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高中数学三角函数知识点

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 17:36
tags:高中数学函数

天津高中数学高二学什么-2018高中数学教师资格考试试题


高中数学第四章-三角函数知识点汇总
1. ①与
?
(0°≤
?
<360°)终边相同的角的集合(角
?
与角
?
的终边重合):
?
?
|
?
?k?360
?
?
?
, k?Z
?


②终边在x轴上的角的集合:
?
?
|
?
?k?180,k?Z
?

?
y
2
sinx
1
cosx
3
sinx
③终 边在y轴上的角的集合:
?
?
|
?
?k?180
?
?90
?
,k?Z
?

④终边在坐标轴上的角的集合:
?< br>?
|
?
?k?90
?
,k?Z
?

⑤终边在y=x轴上的角的集合:
?
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
?

⑥终边在
y??x4
cosx
cosx
1
sinx
2
sinx
3
x
cosx
4
SINCOS
三角函数值大小关系图
轴上的角 的集合:
?
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
?

1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在 区域
⑦若角
?
与角
?
的终边关于x轴对称,则角
?
与角
?
的关系:
?
?360
?
k?
?
< br>⑧若角
?
与角
?
的终边关于y轴对称,则角
?
与角< br>?
的关系:
?
?360
?
k?180
?
?< br>?

⑨若角
?
与角
?
的终边在一条直线上,则角?
与角
?
的关系:
?
?180
?
k?
?

⑩角
?
与角
?
的终边互相垂直,则角
?
与角
?
的关系:
?
?360
?
k?
?
? 90
?

2. 角度与弧度的互换关系:360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式: 1rad=
180
°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=
?
?
180
≈0.01745(rad)
3、弧长公式:
l?|
?
|?r
. 扇形面积公式:< br>s
扇形
?
1
2
lr?
1
2
|
?
|?r

?
y
r
2
4、三角函数:设
?
是一个任意角,在
?
的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离 为r,则
sin
?
cos
?
?
x
r


tan
?
?
y
x

cot
?
?
x
y

sec
?
?
r
x
;.
csc
?
?
r
y
.
y
y
PT
r
P(x,y)
5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)
a
的终边
+
+
o
x
-
-
正弦、余 割
y
-+
o
-+
x
余弦、正割
y
-
+
o
x
+-
正切、余切
O
y
o
M
A
x
x

6、三角函数线
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.

7. 三角函数的定义域:
sinx>cosx
O
x
16. 几个重要结论
:
(1)< br>y
(2)
y
|sinx|>|cosx|
|cosx|>|sinx|
O
|cosx|>|sinx|
x
cosx>sinx
|sinx| >|cosx|
?
(3) 若 o2
高三数学总复习—三角函数


三角函数 定义域
f(x)?
sinx
?
x|x?R
?

f(x)?
cosx
?
x|x?R
?

f(x)?
tanx
?
?
x|x?R且x?k
?
?
1
2
?
,k?Z
?
?

??
f(x)?
cotx
?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?

f(x)?
secx
?
?
x|x?R且x?k
?
?
1
?
,k?Z
?
?

?
2
?
f(x)?
cscx
?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?

8、同角三角函数的基本关系式:
sin
?

cos
?< br>cos
?
?tan
?
sin
?
?cot
?< br>
tan
?
?cot
?
?1

csc??sin??1

sec??cos??1

sin
2
?
?cos
2
?
?1

sec
2
?
?tan
2
?
?1

csc
2
?
?cot
2
?
?1

9、诱导公式:

k
?
?
?
的三角函数化为
?的三角函数,概括为:
“奇变偶不变,符号看象限,
?
当成锐角看!”(
k?Z
2
三角函数的公式:(一)基本关系
公式组一
公式组二 公式组三
sin
x
·
csc
x
=1tan
x=
sinx
n2(k
?
?x)?sinxsin?(x)??sinx< br>cosx
sin
2
x
+cos
2
x
=1si

cos

x

·

sec

x

=1

x

cos2(k
?
?x)?cosx
cos?(x)?cosx
=cos

x

1+tan

2

x

=sec

2
x

tan2(k
?
?x)?tanx

sinx
tan?(x)??tanx

tan
x
·
cot
x
=1 1 +cot
2
x
=csc
2
x
cot2(k
?
?x)?cotx
cot?(x)??cotx
公式组四 公式组五 公式组六
sin(
?
?x)??sinxsin2(
?
?x)??sinxsin
?
(? x)?sinx
cos(
?
?x)??cosx

cos2(?
?x)?cosx
tan(
?
?x)?tanx

cos
?
(?x)??cosx
tan2(
?
?x)??tanxt an
?
(?x)??tanx
cot(
?
?x)?cotxcot2(
?
?x)??cotxcot< br>?
(?x)??cotx
(二)角与角之间的互换
公式组一 公式组二
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?

sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?si n
?
sin
?

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1? 1?2sin
2
?

sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

sin
?
1?cos
?
2
??
2

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?

cos
?
cos
?
2
??
1?
2

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan< br>?
sin
?
1?cos
?
1?tan
?
ta n
?

tan

?
cos
?
2
??
1?
1?cos
?
?
1?cos
?
?
sin
?
公式组三 公式组四 公式组五
2tan
?
sin
?
cos
?
?
1
2
?
sin
?
?
?
?
?
?s in
?
?
?
?
?
?
cos(
1
s in
?
?
2
1
2
?
?
?
)?si n
?
1?tan
2
?

cos
?
sin
?
?
2
?
sin
?
?
?< br>?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
2
sin(
1
?
?
?
)?cos
?
co s
?
cos
?
?
1
2
?
cos
?
??
?
?cos
?
?
?
?
?
?< br>2
1?tan
2
?
?
tan(
1
cos?
?
2

sin
?
sin
?
? ?
1
?
?
?
?
?cos
?
?
?< br>?
?
?
2
?
?
?
)?cot
?1?tan
2
?
2
?
cos
?
2
si n
?
?sin
?
?2sin
?
?
??
?< br>?
cos(
1
2
cos
2
2
?
?< br>?
)??sin
?
高三数学总复习—三角函数

< br>2tan
tan
?
?
1?tan
?
2
2sin
?
?sin
?
?2cos
?
?
?
2
?
?
?
sin
cos
?
?
?
2
?
?
?
2
?
?
?
?
tan(< br>sin(
?
1
2
1
2
3
?
?
?
)??cot
?
?
?
?
)?cos
?

2
?
cos
?
?cos
?
?2cos
co s
?
?cos
?
??2sin
2
2
?
?< br>?
sin15
?
?cos75
?
?
6?
4< br>, ,
tan15
?
?cot75?2?
?
3
,.
2
sin
tan75?cot15?2?
2

sin7 5
?
?cos15
?
?
6?
4
2

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

定义域
值域
周期性
奇偶性






单调性

y?sinx

y?cosx
y?tanx1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?
2
??

y?cotx
y?Asin
?
?
x?
?
?

(A、
?
>0)
R R
[?1,?1]

R
[?1,?1]


?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
R
?

R
?

?
?A,A
?

2
?

2
?

奇函数
?
2
2
?

?

偶函数
[
?
2k?1
?
?
,
奇函数
?
?
?
?
?k
?
,?k
?
??
?
2
?
2
?
奇函数

?

?
?0,
?0,
非奇非偶
奇函数
[??2k
?
,
2k
?
]

?
k
?
,
?
k?1
?
?
?
上为减函
数 (
k?Z

?
2
?2k
?
]
上为增函上 为增函数

[2k
?
,

k?Z

< br>上为增函

[

?2k
?
,
?2k
?
]
?
2k?1
?
?
]
?
??
?
2k
?
??
?
?
2
(A),
??
?
??
??
1
2k
?
?
?
?
?< br>??
2
?
(?A)
?
?
??
?
2< br>2
上为减函


k?Z


上为增函数;
?
??
2k
?
??
?
??
2
(A),
??
?
??
??
3
2k
?
?
?
?
?
??
2
(?A)
??
?
??
3
?
上为减函
数(
k?Z

注 意:①
y??sinx

y?sinx
的单调性正好相反;
y??c os

[a,b]
上递增(减),则
y??f(x)

[a ,b]
上递减(增).

y?sinx
x

y?cos< br>上为减函数

k?Z

x
的单调性也同样相反.一般地,若
y?f(x)

y

y?cosx
的周期是
?.
?cos(
?
x?
?
)
?
?
③< br>y?sin(
?
x?
?
)

y
y?tan< br>x
2

?
?0
)的周期
T?
2
?< br>?
.
O
x
的周期为2
?

T??T?2< br>?
,如图,翻折无效).
?
2

y?sin(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x

k?Z
), 对称中心(
k
?
原点对称
?k
?
?

k? Z
),对称中心(
k
?
,0
);
y?(soc
?< br>x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
?
12

y?(nat
?
,0

?
x?
?
)
的对称中心(
k
?
2
,0
).
y?cos2x?????y??cos(?2x)??cos2x

tan
?
⑤当
tan
?
·
?1,
?
?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
tan
?
tan
?
·
??1,
?
?
?
?k
?< br>?
?
2
(k?Z)
.

y?cosx
?< br>?

y?sin
?
?2k
?
?
是同一函数, 而
y?(
?
x?
?
)
是偶函数,则
?
x?
?
2
?
高三数学总复习—三角函数


y?(
?
x?
?
)?sin(
?
x?k
?
?
1
2
?
)??cos(
?
x)
.
⑦函数
y?tanx

R
上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,
y?tanx
为增函数,
同样也是错误的].
⑧定义域关 于原点对称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件(.奇偶性的两个条件:一是定义域关于原 点对称(奇
偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:
f(?x)?f(x)
,奇函数 :
f(?x)??f(x)

奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:
y?t anx
是奇函数,
y?tan(x?
1
?
)
是非奇非偶.( 定义域不关于原点对称)
3
奇函数特有性质:若
0?x
的定义域,则
f(x)
一定有

y?sin
f(0)?0
.(
0?x< br>的定义域,则无此性质)


x
不是周期函数;
y?si nx
为周期函数(
T?
?

是周期函数(如图);
y?co sx
为周期函数(
T?
?
);
y

y
x
12
x
y?cosx
y=cos|x|图象
y?cos2x?
1
2
的周期为
?
(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:
y=|cos2x+12|图象
y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.

y?acos
?
?bsin
?
?a?b
22
s in(
?
?
?
)?cos
?
?
b
a

a
2
?b
2
?y
.
11、三角函数图象的作法:
1)几何法:
2)描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).
3)利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.
函数y=Asin(ωx+φ)的 振幅|A|,周期
T?
2
?
|
?
|
,频率
f?
1
T
?
|
?
|
2
?
,相位< br>?
x?
?
;
初相
?
(即当x=0时的相
位) .(当A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),
由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不 变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|
倍,得到y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用yA替换y)
由y=sinx的图象上的点的纵坐 标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的
|
得到y=sin ω x的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx替换x)
由y=sinx的图象上所 有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)
的图象 ,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)
由y=sinx的图象上所有的点向上 (当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的
图象叫做沿y轴方向 的平移.(用y+(-b)替换y)
由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:
当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原 图象延x轴量伸缩量的区别。
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反 三角函数:?反正弦函数
y?arcsinx
是奇函数,故
arcsin(?x)?? arcsinx

x?
?
?1,1
?
(一定要注明定义域,

x?
?
??,??
?
,没有
x

y
一一对应,故
y?sinx
无反函数)注:
sin(arcsinx)? x

x?
?
?1,1
?

arcsinx?
?
?
?
,
?
?
.
??
?
22
?
1
?
|
倍,
高三数学总复习—三角函数


?反余弦函数
y?arccosx
非奇非偶,但有
arccos(?x)?a rccos(x)?
?
?2k
?

x?
?
?1,1
?
.
注:①
cos(arccosx)?x

x?
?
?1,1
?

arccosx?
?
0,
??
.

y?cosx
是偶函数,
y?arccosx
非奇非偶,而
y?sinx

y?arcsinx
为奇函数.
?反 正切函数:
y?arctanx
,定义域
(??,??)
,值域(
?
arctan(?x)??arctanx

x
??
2
,< br>2
),
y?natcrax
是奇函数,
?
(??,??)< br>.注:
tan(arctanx)?x

x?
(??,??)
.
??
2
,
2
?反余切函数:
y?arccotx
,定义域
(??,??)
,值域(
?

y?arcsinx

y?arcsin(1?x)
互为奇函数,
),
y?cratocx是非奇非偶.
arccot(?x)?arccot(x)?
?
?2k
?

x?
(??,??)
.注:①
cot(arccotx)?x< br>,
x?
(??,??)
.
y?arctanx
arccos (?x)?arccosx?
?
?2k
?
,x?[?1,1]arccotx ?arccot(?x)?
?
同理为奇而
y
?2k
?
,x? [?1,1]
.
a
?arccosx

y?arccotx
非奇非偶但满足
? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集:
a
的取值范围 解集

sin
a
的取值范围 解集
x?a
的解集 ②
cosx?a
的解集
?
>1
?arcsian,k?Z
?

k
a
>1
?

a
=1
?
x|x?2k
?
<1

a
=1
?
x|x?2k
?
?arccosa,k?Z
?

a
?
x|x?k
?
?
?
?1
?
arcsi an,k?Z
?arctana,k?Z
?
?

a
<1
?
x|x?k
?
?arccos
?a< br>a,k?Z
?


tanx?a
的解集:
?
x|x?k
?

cotx
的解集:
?
x|x?k
?
?arccota,k ?Z
?

3
二、三角恒等式.
组一

组二 < br>n
cos
?
cos2
?
cos4
?
...c os2
?
?
n
sin2
2
n?1
n?1
?
sin3
?
?3sin
?
?4sin
?
cos3< br>?
?4cos
?
?3cos
?
3
sin
2< br>?
?sin
2
2
?
?sin
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
2
sin
?
?cos
?
?cos
?
?
cos
k?1
?
2
k
?cos
?
2
cos
?< br>4
cos
?
8
?
cos
?
2
n?
sin
?
2sin
n
?
2
n
n
?
cos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)?k?0
n
sin((n?1)d)cos(x?nd)
sind

?
k?0
sin(x?kd)?sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)?< br>sin((n?1)d)sin(x?nd)
sind

tan(
?< br>?
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?tan
?
?tan
?
tan
?
tan
?
1?tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?

组三 三角函数不等式
sinx

x

tan
?
?
x,x?(0,
?
2
)

f(x)?
sinx
x

(0,
?
)
上是减函数

A?B?C
,则
x
2
?y
2
?z
2
?2yzcosA?2xz cosB?2xycosC

高三数学总复习—三角函数

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