高中数学三角函数专题训练

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高一年级数学——三角函数
一、知识点归纳

1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函



数


性
质
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象

定义域
R

R

?
?
?
xx? k
?
?,k??
??
2
??

值域
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?时，
R

?
2
时，
y
max
?1
；
最值
当
x?2k
?
?
y
max
?1
；
当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
2

k??
?
时，
y
min
??1
．
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
?
周期性
奇偶性
2
?

奇函数
在
?
2k
?
?
2
?

偶函数
?

奇函数
?
?
?
2
,2k
?
?
?
?
2
?
?

在
?
2 k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
单调性
??
??
k
?
?,k
?
?
在
上是增函数；在
k??
上是增函数；在
??
??
< br>22
??
?
2k
?
,2k
?
?
?< br>?

?
3
?
??
2k
?
?,2k< br>?
?
?

?
k??
?
上是增函数．
?
22
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称性
对称中心
?< br>k
?
,0
??
k??
?

对称中心 对称中心

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对称轴
x?k
?
?
?
2
?
k??
?
< br>?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?< br>
?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k? ?
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??
无对称轴
2.正、余弦定理：在
?ABC
中有:
①正弦定理：
abc
???2R
（
R
为
?ABC
外接圆半径）
sinAsi nBsinC
a
?
sinA?
?
2R
a?2RsinA?
?
b
?
?
b?2RsinB
sinB?
注意变形应用
?
?
?
2R
?
c?2RsinC
?
?
c
?
sinC?
?
2R
?
②面积公式：
S
?ABC
?
111
abssinC?acsinB?bcsinA

222
?
b
2
?c
2
?a
2< br>cosA?
?
2bc
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
?
?
2
a
2
?c
2
?b
2
?
22
③余弦定理：
?
b?a?c?2accosB

?

?
cos

B?
2ac
?
c
2
? a
2
?b
2
?2abcosC
?
?
?
a< br>2
?b
2
?c
2
C?
?
cos
2a b
?
二、方法总结：
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）注意隐含条件的应用：1＝cos
2
x＋sin
2
x。 （2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝
?
?
??
?
?－等。
22
（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。
（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。
（5）引入辅助角。asinθ＋bcosθ ＝
a?b
sin(θ＋
?
)，这里辅助角
?
所在象限由a、
b的符号确定，
?
角的值由tan
?
＝
2.解答三角高考题 的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
22
b
确定。
a

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二、典型例题
一、选择题
1．若
cos2
?
??
2
，则
cos
?
?sin
?
的值为（ ）
sin
?
?
π
?
2
?
?
?
4
?
?
Ａ．
?
7
2
Ｂ．
?
1
2
Ｃ．
1
2
Ｄ．
7
2

2.
3?s in70
0
2?cos
2
10
0
=（ ）
A.
1
2
B.
2
2
C. 2 D.
3
2

3.函数
y?2sin(2x?
?
)cos[2(x?
?
)]
是（ ）
A．周期为
??
4
的奇函数 B．周期为
4
的偶函数
C．周期为
?
2
的奇函数 D．周期为
?
2
的偶函数
4．求值
cos20
0
cos35
0
1?sin20
0
?
（ ）A．
1
B．
2
C．
2
D．
3

5．已知
x?(?
?
，
cosx?
4
2
,0)
5
，则
tan2x?
（ ）
A．
7
24
B．
?
7
24
C．
24
7
D．
?
24
7

6．函数
y?3sinx?4cosx?5
的最小正周期是（ ）
A.
??
5
B.
2
C.
?
D.
2
?

7．在△ABC中，
cosAcosB?sinAsinB
，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
8．设
a?sin14
0
?cos14
0
，
b?sin16
0
?cos16
0
，
c?
6
2
，则
a, b,c
大小关系（
A．
a?b?c
B．
b?a?c

C．
c?b?a
D．
a?c?b


）

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9．函数
y?
A.周期为
2sin(2x?
?
) cos[2(x?
?
)]
是（ ）
??
的奇函数 B.周期为的偶函数
44
??
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 22
10．已知
cos2
?
?
A．
2
44，则
sin
?
?cos
?
的值为（ ）
3
1311
7
B． C． D．
?1

9
1818
11、已知
?
?
?
0,
（ ）
A、
?
?
?
?
?
4
?
?< br>，
?
?
?
0,
?
?
，且
tan?
?
?
?
?
?
1
1
，
tan
?
??
，则
2
?
?
?
的值是
2
7
5
?
2
?
7
?
3
?
B、
?
C、
?
D．
?
64
312
xxx6
cos?6cos
2
??m?0
对 于任意的
4442
12、已知不等式
f
?
x
?
?3 2sin
?
5
??
?x?
恒成立，则实数
m
的取值 范围是 （ ）
66
A、
m?3
B、
m?3
C、
m??3
D、
?3?m?3

二、填空题
13、已知
sinx?
1
，
sin
?
x?y
?
?1
，则
sin
?
2y?x
?< br>?

3
?
?
?
?x
?
?3
的最小值是
?
4
?
14、函数
y?sin2x?22cos
?
15、函数
y?
1?cosx
图像的对称中心是（写出通式）
sinx
16、关于函数
f
?
x
?
?cos2x? 23sinxcosx
，下列命题：
①、若存在
x
1
，
x
2
有
x
1
?x
2
?
?
时，
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?成立；
②、
f
?
x
?
在区间
?
?< br>?
??
?
,
?
上是单调递增；
63
??< br>③、函数
f
?
x
?
的图像关于点
?
?
?
?
,0
?
成中心对称图像；
?
12
?

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④、将函数
f
?
x
?
的图像向左平移
5
?
个单位后将与
y?2sin2x
的图像重合．其中正确的
12
命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）
一、典型例题
1、设函数










.[求的最小正周期;
2、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知
asi nA?csinC?2asinC?bsinB,

(Ⅰ)求B；
（Ⅱ）若
A?75,b?2,求a与c










3、若
f(x)?23sin











0
xxx
cos?2sin
2
，
x?[0,
?]
，求
f(x)
的值域和对称中心坐标；
333

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4、已知
f(x)?co sx?2sinxcosx?sinx
，求
f(x)
的最小正周期、最大值、最小值








5、在△ABC
中，
cosA??
44
53
，
cosB?．
135
（Ⅰ）求
sinC
的值； （Ⅱ）设
BC?5
，求
△ABC
的面积．












2
6、已知函数
f(x)
?2cos2x?sinx?4cosx
。
（1）求
f()
的值； （2）求
f(x)
的最大值和最小值。
?
3

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7、已知函 数
f(x)?3sin
?
xcos
?
x?cos
（I）求< br>f(
2
?
x?(
?
?0,x?R)
的最小正周期为< br>1
2
?

2
2
?
)
的值，并写出函 数
f(x)
的图象的对称中心的坐标
3
（II）当
x?[






??
,]
时，求函数
f(x)
的单调递减区间
32


2
8、已知函数
f(x)?2cosx?23sinxcosx?1

（Ⅰ）求函数f(x)
的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当
x?[0,
的值域．






9、设函数
f
?
x< br>?
?3sin
?
?
x?


?
4< br>]
时，求函数
y?f(x)
?
?
?
?
6?
?
，
?
＞0
，
x?
?
??,??< br>?
，且以
?
为最小正周期．
2
（1）求
f
?
0
?
； （2）求
f
?
x
?
的解析式；
（3）已知
f
?







?
??
?
9
?
?
?
，求
sin
?
的值．
?
412
?
5

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10、已知向量
a?(sin
?
,?2)
与
b? (1,cos
?
)
互相垂直，其中
?
?(0,
（1）求sin
?
和
cos
?
的值
（2）若
5cos (
?
?
?
)?35cos
?
，
0?
??











?
2
)

?
,求
cos
?
的值
2

11、已知函数
f(x)?2sin(
?
?x)cosx
.
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期； （Ⅱ）求
f(x)
在区间
?
?











?
??
?
,
?
上的最大值和最小值.
62
??
12、已知函数
f(x)?sinx?sin(x?
?
2
), x?R
.
3
，求
sin2
?
的
4
(1) 求
f(x)
的最小正周期； (2)求
f(x)
的的最大值和最小值；(3) 若
f(
?
)?
值.

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二、课后练习

1、（2006年四川卷）已知A、B、C是
?ABC
三内角，向
m?(?1,3),
n?(cosA,sinA),
且
m?n? 1.

（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）若











2、（2007年四川卷）已知cosα=
(Ⅰ)求tan2α的值；
（Ⅱ）求β.








3、（200 8年四川卷）求函数
y?7?4sinxcosx?4cosx?4cosx
的最大值与最小值 。











24
1?sin2B

??3,求tanC。
22
cosB?sinB
113
π
,cos(α-β)＝，且0<β<α<,
72
14

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4、（2009年四川卷）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
且
sinA?
510
,sinB?.

510
（Ⅰ）求A+B的值；
（Ⅱ）若
a?b?











5 、（2011年四川卷）已知函数
f(x)?sin(x?
2?1,求a、b、c
得值 .
7
?
3
?
)?cos(x?)
，
x
?
R．
44
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期和最小值；
4 4
?
（Ⅱ）已知
cos(
?
?
?
)?
，< br>cos(
?
?
?
)??
，
0?
?
?
?
?
．求证：
[f(
?
)]
2
?2?0< br>．
55
2