a
，所以
f(x
1
)?f(x
2
)?0< br>
所以函数
f(x)?x?
a
(a?0)
在
(a,? ?)
上是增函数
.
x

课后作业-A组
1.下列四个函数：①
y?
xx
22
?2
，其; ②
y?x?x
； ③
y??(x?1)
; ④
y?
x?11?x
中在
(-?,0)
上为减函数的是（ A ）。
（A）① （B）④ （C）①、④ （D）①、②、④
2.函数
f(x)
在
(a,b)
和
(c,d)
都是增函数，若
x1
?(a,b),x
2
?(c,d)
，且
x
1
?x
2
那么（ D ）
A．
f(x
1
)?f(x
2
)
B．
f(x
1
)?f(x
2
)
C．
f(x
1
)?f(x
2
)
D．无法确定
3. 已知函数
f(x)
是定义在
(?2,2)
上的减函数，若f(m?1)?f(2m?1)
，实数
m
的取值范
围为( B )
313
C.
-1 D.
??m?

222
2
4.已知
f(x)?(x?2),x?[?1,3]
，函数
f(x?1)
的单调递减区间为
[?2,1]

1
3
5.函数
y?x?
在
[1,2]
上的值域为
[0,]

2
x
A.
m>0
B.
0ax
(
a
≠0)在区间(－1，1)上的单调性。
2
x?1
解：设
?1?x
1
?x
2
?1
, 则
ax
a(x
1
x
2
?1)(x
2
?x
1
)< br>ax
f(x
1
)?f(x
2
)?
2
1
－
2
2
＝,
22
x
1
?1
x
2
?1
(x
1
?1)(x
2
?1)
(x
1
x
2
?1)(x
2
?x
1
)
22
xx?1?0x?x?0
∵
x
1
?1?0
,
x
2
?1?0
,
12
,
21
, ∴>0,
22
(x
1
?1)(x
2
?1)
∴ 当
a?0
时,
f(x
1
)?f(x
2
)?0
, 函数
y?f(x)
在(－1, 1)上为减函数，
6.判断函数
f(x)?

当
a?0
时,
f(x
1
)?f(x
2
)?0
, 函数
y?f(x)
在(－1, 1)上为增函数.
7.作出函数
f(x)? |x?1|?x
的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间.
2
解:当
x?1或x??1
时,
y?x?x?1
?(x? )?
2
1
2
2
2
5

4
当
?1?x?1
时,
y??x?x?1??(x_)?
2
1
2
5

4
-1
y
由函数图象可以知道函数增区间为
(??,?1],[,1]

1
2
01
1
1
2
函数减区间为
[?1,],[1,??)

2
8.设
f(x)
是定义在
(0,??)
上的增函数，
f(2)?1
，且
f(xy)?f(x)?f(y)
，求满足不等式
f(x)?f(x?3)?2
的
x
的取值范围.
x
解:由题意可知:
f(x)?f(x?3)?f(x?3x)

又
2?2f(2)?f(2)?f(2)?f(4)
，
2
于是不等式
f(x)?f(x?3)?2
可化为
f(x?3x)?f(4)

2
因为函数在
(0,??)
上为增函数,所以不等式可转化为：
,解得：
3?x?4
，所以
x
的取值范围是
(3,4]
.
课后作业-B组
1.
函数
y??x
2
?|x|
的单调递减区间为
( A )
A.
[?,0]和[,??)
B.
[?
1
2
1
2
1
111
,0]
C.
[?,0]和[,1]
D.
[?1,0]和[,??)

2
222
2.
单调增函数
f(x)
对任意
x,y?R，满足
f(x?y)?f(x)?f(y),若f(k?3
x
)?f(3
x
?9
x
?2)?0

恒成立，则
k
的取值范围是

A
．
(?22?1,22?1)


（
B
）

B
．
(??,22?1)
C
．
(0,22?1]
D
．
[22?1,??)

3.
函数
y
＝
1
x
2
?2x?80
的单 调递增区间为（
A
）

A
．
(??,?8)
B
．
(??,1)
C
．
(1,??)
D
．
(?8,??)

4.函数y＝
1?x
1?x
函数y＝的递
的递减区间是 (―∞, ―1)、(―1, ＋∞) ；
1?x
1?x
2
?
),
f
(
?
)，
3
2
减区间是 (－1, ＋1]
5.已知函数
f(x)
在[0, π)上是递减函数，那么下列三个数
f(lg100)
,
f
(
从大 到小的顺序是
f
(
2
?
)>
f(lg100)
>< br>f
(
?
)
3
2

6.(1) 证明：函数
y?
(2)并判断函数
y?x?
(3)求函数
y?x?
x
在
[0,??)
上是增函数，
x
在
[0,??)
上的单调性
x
在区间[1，4]上的值域.
证明：(1)设
0?x
1
?x
2
，则由已知
y?x
，有
y
1
?y
2
?x
1
?x
2
?
因为
x
1
?x
2
?0

x
1
?x
2
?0
，所以
所以函数
y?
x
1
?x
2

x
1
?x2
x
1
?x
2
?0
，即
y
1
?y
2
.
x
1
?x
2
x
在
[0,??)
上是增函数.
(2)
f(x)?x,g(x)?x
在
[0,??)
上都是增函数，
x
在
[0,??)
上是增函数. 所以
y?f(x)?g(x)
，即
y?x?
(3)由(2)可以知道该函数在区间[1,4]上为增函数
则由函数单调性可以知道,该函数的值域为[1,3]
2
7.如果二次函数
f(x) ?x?(a?1)x?5
在区间
(,1)
上是增函数，求
f
（2）的 范围。
1
2
解：二次函数
f
（x）在区间
(,1)
上是增函数
因为图象开口向上，故其对称轴
x?
所以有
1< br>2
a?1
11
与
x?
重合或者位于
x?
的左 侧
22
2
a?11
?
，所以
a?2

22
所以
f(2)??2?2?11?7
,即
f(2)?7

x
f()?f(x)?f(y)
。
f(x)(0,??)
8.若是 定义在上的增函数，且对于
x?0
满足
y
1
（1）求
f(1 )
的值；（2）若
f(6)?1
，试求解不等式
f(x?3)?f()?2< br>。
x
解：（1）令
x?y?0
，则
f(1)?f(x)?f (x)?0
。
（2）因为
f(6)?1
，所以
11
f(x?3)?f()?2?f(x?3)?f()?2f(6)

xx
?f[x(x?3)]?f(6)?f(6)?f[x(x?3)]?f(6)?f(6)

?
x(x?3)
?
?f
?
?f(6)

?
6
??
x(x?3)x(x?3)
?0
，所以
?6
， 由于
f(x)
是定义在
(0,??)
上的增函数，且
66
?3?317
解得：
0?x?
。
2