高中数学指数及指数函数

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2.6 指数与指数函数
一、填空题
1．函数
y
＝8－4
x
的定义域是________．
3
解析 由8－4
x
≥0，得2
2
x
≤2
3
，所以2
x
≤3，
x
≤.
2
3
??
－∞，
?
答案
?
2
??
2．函数
y
＝4－2
－
x
的值域是________．
解析 由4－2
－
x
≥0，且2
－
x
＞0，得0≤ 4－2
x
＜4，所以
y
∈[0,2)．
答案 [0,2)
3．已知
p
：关于
x
的不等式|
x
－1|＋|
x
－3|＜
m
有解，
q
：
f
(
x
) ＝(7－3
m
)
x
为减
函数，则
p
成立是
q
成立的________条件．
7
解析
p
成立，得
m
＞|
x
－1＋3－
x
|＝2；
q
成立，得0＜7－ 3
m
＜1，即2＜
m
＜.
3
设
?
7?
??
?
A
＝{
m
|
m
＞2}，B
＝
m
|2＜
m
＜
?
，则
3
?
??
?
BA
，所以
p
是
q
的必要不充分 的条件．
答案 必要不充分
x
f(x)?3
4.与函数的图象关于直线< br>y
=
x
对称的曲线C对应的函数为g(
x
),则
g(
1
)
3
的值为______.
解析 依题意得g(
x
)=log
3
x?

所以
g(< br>1
)?
log
3
1
??1
.
3
3
答案 -1
x
－1
?
3，
x
≤0，
5．定义在R上的函数
f
(
x
)满足
f(
x
)＝
?
－
f
?
fx
－
x
－，
x
＞0，

则
f
(2 010)＝________.
解析 当
x
＞0时，
f
(2 010)＝
f
(2 009)－
f
(2 008)＝
f
(2 008)－
f
(2 007)－
f
(2
008)＝－
f
(2 007)＝
f
(2 005)－
f
(2 006)＝
f
(2 005)－
f
(2 005)＋
f
(2 004)＝
f
(2
004)，所以
f
(
x
)是以
T
＝6的周期函数，
1
所以
f
(2 010)＝
f
(335×6)＝
f
(0)＝3
－1
＝.
3
1页

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答案
1

3
6．已知函数
f
(
x
)，
g
(
x
)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足
f
(
x)－
g
(
x
)＝e
x
，
则
g
(0)，
g
(2)，
g
(3)的大小关系是________．
解析 因为
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，
g
(－
x
)＝
g
(
x
)，所以由< br>f
(－
x
)－
g
(－
x
)＝e
－< br>x
，得
1
－
f
(
x
)－
g
(
x
)＝e
－
x
，与
f
(
x
)－
g
(
x
)＝e
x
联立，求得
f
(
x
)＝(e
x
－e
－
x
)，
g
(
x
)＝
2
1
－(e
x
＋e
－
x
) ，所以
g
(3)＜
g
(2)＜
g
(0)．
2
答案
g
(3)＜
g
(2)＜
g
(0)
7．已知1＋2
x
＋4
x
·
a
＞0对一切
x
∈(－∞，1]上恒成立，则实数
a
的取值范围
是________． < br>?
1
?
x
?
1
?
x
?
1< br>?
x
?
1
?
x
解析 由题意，得
a
＞－
??
－
??
对
x
≤1恒成立，因为
f
(
x
)＝－
??
－
??
?
4
??
2
??
4
??
2
?
33
是(－∞，1]上的增函 数，所以当
x
＝1时，
f
(
x
)
max
＝
f
(1)＝－，所以
a
＞－.
44
?
3
?
答案
?
－，＋∞
?

?
4
?
x
?
2，
x
＜0
8．设函 数
f
(
x
)＝
?
?
gx
，
x＞0

，若
f
(
x
)是奇函数，则
g
(2)的值是________．
1
解析 因为
f
(
x
) 是奇函数，所以
g
(2)＝
f
(2)＝－
f
(－2)＝－2 ＝－.
4
－2
1
答案 －
4
?
log
x
，
x
＞0，
9．已知函数
f
(
x
)＝< br>?
?
1
?
?
，
x
≤0，
?
?
?
3
?
3
x

那么不等式
f
(
x
)≥1的解集为________．
?
1
?
x
解析 若
x
＞0，则由log
3
x
≥1，得
x
≥3.若
x
≤0，则由
??
≥1，得
x
≤0.
?
3
?
综上，得
x
≤0或
x
≥3.
答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)
10．若2
|
x
＋1|－|< br>x
－1|
≥22，则
x
取值范围是________．
2页

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解析 由2
|
x
＋1|－|
x
－1|
33
≥22＝2，得|
x
＋1|－|
x
－1|≥，
22
?
x
＜－1，
于是由
?
3
－
x
－1＋
x
－1≥
2
?
?
x
≥1，
或
?
3
x
＋1－
x
＋1 ≥，
2
?
?
3
?
，＋∞
?
答案
?
?
4
?


?
－1≤
x
＜1，
或
?
3
x
＋1＋
x
－1≥
2?


3
解得
x
≥.
4
11．已知 函数
f
(
x
)＝9
x
－
m
·3
x
＋
m
＋1对
x
∈(0，＋∞)的图象恒在
x
轴上方 ，则
m
的取值范围是________．
22
t
＋1
t
＋1
解析 设
t
＝3
x
＞1问题转化为
m
＜，
t
∈(1，＋∞)，即
m
比函数
y
＝，
t
－1
t
－1
t
2
＋12
t
∈(1，＋∞)的最小值还小，又
y
＝＝
t
－1 ＋＋2≥2
t
－1
t
－1
＋2＝2＋22，所以
m
＜2＋22.
答案 (－∞，2＋22)
12．对于函数
f
(
x
)＝e
x
－e
－
x
(
x
∈R)，有下列 结论：
t
－
2
t
－1
①
f
(
x
)的值域是R；②
f
(
x
)是R上的增函数；③对任意
x< br>∈R，有
f
(－
x
)＋
f
(
x
)< br>＝0成立；④若方程|
f
(
x
)|＝
a
有两个相异实 根，则
a
≥0，其中所有正确的命题
序号是________．
解析 因为 e＞1，
x
∈R，所以
f
(
x
)是奇函数且在(－∞，＋∞ )上单调递增，所
以①②③均正确．
设
y
＝|
f
(
x
)|＝|e
x
－e
－
x
|，
y
＝a
，画出其图象可知，当
a
＞0时，它们有两个相
异交点，所以④不正确 ．
答案 ①②③
13．设函数
f
(
x
)在其定义域(－ ∞，＋∞)上的取值恒不为0，且对任意实数
x
，
y
满足
f
(
xy
)＝[
f
(
x
)]
y
，
f
??
＞1.若
a
＞
b
＞
c
且
a< br>，
b
，
c
成等差数列，则
f
(
a
) ＋
f
(
c
)与2
f
(
b
)的大小关系是_ _______．
3页
?
1
?
?
2
?