高中数学函数单调性和最值专题

函数专题：单调性与最值
一、增函数
1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y



-1
-1
1
1 x
-1
-1
y
1
1 x
-1
-1
y
1
1 x
1
随x的增大，y的值有什么变化？ ○
2
能否看出函数的最大、最小值？ ○
3
函数图象是否具有某种对称性？ ○
2、从上面的观察分析，能得出什么结论？
不同的函数， 其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图
象的这种变化规律就是函数的单 调性。
3.增函数的概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内 的某个区间D内的任意两个自
变量x
1
，x
2
，当x
12
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f (x)在区间D上是增函数。
注意：
① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D内的任意两 个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时， 总有f(x
1
)2
) ．
二、函数的单调性
如 果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具
有（严 格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
【判断函数单调性的常用方法】
1、根据函数图象说明函数的单调性．
例1、 如图是定义在区间[－5，5]上的函数
y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以
及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

【针对性练习】
下图是借助计算机作出函数y =－x
2
+2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间．







2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
② 作差f(x
1
)－f(x
2
)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
例2、证明函数
y?x?




例3、函数f
(
x
)=－
x
3
＋1在R上是否具有单调性？如果具 有单调性，它在R上是增函数还是
减函数？试证明你的结论．








1
在（1，+∞）上为减函数． x

例4、已知
f
(
x
)是定义在(－2，2)上 的减函数，并且
f
(
m
－1)－
f
(1－2
m)＞0，求实数
m
的取
值范围．



例5、判断一次函数
y?kx?b(k?0)
单调性.



例6、利用函数单调性的定义，证明函数在区间（0，1]上是减函数．




【归纳小结】
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用 定义证明．画函数图象通常借助计算机，
求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一 般分五步：取 值 → 作 差
→ 变 形 → 定 号 → 下结论
〖针对性练习〗
1
1.函数
y??
的单调区间是（ ）
x
A．（-
?
，+
?
） B.（-
?
，0） （1，
?
，）
C.（-
?
，1） 、（1，
?
） D. （-
?
，1）
U
（1，
?
）

2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).
3
C．
y?x
2
?4x?5
D．
y?3x
2
?8x?10

x
A．
y??3x?2
B．
y?
3．函数
y??x
2
?2x?3
的增区间是（ ）。
1
(??,?3)
D．
(?1,?)

3
A．[-3，-1] B．[-1,1] C．
?1?a??
4、已知函数
f(x)?x?




1
判断
f(x)
在区间〔0，1〕和（1，+
?
）上的单调性。
x
，
5、定义在（－1，1）上的函数
f(x)
是 减函数，且满足：
f(1?a)?f(a)
，求实数
a
的取值范
围。


6、函数
f
(
x
)=－
x
3
＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减
函数？试证明你的结论 ．


☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆
1、定义：
设y=f( u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域
内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为
y=f(u)=f[g( x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即
函数)
2、复合 函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律
如 下：
函数 单调性

u?g(x)
增 增 减 减
y?f(u)
增 减 增 减
y?f
?
g(x)
?
增 减 减 增

例1、已知
y?f(u)?u?1 ,u?g(x)??3x?2
，求
y?f
?
g(x)
?
的单 调性。



例2、已知
y?f(u)?u
2
? 1,u?g(x)?x?1
，求函数
y?f
?
g(x)
?
的 单调性。



〖针对性训练〗
1、已知
y?f(u) ?u
2
?1,u?g(x)??x?1
，求函数
y?f
?
g (x)
?
的单调性。



2、已知
f(x)? 8?2x?x
2
，如果
g(x)?f(2?x
2
)
，那么< br>g(x)
（ ）
A. 在区间（-1，0）上是减函数 B. 在区间（0，1）上是减函数
C. 在区间（-2，0）上是增函数 D. 在区间（0，2）上是增函数



三、函数的最大（小）值
1．函数最大（小）值定义

1）最大值：一般地，设函数
y?f(x )
的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
； （2）存在< br>x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．
那么，称M是函数
y?f(x)
的最大值．
2）最小值：一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
； （2）存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．
那么，称M是函数
y?f(x)
的最小值．
注意：①函数最大（小）首先应 该是某一个函数值，即存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的
x? I
，
f(x)?M(f(x)?m)
．
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法 ②换元法 ③数形结合法





例1、求函数
y?x< br>2
?2x?3当自变量x在下列范围内取值时的最值
．
①
?1?x?0
②
0?x?3
③
x?(??,??)








例2、求函数
y?x?1?x
的最大值．

都有

例3、求函数
y?
2
x?1
在区间[2，6] 上的最大值和最小值．







【针对性练习】
一、选择题
1．函数
y
＝4
x
－
x
2
，
x
∈[0，3]的最大值、最小值分别为( )
(A)4，0 (B)2，0 (C)3，0 (D)4，3
2．函数
y?
1
x?x
2
的最小值为( )
(A)
1
2
(B)1 (C)2 (D)4
3、函数
y?
3
x?2
(x?2)
在区间〔0，5〕上的最大值、最小值分别是（
A.
3
7
,0
B.
3333
2
,0
C.
2
,
7
D. 最大值
7
，无最小值。
二、填空题
1．函数
y
＝2
x
2
－4
x
－1
x
∈(－2，3)的值域为______．
2．函数
y?2x?x
2
的值域为______．
3、函数
y?x
2
?4x?5(x?
?
0,3
?
?
的值域 是 。
4、函数
y?2x?3?13?4x
的值域是 。

三、解答题
1．求函数
f(x)?
?
?
2< br>x
,x?0
的值域．
?
?x,x?0

）

2．设函数
f
(
x
)＝(
x
＋
a
)
2
对于任意实数
t∈R都有
f
(1－
t
)＝
f
(1＋
t
)．
(1)求
a
的值；
(2)如果
x
∈[0，5]，那 么
x
为何值时函数
y
＝
f
(
x
)有最小值 和最大值?并求出最小值与最
大值．




3．如图，在边长是
a
的等边三角形内作一个内接矩形，求内接矩形的面积的最大值．


4．已知函数y＝－3x
2
＋2ax－1，x∈[0，1] ，记f(a)为其最小值，求f(a)的表达式，并求
f(a)的最大值．