新高一数学函数单调性教案

骆新宇 、新高一 、一对一 、徐林



新高一 第六讲 函数的单调性

教学目标：
1、理解函数单调性，能判断和证明函数在给定区间上的单调性；了解函数单调区 间的概念，并能根据图象说出函
数的单调区间；
2、体会从特殊到一般,从具体到抽象,从感性到理性的数学思维方法.
教学重点难点：函数单调性的概念和判断；利用函数单调性的定义判断函数的单调性。
教学过程：
（一）创设情境：
例如:某市某天的气温变化曲线图：



问题：随着时间的变化，温度的变化趋势是？（上升？下降？）
事实上，在生活中，有很多数据的变化是有规律的，了解这些数据的变化
规律，对我们的生活 很有帮助。观察满足函数关系的数据变化规律往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化
的，这就 是我们今天要研究的函数的单调性。

（二）建构定义:
1、直观感知定义：
观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）








问题1:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）
问题2:函数
f(x)?x
在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内
y随x的增大而减小；
2
(1)f(x)?x?1
y
1
-1
o
1
(2)
f(x)?x
2
y
4
x
1
-
1
0
2
x
-2
1
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总结到一般情况下：

y

f(x
2
)

f(x
1
)

在区间D内

y

f(x
1
)

f(x
2
)

在区间D内

图象
0

x
1

x
2

x

0

x
1

x
2

x

图象特征
数量特征
直观性定义


说明直观性定义：
从左到右，图象上升
y随x的增大而增大
单调递增函数
从左到右，图象下降
y随x的增大而减小
单调递减函数
称左边的函数在区间D上单调递增函数，右边的函数则称为区间I上单调递减函数。
由表知：图象在区间D内呈上升趋势


当x的值增大时，函数值y也增大


区间内有两个点
x
1
、
x
2
，当
x
1
?x
2
时，有
f(x
1
)?f(x
2
)

问题：若区间 内有两点
x
1
?x
2
时，有
f(x
1
)? f(x
2
)
，能否推出
构造反例:
f(x)?x
，
D?[?2,2]
，
x
1
??2,x
2
?1
。

构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。

2
f(x)
是单调递：增函数？
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2、归纳定义
定义：一般地，设函数
f(x)
的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区 间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
、x
2
，当x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x2
)
，那么就说
函数
f(x)
在区间
D
上是单 调递增函数。
由学生类比得到减函数的定义：
如果对于定义域I内某个区间
D上的任意两个自变量的值
x
1
、x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说
函数
f(x)
在区间
D
上是单调递减函数。
注:
(1)
x
1
,x
2
三大特征：①属于同一区 间；②任意性；③有大小：通常规定
x
1
?x
2
；
(2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。
举例：
y?x
在
(0,??)
上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。

(三)定义应用:
例1、下图是定义在[－5，5]上的函数
y?f(x)
的图象，根据图象说出函数
y?f(x)
的单调区间，以及在每一单调区
间上，
y?f(x)
是增函数还是减函数。







解：
y?f(x)
的单调区间有[－5，－2），[－2，1） ，[1，3），[3，5]。
其中
y?f(x)
在[－5，－2）,[1，3）上是减函数；
在[－2，1）， [3，5）上是增函数。
强调单调区间的写法：
问题1：减区间可否写成[－5，－2）U[1，3）？
问题2：写成[－5，－2）还是写成[－5，－2]？
构造反例说明,进行验证.
-5 -4
-3
-2
-1
-1
-2
3
2
1
2
y?f
?
x
?
x
1
2
3 4
5
o
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（1）单调区间一般不能求并集；
（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。

函数单调性的证明，必须从定义出发去证明
例2、试判断函数
f(x)?x?x
在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。
分析：问1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？
2：如何用定义法判定函数单调性？
3：用定义判定函数单调性的关键是什么？ （作差比较法）

例如：证明：函数
f(x)?x?x
在（0，＋∞）上是增函数
证明 设
x
1
、x
2
是(0,＋∞)上的任意两个值,且
x
1
?x
2
，
则f(x
1
)?f(x
2
)?(x
1
?x
1)?(x
2
?x
2
)

22
2
2
取值

作差变形
?(x
1< br>?x
2
)?（x
1
?x
2
）

22
?(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?（x
1
?x
2
）

?(x
1
?x2
)(x
1
?x
2
?1)

又
0?x
1
?x
2
，故
x
1
?x
2
?0< br>，
x
1
?x
2
?1?0

则
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，即：
f(x
1
) ?f(x
2
)

因此，函数
f(x)?x?x
在（0，＋∞）上是增函数。
2

定号
下结论

总结定义法证明函数单调性的步骤：
1、取值:设任意
x
1
、x< br>2
属于给定区间，且
x
1
?x
2
；

2、作差变形:
f(x
1
)?f(x
2
)
变形的常用方法 :因式分解、配方、有理化等；
3、定号:确定
f(x
1
)?f(x
2
)
的正负号；
4、下结论:由定义得出函数的单调性。
思考题：
在上面证明中，你能理解
x
1
、x
2
的任意性的意义吗？
解答：有了“任意性”在区间内不管取哪两个值，其证明过程都是一样的。

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四、课堂练习：
一．
1、下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是____
①y=3-2x ②y=x
2
-1 ③y=
1
④y=-|x|
x
??
?
上是增函数，在区间
?
??，2
?
上是减函数，则 m的值为________; 2、 函数y=4x
2
-mx+5在区间
?
2，

3、 根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区间 ；减区间：
y


-3 0 -1 3 x

4、函数f(x)=ax
2
-(5a-2)x-4在
?
2 ,??
?
上是增函数, 则a的取值范围是______________
5、根据函数f(x)=-x
2
+|x|的图象得出单调区间为________
6、判断函数f(x)=-x
3
+1在（-∞，+∞）上的单调性；




7、判断函数
y?x?





8、函数
f(x)?x?2x?2,(x?[t,t?1])
是 单调函数，求
t
的范围。




2
4
??
?
上的单调性 在在
?
0,2
?
、
?
2，
x
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二．
1、设f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数，则a的取值范围是______
2、已知
f(x)?x?1
，则f(x)的最小值是_______
3、已 知f(x)=x
2
+2x+3,x∈[-1,0]，则f(x)的最大值和最小值分别是___ __和_____
4、设函数f(x)在R上为减函数，则下列正确的是_____
2
f(a)?f(a)

f(a)?f(2a)
① ②
22
f(a?a)?f(a)f(a?1)?f(a)
③ ④
5、函数y=x∣x-2∣的单调递增区间为___________;
6、函数f(x)是定义在（-1，1）上的增函数，且f(a-2)-f(3-a)<0, 那么a的取值范围为____________;
7、设二次函数f(x)=x
2
-(2a+1)x+3
?
??
?
，求实数a的值； （1） 若函数f(x)的单调增区间为
2，
?
??
?
内是增函数，求a的范围； （2） 若函数f(x)在区间
2，






8、设函数
f(x)
对于任意
x,y?R,
都有
f(x?y)?f( x)?f(y),
且
x?0
时
f(x)?0,f(1)??2
。
（1）求
f(0)
；
（2）试问在
x?[?3,3]
时< br>f(x)
是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；








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（一）答案
6、解：设x
1
,x
2
是R上任意两个值，且x
1
2
则f(x
1
)-f(x
2
)=-x
1
3
+1-(-x
2< br>3
+1)=x
2
3
-x
1
3

=( x
2
-x
1
)(x
2
2
+x
1
x
2
+x
1
2
)
=(x
2
-x
1
)[(x
2
2
+x
1
2)
2
+34x1
2
)]
∵x
1
,x
2
是R上任意两个值， 且x
1
2

∴(x
2
-x
1
)>0,[(x
2
2
+x
1
2)
2
+34x
1
2
)]>0
∴f(x
1
)>f(x
2
)
∴y=f(x)是R上的减函数

7、设0y1-y2
=(x1+4x1)-(x2+4x2)
=(x1-x2)+(4x1-4x2)
=(x1-x2)+[4(x2-x1)(x1x2)]
=(x1-x2)[1-(4(x1x2))]
1、假如01，1-4(x1x2)<0
x1-x2<0
所以y1-y2>0，y1>y2，函数单调递减
2、假如24，4(x1x2)<1，1-4(x1x2)>0
又x1-x2<0
所以y1-y2<0，y1所以函数在(0,2)内单调递减；在[2,+∞)内单调递增

（二）
8、解：（1）令x=y=0，
f
?
0
?
?0
，
（2）可证，y=f(x)是减函数,从而
f(x)
f
?
x
?
max
?f
?
?3
?
?f
?
?1
?
?f
?
?1
?
?f
?
?1
?
?6,f
?
x
?
min
?f
?
3
?
??6


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有最大值和最小值，
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