全国高中数学函数的奇偶性与周期性

2.4 函数的奇偶性与周期性
一、填空题
?
5
?
1．设
f
(
x
)是周期为2的奇函数，当0≤
x
≤1时，
f
(
x
)＝2
x
(1－
x
)，则
f
?
－
?
＝
?
2
?
________.< br>矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
1
?
1
?
1
?
5
??
5
??
1
?
解析
f
?
－< br>?
＝－
f
??
＝－
f
??
＝－2××
?
1－
?
＝－.
聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
2
?
2
?
2
?
2
??
2
??
2
?1
答案 －
2
2.设函数
f(x)?(x
2
?1)( x?a)
为奇函数,则
a
=.
解析由函数
f(x)?(x
2
?1)(x?a)
为奇函数得到
f
(0)=0,即
(0
2
?1)(0?a)?
0.
所以
a
=0.
答案0
3．设函数
f
(
x
)是奇函数且周期为3，
f
(－ 1)＝－1，则
f
(2 011)＝________
解析 因为
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，
f
(
x
＋3)＝
f
(
x
)，
f
(－1)＝－1，所以< br>f
(1)＝1，
f
(2
011)＝
f
(3×670 ＋1)＝
f
(1)＝1.
残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
答案 1
4． 已知奇函数
f
(
x
)的图象关于直线
x
＝－2对称，当x
∈[0,2]时，
f
(
x
)＝2
x
，
则
f
(－9)＝________.
酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
解析 由题 意，得
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，
f
(
x
)＝
f
(－4－
x
)，
所以< br>f
(－9)＝
f
(－4＋9)＝
f
(5)＝－
f(－5)＝－
f
(1)＝－2.
答案 －2
5.若
y
=
f
(
x
)是奇函数,且在
(0???)
内是增函数,又
f
(3)=0,则
xf
(
x
)<0的解集是
_______.
彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
解析因为f(x)在
(0???)
内是增函数,f(3)=0,
所以当0当x>3时,f(x)>0.
又因为f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以当-30;
当x<-3时,f(x)<0.
可见xf(x)<0的解集是{x|-3

答案{x|-36．函数f(x)是奇函数，且在 [－1,1]上是单调增函数，又f(－1)＝－1，则满足
f
(
x
)≤t
2
＋2
at
＋1对所有的
x
∈[－1,1]及
a
∈[－1,1]都成立的
t
的取值范围是
________．
謀 荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
解析 由题意，
f
(
x
)
max< br>＝
f
(1)＝－
f
(－1)＝1，所以
t
2
＋2
at
＋1≥1，即
t
2
＋2
at
≥0
对
a
∈[－1,1]恒成立，
t
＝0时，显然成立；
t
≥0 时，由
t
≥－2
a
恒成立，得
t
≥2；
t
＜0时，由
t
≤－2
a
恒成立，得
t
≤－2.
厦礴 恳蹒骈時盡继價骚。
综上，得
t
≤－2或
t
＝0或
t
≥2.
答案 (－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)
7．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的 奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1
时，f(x)＝x，则f(7.5)＝_____ ___.
茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
解析由题意得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f (x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为
周期的函数，所以f(7.5)＝f(7.5－8)＝f (－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
鹅娅尽損鹌惨
歷茏鴛賴。
答案 －0.5
8．已知函数
f
(
x
)＝log
4
( 4
x
＋1)＋
kx
(
k
∈R)是偶函数，则
k的值为________．
解析 由
f
(－
x
)＝
f
(
x
)，得log
4
(4＋1)－
kx
＝log< br>4
(4＋1)＋
kx
，即2
kx
＝
11
?< br>1＋4
?
log
4
?
x
?
－log
4
(4
x
＋1)＝log
4
x
＝－
x
，所 以
k
＝－.
籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。
42
?
4
?
1
答案 －
2
9．若偶函数
f
(
x
)在(－∞，0)内单调递减，则不等式
f
(－1) ＜
f
(lg
x
)的解集是
________．
預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
解析 因为
f
(
x
)是偶函数，所以
f
(
x
)＝
f
(|
x
|)，于是由
f
(－1)＜
f
( lg
x
)，得
x
－
xx
f
(1)＜
f< br>(|lg
x
|)，又由
f
(
x
)在(－∞，0)内 单调递减得
f
(
x
)在(0，＋∞)内单调
递增，所以有|lg
x
|＞1，即lg
x
＜－1或lg
x
＞1，解得
x
＜
匀谔鱉调硯錦。
1
或
x
＞10.
渗釤呛俨
10
1
??
答案
?
0，
?
∪(10，＋∞)
铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。
10
??
10．已知函数
f
(
x
)是定义在R上的奇函数，当< br>x
＞0时，
f
(
x
)＝1－2
－
x
，则不等

1
式
f
(
x
)＜－的解集是___ _____．
擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。
2
1
?
1
?
3
?
1
?
解析 若
x
＞0，则由
f
(< br>x
)＝1－2
－
x
＜－，得
??
x
＞，这与
x
＞0时，
??
x
＜1矛
2
?
2
?
2
?
2
?
11
盾．若
x
＜0，则由f
(
x
)为奇函数，得
f
(
x
)＝－
f
(－
x
)＝－1＋2
x
＜－，得2
x
＜
22
＝2
－1
，解得
x
＜－1.
贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。
答案 (－∞，－1)
11．定义在R上的偶函数
f
(
x
)满足
f
(
x
＋1)＝－
f
(
x
)，且在 [－1,0]上是增函数，
给出下列关于
f
(
x
)的判断：
坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。
①
f
(
x
)是周期函数；
②
f
(
x
)关于直线
x
＝1对称；
③
f
(
x
)在[0,1]上是增函数；
④
f
(
x
)在[1,2]上是减函数；
⑤
f
(2)＝
f
(0)．
其中正确的序号是________．
解析 ∵
f
(
x
＋1)＝－
f
(
x
)，
∴
f
(
x
)＝－
f
(
x
＋1)＝
f
(
x
＋1＋1)＝
f
(
x
＋2)，
∴
f
(
x
)是周期为2的函数，①正确．
又∵
f
(
x
＋2)＝
f
(
x
)＝
f
(－
x
)，∴
f
(
x
)＝
f
(2－
x
)，
∴
y
＝
f
(
x
)的图象关于
x
＝1对称，②正确．
又∵
f
(
x
)为偶函数且在[－1,0]上是增函数，
∴
f
(
x
)在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为
x
＝1，
∴
f
(
x
)在[1,2]上为增函数，
f
(2)＝
f
(0)，故③④错误，⑤正确．
答案 ①②⑤
12．函数
y< br>＝
f
(
x
)与
y
＝
g
(
x
)有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域
内的任何
x
，有
f
(
x
)＋
f
(－
x
)＝0，
g
(
x
)
g
(－
x
)＝1，且当
x
≠0时，
g
(
x
)≠1，则
F
(
x
)＝
2
fx
gx
－1
＋
f
(
x
)的奇偶性为__ ______．
蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。
1
， 解析 因为
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，
g
(－
x< br>)＝
gx

所以
F
(－
x
)＝
2
f
－
x
g
－
x
－1
＋
f
(－
x
)＝
－2
f
1
x
－1
－
f
(
x
)
買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。
gx
2
f＝
2
f
＝
xgx
－
f
(
x
)
gx
－1
xgx
－2
fx
＋2
fx
－f
(
x
)
gx
－1
2
f
＝2
f
(
x
)＋
x
gx
－1
－
f
(
x
)＝
2
fx
gx
－1
＋
f
(< br>x
)＝
F
(
x
)．
綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。
所以
F
(
x
)是偶函数．
答案 偶函数
3??
13．已知定义在R上的函数
y
＝
f
(
x
)满足条件
f
?
x
＋
?
＝－
f
(
x
)，且函数
y
＝
2
??
f
?
x
－
?
为奇函数，给出以下四个命题：①函数
f
(
x
)是周期 函数；②函数
f
(
x
)的
?
3
?
图象关于 点
?
－，0
?
对称；③函数
f
(
x
)为R 上的偶函数；④函数
f
(
x
)为R上的
?
4
?单调函数，其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。
?
?
3
?
4
?
3
??x
＋
??
＝－
f
(
x
)，得
f
(
x
＋3)
猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。
解析 ①由
f
2< br>??
3
??
＝－
f
?
x
＋
?
＝
f
(
x
)，所以①正确．
锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。
2
??
3
???
3
?
②由
y
＝
f< br>?
x
－
?
为奇函数，得
f
(
x
)图 象关于点
?
，0
?
对称，所以②不正确．③由
4
???4
?
f
?
－
x
－
?
＝－
f< br>?
x
－
?
，得
f
(
x
)＝－
f
?
－
x
－
?
，又
f
?
x＋
?
＝－
f
(
x
)，所以
f
?
－
x
－
?
＝
f
?
x
＋
?
，所以
f
(
x
)是偶函数，③正确．由③正确知④不正确．
構氽頑
黉碩饨荠龈话骛。
?
?
3
?
4
?
??
3
?
4
?
?
?
3
?
2?
?
?
3
?
2
?
?
?
3?
2
?
?
?
3
?
2
?
答案 ①③
二、解答题
14．设
f
(
x
)＝e
x＋
a
e
－
x
(
a
∈R，
x
∈ R)．
(1)讨论函数
g
(
x
)＝
xf
(
x
)的奇偶性；

(2)若
g
(
x
)是个 偶函数，解不等式
f
(
x
2
－2)≤
f
(
x
)．
解析 (1)
a
＝1时，
f
(
x
)＝e
x
＋e
－
x
是偶函数，所以
g
(
x
)＝
xf
(
x
)是奇函数；
a
＝－1时，
f
(
x
)＝e
x
－e
－
x
是奇函数，所 以
g
(
x
)＝
xf
(
x
)是偶函数． < br>a
≠±1，由
f
(
x
)既不是奇函数又不是偶函数，得
g
(
x
)＝
xf
(
x
)是非奇非偶函数． (2)当
g
(
x
)是偶函数时，
a
＝－1，
f
(
x
)＝e
x
－e
－
x
是R上的单调增函 数，于是由
f
(
x
2
－2)≤
f
(
x)得
x
2
－2≤
x
，即
x
2
－
x
－2≤0，解得－1≤
x
≤2.
輒峄陽檉簖疖網儂號泶。
?< br>?x
2
?2x?x?0?
?
15.已知函数
f
(x
)=
?
0?x?0?
是奇函数.
?
x
2
?mx?x?0
?
(1)求实数
m
的值;
(2)若函数
f
(
x
)在区间
[?1?a?2]
上单调递增，求实数a
的取值范围.
解析 (1)设
x
<0, 则-
x
>0,
所以
f
(-
x
)=
?( ?x)
2
?2(?x)??x
2
?2x
.
又
f
(
x
)为奇函数,
所以
f
(-
x
)=-
f
(
x
).
于是
x
<0时
?f(x)?x
2
?2x?x
2?mx?
所以
m
=2.
?
a?2??1?
(2)要 使
f
(
x
)在
[?1?a?2]
上单调递增，结合
f(x)
的图象（略）知
?

a?2?1?
?
所以
1?a?3?
故实数
a
的取值范围是(1,3].
16. 已知函数
f
(
x
)，当
x
，
y
∈R时，恒有
f< br>(
x
＋
y
)＝
f
(
x
)＋
f
(
y
)．
(1)求证：
f
(
x
)是奇函数；
1
(2)如果
x
∈R
＋
，
f
(
x
)<0，并且
f
(1)＝－，试求
f
(
x
)在区间[－2,6]上的最值．
尧
2
侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。
解析 (1)证明：∵函数
f
(
x
)的定义域为R，
∴其定义域关于原点对称．
∵
f
(
x
＋
y
)＝
f
(
x
)＋
f
(
y
)，令
y
＝－
x
，
∴
f
(0)＝
f
(
x
)＋
f
(－
x
)．
令
x
＝
y
＝0，∴
f
(0)＝
f
(0)＋
f
(0)，得f
(0)＝0.
∴
f
(
x
)＋
f
( －
x
)＝0，得
f
(－
x
)＝－
f
(x
)，
∴
f
(
x
)为奇函数．
(2)法一 ：设
x
，
y
∈R
＋
，∵
f
(
x< br>＋
y
)＝
f
(
x
)＋
f
(
y
)，
∴
f
(
x
＋
y
)－
f< br>(
x
)＝
f
(
y
)．
∵
x
∈R
＋
，
f
(
x
)<0，
∴
f
(
x
＋
y
)－
f
(
x
)<0，∴
f
(
x
＋
y
)<
f
(
x
)．
∵
x
＋
y
>
x
，∴< br>f
(
x
)在(0，＋∞)上是减函数．

又∵
f
(
x
)为奇函数，
f
(0)＝0，
∴
f
(
x
)在(－∞，＋∞)上是减函数．
∴
f
(－2)为最大值，
f
(6)为最小值．
1
∵
f
(1)＝－，∴
f
(－2)＝－
f
(2)＝－2
f
(1)＝1，
2
f
(6)＝2
f
(3)＝2[
f
(1)＋
f
(2)]＝－3.
∴所求
f
(
x
)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.
法二：设
x
1<
x
2
，且
x
1
，
x
2
∈R .
则
f
(
x
2
－
x
1
)＝f
[
x
2
＋(－
x
1
)]＝
f
(
x
2
)＋
f
(－
x
1
)＝
f
(
x
2
)－
f
(
x
1
)． ∵
x
2
－
x
1
>0，∴
f
(
x
2
－
x
1
)<0.∴
f
(
x
2
)－
f
(
x
1
)<0.
即
f
(
x
)在R上单调递减．
1
∴
f< br>(－2)为最大值，
f
(6)为最小值．∵
f
(1)＝－，
2
∴
f
(－2)＝－
f
(2)＝－2
f
(1)＝1 ，
f
(6)＝2
f
(3)＝2[
f
(1)＋
f(2)]＝－3.
∴所求
f
(
x
)在区间[－2,6]上的最 大值为1，最小值为－3.
1＋
ax
2
17．已知函数
f
(
x
)＝(
a
≠0)是奇函数，并且函数
f
(
x< br>)的图象经过点
x
＋
b
(1,3)．
识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。
(1)求实数
a
，
b
的值；
(2)求函数
f
(
x
)的值域．
1＋
ax
2
解析 (1)因为函数
f
(
x
)＝是奇函数，
x
＋
b< br>所以
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)．
1＋
a
－
x
所以
－
x
＋
b
因为
a
≠0，
所以－
x
＋
b
＝－
x
－
b
.
所以
b
＝0.
又函数
f
(
x
)的图象经过点(1,3)，
所以
f
(1)＝3.
1＋
a
所以＝3.
1＋
b
因为
b
＝0，
故
a
＝2. (2)由(1)知
f
(
x
)＝
1＋2
x
22
1＋
ax
2
＝－.
x
＋
b
x＝2
x
＋(
x
≠0)．
凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。
1< br>x

1
当
x
＞0时，2
x
＋≥2
x
112
2
x
·＝22，当且仅当2
x
＝，即
x
＝时取等号．
恥
xx
2
1
≥2
－
x
1
＝22.
鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。
－
x
諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。
当
x
＜0时，(－2
x
)＋－2
x
1
所以2
x
＋≤－22.
x
当且仅当－2
x
＝
12
，即
x
＝－时取等号．
－
x
2
综上可知，函数
f
(
x
)的值域为(－∞， －22]∪[22，＋∞)．
硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。
?
1－
mx
?
?
为奇函数，
g
(
x
)＝
f
(
x
)＋log
a
[(
x
－1)(
ax
＋1)](< br>a
＞1，18．设
f
(
x
)＝log
a
?< br>?
x
－1
?
且
m
≠1)．
阌擻輳嬪諫迁择楨 秘騖。
(1)求
m
的值；
(2)求
g
(
x
)的定义域；
3
??
5
(3)若
g
(
x
)在
?
－，－
?
上恒正，求
a
的取值范围．
氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。
2
??
2
解析 (1)
f
(
x
)是奇函数 ，
f
(
x
)＝－
f
(－
x
)，
?
1－
mx
??
1＋
mx
??
－
x
－1
?
?
＝－log
a
??
＝log
a
??
，
釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。
log
a
?
?
x
－1
??
－
x
－1
??
1＋
mx
?
1－
mx
－
x
－1
∴＝，
x
2
－1＝(
mx
)
2
－1，
怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。
x－11＋
mx
∴(
m
2
－1)
x
2
＝ 0，又
m
≠1，∴
m
＝－1.
(2)由(1)
f
(
x
)＝log
a
?
x
－
足
?
?
x
＋
x
＋1
x
＋1
，
g
(
x
)＝log
a
＋log
a
[(
x
－1)·(< br>ax
＋1)]，
x
必须满
x
－1
x
－1＞0，
＞0.
ax
＋
x
－

谚辞調担鈧谄动禪泻類。
又
a
＞1，∴
x
＜－1或
x
＞1，
∴< br>g
(
x
)的定义域为{
x
|
x
＜－1或x
＞1}．
3
??
5
(3)
a
＞1，
g
(
x
)在
?
－，－
?
上恒正，
嘰觐詿 缧铴嗫偽純铪锩。
2
??
2
1
x
1
即(
x
＋1)(
ax
＋1)＞1?
ax
＋1＜
?
ax< br>＜－?
a
＞－
，
熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。
x
＋1< br>x
＋1
x
＋1

3
?
11
?< br>5
∵
x
∈
?
－，－
?
，∴－≤－＝2，鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。
2
?
x
＋1
?
3
?
?
2
?
－
?
＋1
?
2
?
∴
a
＞2，
∴
a
的取值范围是(2，＋∞)．