天津高中数学高二学什么-2018高中数学教师资格考试试题
高中数学第四章-三角函数知识点汇总
1. ①与
?
(0°≤
?
<360°)终边相同的角的集合(角
?
与角
?
的终边重合):
?
?
|
?
?k?360
?
?
?
,
k?Z
?
▲
②终边在x轴上的角的集合:
?
?
|
?
?k?180,k?Z
?
?
y
2
sinx
1
cosx
3
sinx
③终
边在y轴上的角的集合:
?
?
|
?
?k?180
?
?90
?
,k?Z
?
④终边在坐标轴上的角的集合:
?<
br>?
|
?
?k?90
?
,k?Z
?
⑤终边在y=x轴上的角的集合:
?
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
?
⑥终边在
y??x4
cosx
cosx
1
sinx
2
sinx
3
x
cosx
4
SINCOS
三角函数值大小关系图
轴上的角
的集合:
?
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
?
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在
区域
⑦若角
?
与角
?
的终边关于x轴对称,则角
?
与角
?
的关系:
?
?360
?
k?
?
<
br>⑧若角
?
与角
?
的终边关于y轴对称,则角
?
与角<
br>?
的关系:
?
?360
?
k?180
?
?<
br>?
⑨若角
?
与角
?
的终边在一条直线上,则角?
与角
?
的关系:
?
?180
?
k?
?
⑩角
?
与角
?
的终边互相垂直,则角
?
与角
?
的关系:
?
?360
?
k?
?
?
90
?
2. 角度与弧度的互换关系:360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式: 1rad=
180
°≈57.30°=57°18ˊ.
1°=
?
?
180
≈0.01745(rad)
3、弧长公式:
l?|
?
|?r
. 扇形面积公式:<
br>s
扇形
?
1
2
lr?
1
2
|
?
|?r
?
y
r
2
4、三角函数:设
?
是一个任意角,在
?
的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离
为r,则
sin
?
cos
?
?
x
r
;
;
tan
?
?
y
x
;
cot
?
?
x
y
;
sec
?
?
r
x
;.
csc
?
?
r
y
.
y
y
PT
r
P(x,y)
5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)
a
的终边
+
+
o
x
-
-
正弦、余
割
y
-+
o
-+
x
余弦、正割
y
-
+
o
x
+-
正切、余切
O
y
o
M
A
x
x
6、三角函数线
正弦线:MP;
余弦线:OM; 正切线: AT.
7. 三角函数的定义域:
sinx>cosx
O
x
16. 几个重要结论
:
(1)<
br>y
(2)
y
|sinx|>|cosx|
|cosx|>|sinx|
O
|cosx|>|sinx|
x
cosx>sinx
|sinx|
>|cosx|
?
(3) 若
o
高三数学总复习—三角函数
三角函数 定义域
f(x)?
sinx
?
x|x?R
?
f(x)?
cosx
?
x|x?R
?
f(x)?
tanx
?
?
x|x?R且x?k
?
?
1
2
?
,k?Z
?
?
??
f(x)?
cotx
?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
f(x)?
secx
?
?
x|x?R且x?k
?
?
1
?
,k?Z
?
?
?
2
?
f(x)?
cscx
?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
8、同角三角函数的基本关系式:
sin
?
cos
?<
br>cos
?
?tan
?
sin
?
?cot
?<
br>
tan
?
?cot
?
?1
csc??sin??1
sec??cos??1
sin
2
?
?cos
2
?
?1
sec
2
?
?tan
2
?
?1
csc
2
?
?cot
2
?
?1
9、诱导公式:
把
k
?
?
?
的三角函数化为
?的三角函数,概括为:
“奇变偶不变,符号看象限,
?
当成锐角看!”(
k?Z
2
三角函数的公式:(一)基本关系
公式组一
公式组二
公式组三
sin
x
·
csc
x
=1tan
x=
sinx
n2(k
?
?x)?sinxsin?(x)??sinx<
br>cosx
sin
2
x
+cos
2
x
=1si
cos
x
·
sec
x
=1
x
cos2(k
?
?x)?cosx
cos?(x)?cosx
=cos
x
1+tan
2
x
=sec
2
x
tan2(k
?
?x)?tanx
sinx
tan?(x)??tanx
tan
x
·
cot
x
=1 1
+cot
2
x
=csc
2
x
cot2(k
?
?x)?cotx
cot?(x)??cotx
公式组四
公式组五 公式组六
sin(
?
?x)??sinxsin2(
?
?x)??sinxsin
?
(?
x)?sinx
cos(
?
?x)??cosx
cos2(?
?x)?cosx
tan(
?
?x)?tanx
cos
?
(?x)??cosx
tan2(
?
?x)??tanxt
an
?
(?x)??tanx
cot(
?
?x)?cotxcot2(
?
?x)??cotxcot<
br>?
(?x)??cotx
(二)角与角之间的互换
公式组一
公式组二
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos<
br>?
?sin
?
sin
?
sin2
?
?2sin
?
cos
?
co
s(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?si
n
?
sin
?
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?
1?2sin
2
?
sin(
?
?
?
)?
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
sin
?
1?cos
?
2
??
2
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
cos
?
cos
?
2
??
1?
2
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan<
br>?
sin
?
1?cos
?
1?tan
?
ta
n
?
tan
?
cos
?
2
??
1?
1?cos
?
?
1?cos
?
?
sin
?
公式组三 公式组四
公式组五
2tan
?
sin
?
cos
?
?
1
2
?
sin
?
?
?
?
?
?s
in
?
?
?
?
?
?
cos(
1
s
in
?
?
2
1
2
?
?
?
)?si
n
?
1?tan
2
?
cos
?
sin
?
?
2
?
sin
?
?
?<
br>?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
2
sin(
1
?
?
?
)?cos
?
co
s
?
cos
?
?
1
2
?
cos
?
??
?
?cos
?
?
?
?
?
?<
br>2
1?tan
2
?
?
tan(
1
cos?
?
2
sin
?
sin
?
?
?
1
?
?
?
?
?cos
?
?
?<
br>?
?
?
2
?
?
?
)?cot
?1?tan
2
?
2
?
cos
?
2
si
n
?
?sin
?
?2sin
?
?
??
?<
br>?
cos(
1
2
cos
2
2
?
?<
br>?
)??sin
?
高三数学总复习—三角函数
)
<
br>2tan
tan
?
?
1?tan
?
2
2sin
?
?sin
?
?2cos
?
?
?
2
?
?
?
sin
cos
?
?
?
2
?
?
?
2
?
?
?
?
tan(<
br>sin(
?
1
2
1
2
3
?
?
?
)??cot
?
?
?
?
)?cos
?
2
?
cos
?
?cos
?
?2cos
co
s
?
?cos
?
??2sin
2
2
?
?<
br>?
sin15
?
?cos75
?
?
6?
4<
br>, ,
tan15
?
?cot75?2?
?
3
,.
2
sin
tan75?cot15?2?
2
sin7
5
?
?cos15
?
?
6?
4
2
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
y?sinx
y?cosx
y?tanx1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?
2
??
y?cotx
y?Asin
?
?
x?
?
?
(A、
?
>0)
R R
[?1,?1]
R
[?1,?1]
?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
R
?
R
?
?
?A,A
?
2
?
2
?
奇函数
?
2
2
?
?
偶函数
[
?
2k?1
?
?
,
奇函数
?
?
?
?
?k
?
,?k
?
??
?
2
?
2
?
奇函数
当
?
当
?
?0,
?0,
非奇非偶
奇函数
[??2k
?
,
2k
?
]
;
?
k
?
,
?
k?1
?
?
?
上为减函
数
(
k?Z
)
?
2
?2k
?
]
上为增函上
为增函数
数
[2k
?
,
(
k?Z
)
<
br>上为增函
数
[
;
?2k
?
,
?2k
?
]
?
2k?1
?
?
]
?
??
?
2k
?
??
?
?
2
(A),
??
?
??
??
1
2k
?
?
?
?
?<
br>??
2
?
(?A)
?
?
??
?
2<
br>2
上为减函
数
(
k?Z
)
上为增函数;
?
??
2k
?
??
?
??
2
(A),
??
?
??
??
3
2k
?
?
?
?
?
??
2
(?A)
??
?
??
3
?
上为减函
数(
k?Z
)
注
意:①
y??sinx
与
y?sinx
的单调性正好相反;
y??c
os
在
[a,b]
上递增(减),则
y??f(x)
在
[a
,b]
上递减(增).
②
y?sinx
x
与
y?cos<
br>上为减函数
(
k?Z
)
x
的单调性也同样相反.一般地,若
y?f(x)
▲
y
与
y?cosx
的周期是
?.
?cos(
?
x?
?
)
?
?
③<
br>y?sin(
?
x?
?
)
或
y
y?tan<
br>x
2
(
?
?0
)的周期
T?
2
?<
br>?
.
O
x
的周期为2
?
(
T??T?2<
br>?
,如图,翻折无效).
?
2
④
y?sin(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x
(
k?Z
),
对称中心(
k
?
原点对称
?k
?
?
(
k?
Z
),对称中心(
k
?
,0
);
y?(soc
?<
br>x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
?
12
;
y?(nat
?
,0
)
?
x?
?
)
的对称中心(
k
?
2
,0
).
y?cos2x?????y??cos(?2x)??cos2x
tan
?
⑤当
tan
?
·
?1,
?
?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
tan
?
;tan
?
·
??1,
?
?
?
?k
?<
br>?
?
2
(k?Z)
.
⑥
y?cosx
?<
br>?
与
y?sin
?
?2k
?
?
是同一函数,
而
y?(
?
x?
?
)
是偶函数,则
?
x?
?
2
?
高三数学总复习—三角函数
y?(
?
x?
?
)?sin(
?
x?k
?
?
1
2
?
)??cos(
?
x)
.
⑦函数
y?tanx
在
R
上为增函数.(×)
[只能在某个单调区间单调递增.
若在整个定义域,
y?tanx
为增函数,
同样也是错误的].
⑧定义域关
于原点对称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件(.奇偶性的两个条件:一是定义域关于原
点对称(奇
偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:
f(?x)?f(x)
,奇函数
:
f(?x)??f(x)
)
奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:
y?t
anx
是奇函数,
y?tan(x?
1
?
)
是非奇非偶.(
定义域不关于原点对称)
3
奇函数特有性质:若
0?x
的定义域,则
f(x)
一定有
⑨
y?sin
f(0)?0
.(
0?x<
br>的定义域,则无此性质)
▲
;
x
不是周期函数;
y?si
nx
为周期函数(
T?
?
)
是周期函数(如图);
y?co
sx
为周期函数(
T?
?
);
y
▲
y
x
12
x
y?cosx
y=cos|x|图象
y?cos2x?
1
2
的周期为
?
(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:
y=|cos2x+12|图象
y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.
⑩
y?acos
?
?bsin
?
?a?b
22
s
in(
?
?
?
)?cos
?
?
b
a
有
a
2
?b
2
?y
.
11、三角函数图象的作法:
1)几何法:
2)描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).
3)利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.
函数y=Asin(ωx+φ)的
振幅|A|,周期
T?
2
?
|
?
|
,频率
f?
1
T
?
|
?
|
2
?
,相位<
br>?
x?
?
;
初相
?
(即当x=0时的相
位)
.(当A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),
由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不
变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|
倍,得到y=Asinx
的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用yA替换y)
由y=sinx的图象上的点的纵坐
标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的
|
得到y=sin
ω x的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx替换x)
由y=sinx的图象上所
有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)
的图象
,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)
由y=sinx的图象上所有的点向上
(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的
图象叫做沿y轴方向
的平移.(用y+(-b)替换y)
由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+
φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:
当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原
图象延x轴量伸缩量的区别。
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反
三角函数:?反正弦函数
y?arcsinx
是奇函数,故
arcsin(?x)??
arcsinx
,
x?
?
?1,1
?
(一定要注明定义域,
若
x?
?
??,??
?
,没有
x
与
y
一一对应,故
y?sinx
无反函数)注:
sin(arcsinx)?
x
,
x?
?
?1,1
?
,
arcsinx?
?
?
?
,
?
?
.
??
?
22
?
1
?
|
倍,
高三数学总复习—三角函数
?反余弦函数
y?arccosx
非奇非偶,但有
arccos(?x)?a
rccos(x)?
?
?2k
?
,
x?
?
?1,1
?
.
注:①
cos(arccosx)?x
,
x?
?
?1,1
?
,
arccosx?
?
0,
??
.
②
y?cosx
是偶函数,
y?arccosx
非奇非偶,而
y?sinx
和
y?arcsinx
为奇函数.
?反
正切函数:
y?arctanx
,定义域
(??,??)
,值域(
?
arctan(?x)??arctanx
,
x
??
2
,<
br>2
),
y?natcrax
是奇函数,
?
(??,??)<
br>.注:
tan(arctanx)?x
,
x?
(??,??)
.
??
2
,
2
?反余切函数:
y?arccotx
,定义域
(??,??)
,值域(
?
②
y?arcsinx
与
y?arcsin(1?x)
互为奇函数,
),
y?cratocx是非奇非偶.
arccot(?x)?arccot(x)?
?
?2k
?
,
x?
(??,??)
.注:①
cot(arccotx)?x<
br>,
x?
(??,??)
.
y?arctanx
arccos
(?x)?arccosx?
?
?2k
?
,x?[?1,1]arccotx
?arccot(?x)?
?
同理为奇而
y
?2k
?
,x?
[?1,1]
.
a
?arccosx
与
y?arccotx
非奇非偶但满足
? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集:
a
的取值范围
解集
①
sin
a
的取值范围 解集
x?a
的解集
②
cosx?a
的解集
?
>1
?arcsian,k?Z
?
k
a
>1
?
a
=1
?
x|x?2k
?
<1
a
=1
?
x|x?2k
?
?arccosa,k?Z
?
a
?
x|x?k
?
?
?
?1
?
arcsi
an,k?Z
?arctana,k?Z
?
?
a
<1
?
x|x?k
?
?arccos
?a<
br>a,k?Z
?
③
tanx?a
的解集:
?
x|x?k
?
③
cotx
的解集:
?
x|x?k
?
?arccota,k
?Z
?
3
二、三角恒等式.
组一
组二 <
br>n
cos
?
cos2
?
cos4
?
...c
os2
?
?
n
sin2
2
n?1
n?1
?
sin3
?
?3sin
?
?4sin
?
cos3<
br>?
?4cos
?
?3cos
?
3
sin
2<
br>?
?sin
2
2
?
?sin
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
2
sin
?
?cos
?
?cos
?
?
cos
k?1
?
2
k
?cos
?
2
cos
?<
br>4
cos
?
8
?
cos
?
2
n?
sin
?
2sin
n
?
2
n
n
?
cos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)?k?0
n
sin((n?1)d)cos(x?nd)
sind
?
k?0
sin(x?kd)?sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)?<
br>sin((n?1)d)sin(x?nd)
sind
tan(
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br>?
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tan
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?tan
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?tan
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?tan
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tan
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tan
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1?tan
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tan
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?tan
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tan
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?tan
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tan
?
组三 三角函数不等式
sinx
<
x
<
tan
?
?
x,x?(0,
?
2
)
f(x)?
sinx
x
在
(0,
?
)
上是减函数
若
A?B?C
,则
x
2
?y
2
?z
2
?2yzcosA?2xz
cosB?2xycosC
高三数学总复习—三角函数
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