高中数学.指数函数与相关复合函数

指数函数与相关
复合函数

新课标剖析


当前
形势
函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～10分
内容
有理数指数幂的含义
实数指数幂的含义
幂的运算
要求层次
A

√

B
√


C


具体要求
理解有理指数幂的含义
通过具体实例了解实数指数幂的意义
√ 掌握幂的运算
通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的
14
C< br>的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数
函数模型的实际背景;
理解指数函 数的概念和意义，能借助计算器或计算
机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数
的单调 性与特殊点;
在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一
类重要的函数模型
高考
要求
指数函数的概念及其性质 √

2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 2013年（新课标）
北京
高考
第3题5分 第6题 5分 第6题 5分
第14题 5分 第5题 5分
解读
第13题5分 第14题 5分 第13题 5分



5.1幂的运算

考点1：幂的运算
知识点睛


1．根式
⑴ 如果存在实数
x
，使得
x
n
?a
(
a?R
，
n?1
，
n?N
?
)，则
x
叫做
a< br>的
n
次方根．
⑵ 当
n
a
有意义的时候，
n
a
叫做根式，
n
叫做根指数．
n
当n为奇数
?
a，
?
⑶ 根式的性质：①
n
a?a
，(
n?1
，且
n?N
*
)；②
n
a
n
?
?

a，当n为偶数
?
?
2．分数指数
??

且n?1
?
⑴ 规定正数的正分数指数幂的 意义：
a?
n
a
m
?
a?0，m，n?N
?
，
m
n
⑵ 规定正数的负分数指数幂的意义：
a
?
mn
?
1
a
m
n
?
a?0，m，n?N
?
，且n?1
?

3．实数指数幂的运算法则
．
a< br>?
a
?
?a
?
?
?
；
(a
?
)
?
?a
??
；
(ab)
?
?a
?
b
?
（其中
a?0
，
b?0
，对任意实数
?
，
?
）

【教师备案】本板块主要是化简、求值问题，可小结如下：
⑴一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分
数进行运算，便于进行乘除、开方运算，以达到化繁为简的目的.
⑵当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外将分数指数幂写出，然后再

利用性质运算.

⑶对于计算题的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂
的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分
数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
⑷解题时要注意从整体上把握代数式的结构特点，先化简后计算
⑸妙用公式化简指数式
①
(a?b)(a?b)?a?b
；
②
(a?b)?a?2ab?b
；
③
(a?b)(a
< br>1
3
1
3
2
3
1
2
1
2< br>2
1
2
1
2
1
2
1
2
1< br>2
1
2
ab?b)?a?b
．
1
3
1
3
2
3
暑假知识回顾


1. 化简：①
a?a?a
?
③
?
x
?
2
4
15
a
a?b
2
3
5
5
?2
?
?a?
_______；②
?
xx
?
?< br>5
6
1
3
b
b?c
2
?
3
?
?
?
?
?
8
5
?
_______； < br>?
?
?
1
c?a
?
?
?
x
?
?
?
?
1
a?b
?
?
?
x?
c
c?a
?
?
?
1
b?c
?
x?0
?
?
_______．
【解析】 ①
a
；②
x
；③
1
．

2. ⑴化简求 值：①
⑵若
2
x
?
125?27
243?1
15
1
3
1
3
?
1
?
；②
81 ?
??
?3
0
．
?
8
?
1
2< br>?1
11
，则
x?
________；若
?2
x，则
x?
_______．
3
2
32
2
【解析】 ⑴①
2
；②
2
．
2
⑵
?5
，
?
．
3

经典精讲


【例1】 ⑴

计算下列各式（式中每个字母均为正数）
3
2
1
1
?
?? ?
1
?
3
?
2x
4
y
?
?
?
?3x
4
y
3
?
12
11
??
?
?
?
1
????
33
①；②
2a
4< br>b?
?
?a
4
b
?
；
2
?
?
8
?
4xy
3
31311
?
??
1< br>????
③
?
2x
4
?3
2
??
2 x
4
?3
2
?
?4x
2
?
x?x
2
?
；
??????
2013?2013
(n?N
*)
，那么
(1?a
2
?a)
n
的值是（ ）
2
A．
2013
?1
B．
?2013
?1
C．
(?1)
n
2013
D．
(?1)
n
2013
?1

27
【解析】 ⑴ ①
?y
；
2
⑵ 设
a?
②
?16ab
；
③
?23
；
⑵
A
；


1< br>2
1
3
1
n
?
1
n
5.2指数函数 及其性质


指数函数：一般地，函数
y?a
x
(a?0
，
a?1
，
x?R)
叫做指数函数．
【教师备案】指数函数定义的讲解：
⑴定义域 ：因为指数的概念已经扩充到实数，所以在底数
a?0
的前提下，
x
可以是
任意实数
⑵规定底数
a?0
且
a?1
的理由是： ①如果
a?0
，当
x?0
时，
a
x
恒等于零 ；当
x≤0
时，
a
x
无意义；
11
②如果
a?0
，比如
y?(?4)
x
，这时对于
x?,x?,...等，
(?4)
x
都无意义；
42
③如果
a?1
，对于任何实数
x
，
y?1
x
?1
是一个常量，对它就没 有研究的价值和
必要了.

指数函数的性质：
y
知识点睛

y
图象
y=a
x
(a>1)
y=a
x
(0(0,1)
O
x
(0,1)
O
x< br>

定义域
值域
性质
R

(0，??)

1
?
，即
x?0
时，
y?1
⑴过定点
?
0，
⑵在
R
上是减函数 ⑵在
R
上是增函数

【教师备案】指数函数的图象与性质的讲解
⑴ 当底数
a
大小不定时，必须分“
a?1
”和“
0?a? 1
”两种情形讨论
⑵ 当
0?a?1
时，
x???
，y?0
；当
a?1
时，
x???
，
y?0

⑶ 当
0?a?1
时，
a
的值越小，图象越靠近
y
轴，递减的速度越快；
当
a?1
时，
a
的值越大，图象越靠近y
轴，递增的速度越快；
⑷ 熟悉指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系
在
y
轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
在
y
轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.

考点2：指数函数的图象

【例2】 ⑴已知指数函数
f(x)?a
x
(a?0,且 a?1)
的图象经过点
(3，8)
，求
f(0)
，
f(1)
，
f(?3)
的
值．
⑵函数
y?a
2x?4
?3
（
a?0
且
a?1
）必过定点___________.
⑶
?
b< br>?
在下图中，二次函数
y?ax?bx
与指数函数
y?
??< br>的图象只能是（ ）
?
a
?
2
x
经典精讲

y
y
y
y
-1O1
x-1
O
1 x
-1O
1x-1
O
1x
ABCD
1
【解析】 ⑴
f(0)?1
，
f(1)?2
，
f(?3)?2
?3
?
．
8
⑵
?
2,4
?


⑶ A
【方法规律】当两个函数的图象在同一坐标系内，判断其正确选项时，首先要使两个函数中的字母的
取值在图象上一致（矛盾的淘汰），然后如果还确定不出唯一的正确选项，再考虑各特征
数据的 范围．



考点3：幂的大小比较
【方法总结】幂的大小比较的方法
比较大小常用方法有：⑴比差（商）法：⑵函数单调性法； ⑶中间值法：要比较
A
与
B
的大
小，先找一个中间值
C，再比较
A
与
C
、
B
与
C
的大小，由 不等式的传递性得到
A
与
B
之间
的大小．
在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：

⑴ 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
⑵ 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断．
⑶ 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．
⑷ 对于三个（或三个以上） 数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与0、1的大小）进
行分组，再比较各组数的大小即可．

1. 三个数1，
0.3
2
，
2
0.3
的大小顺序是（ ）．
A．
0.3
2
?2
0.3
?1
B．
0.3
2
?1?2
0.3

C．
2
0.3
?1?0.3
2
D．
1?0.3
2
?2
0.3

【解析】 B

2. 已知
a?b?c?1
，比较下列各组数的大小：
11
?1
??
1
?
b
①
a___a
；②
??

??
；③
a___a
c
；④
b
a
__c
a
．
?
a
??
a
?
【解析】 ①
?
； ②
?
； ③
?
； ④
?
．


bc
暑假知识回顾


bc
经典精讲

?
1
?
设
y
1
?
??
?
2?
?1.8

?
2
?
【例3】 ⑴，
y
2
?(22)
0.6
，
y
3
?
?
，则（ ）
?
2
?
?
??
A．
y
3
?y
1
?y
2
B．
y
2
?y
1
?y
3

?3
C．
y
1
?y
2
?y
3
D．
y
1
?y
3
?y
2

⑵比较下列各组数的大小．
?
1
3
?
1
??1
?
?
4
?
①
a
1.2
，
a
1.1
（
a?0
且
a≠1
）；②
4
222
，
3
333
； ③
0.8
?2
，
??
．④
??
，
??

?
3
?
?
2
??
3
?
【解析】 ⑴ D
⑵ ①当
0?a?1
时，
a
1.2
?a
1 .1
；当
a?1
时，
a
1.2
?a
1.1
；
②
4
222
?3
333
．
?
4
?
③
0.8
?2
?
??
．
?
3
?
?
1
3
1
3
1
2
?
1
?
?
1
?
④
??
?
??
．
?
3
?
?
2
?

考点4：指数函数图象的变换规律
【教师备案】⑴平移规律
若已知
y?a
x
的图象，则把
y?a
x
的图象向左平移
b
?b?0
?
个单位，则得到
y?a
x?b
的
图象，把y?a
x
的图象向右平移
b
?
b?0
?
个单位 ，则得到
y?a
x?b
的图象，把
y?a
x
的图
象 向上平移
b
?
b?0
?
个单位，则得到
y?a
x< br>?b
的图象，向下平移
b
?
b?0
?
个单位，则得< br>到
y?a
x
?b
的图象．
⑵对称规律

1
3
1
2

函数
y?a
x
的图象与
y?a
?x
的图象关于
y
轴对称，y?a
x
的图象与
y??a
x
的图象关于
x

轴对称，函数
y?a
x
的图象与
y??a
?x
的图 象关于坐标原点对称．
经典精讲


【铺垫】已知
f
?
x
?
?2
x
，利用图象变换作出下列函数的图象：
⑴f
?
x?1
?
；⑵
f
?
x?1
??1
；⑶
?f
?
x
?
；⑷
f
?
?x
?
；⑸
?f
?
x
?
．
【解析】 以
f
?
x
?
?2
x
图象为依据，经过平移、对称变 换画出各自的图象，如图所示：
y
y
f (x)
y
f (|x|)
1
f (x+1)+1
1
O
1
f (x1)
x
2
1
1
f (x)
O
f (|x|)
x
1
O
x
⑴ ⑵ ⑶
y
f (x)

y
f (x)
f (x)
1
O
x
O
1
1
x
f (x)

⑷ ⑸ < br>【教师备案】指数函数是我们在高中课本上第一次遇到有渐近线的函数，所以老师在给学生讲指数函
数的图象平移的时候一定要注意渐近线，尤其是向上和向下平移的时候，有渐近线的限
制，所以值域会 受到限制

【例4】 ⑴函数
y??e
x
的图象（ ）
A．与
y?e
x
的图象关于
y
轴对称 B．与
y?e
x
的图象关于坐标原点对称
C．与
y?e
?x
的图象关于
y
轴对称 D．与
y?e
?x
的图象关于坐标原点对称
若函数
y?a
x
?b?1
（
a?0
且
a≠1
）的图象经过第二、三、四象 限，则一定有（ ）
A．
0?a?1
且
b?0
B．
a?1
且
b?0

C．
0?a?1
且
b?0
D．
a?0
且
b?0

⑶（2013北京理5）函数
f?
x
?
的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线
y?e
x
关于
⑵
y
轴对称，则
f
?
x
?
?
（ ）
【解析】 ⑴D
⑵C
⑶D


A．
e
x?1
B．
e
x?1

C．
e
?x?1
D．
e
?x?1

5.3与指数函数相关的复合函数的性质

考点5：与指数函数相关的基本性质
【教师备案】在暑假的时候我们只讲了外层是指数函数的 复合函数的定义域、值域、单调性的问题，
秋季我们将重点讲解内层是指数函数的复合函数的定义域、值 域、单调性、奇偶性的问
题，对于考点5我们不涉及与二次函数的复合，因为下边的考点6将单独研究与 二次函
数复合．
暑假知识回顾


求下列函数的定义域和值域： ⑴
y?3
1
x?2
；⑵
y?5
?x?1
．
且x?2
?
，值域为
?
yy?0，且y?1
?
． 【解析】 ⑴定义域为
?
xx?R，
1
?
． ⑵定义域为
?
1，??
?
，值域为
?
0，


【例5】 ⑴

①函数
f(x)?2
x?1
?3
的定义域为 ，值域为____________．
②函数
f(x)?1?2
x
的定义域为 ，值域为____________；
x
经典精讲

?
1
?
③函数
g(x)?2?
??
的定义域为 ，值域为____________．
?
2
?
?
?
1?
x
?
?
?7，x?0
⑵ 设函数
f
?
x
?
?
?
?
，若
f
?
a
??1
，则实数
a
的取值范围是 ．
?
2?
?
?
x，x≥0
?
?
1
?
x
x?
?
??，0
?
?
?
，
⑶函数
f(x )?
?
?
在
(??，
则
a
的取值范围是
? ?)
上是减函数，
?
3
?
?
(2a?1)x?(1?a)， x?(0，??)
?
（ ）
1
?
1
?
1< br>?????
1
?
A．
?
0，
?
B．
?
0，
?
C．
?
??，
?
D．
?
，??
?

2
?
2
?
2< br>?????
2
?
1
⑷若
f(x)?
x
?a< br>是奇函数，则
a?
_______．
2?1
1
?
； ③
?
?1，??
?
，
?
0，2
； 【解析】 ⑴①
R
，
3，??
；②
?
??，0
?
，
?
0，
?
1
?
； ⑵
?
?3，
???
⑶B；
1
⑷；
2

2
x
?1
【例6】 已知函数
f(x)?
x
．
2?1
⑴ 求
f(x)
的定义域，值域；
⑵ 证明
f(x)
为奇函数；

⑶ 讨论
f(x)
的单调性．
【解析】 ⑴ 定义域为
(??，??)
．值域为
(?1，1)
．
⑵
f(?x)??f(x)
，∴
f(x)
为奇函数．
⑶ 法一：用定义证明单调性
2(2
x
1
?2
x
2
)
2
x
1
?12
x
2
?1
?
设任意
x
1
?x
2
，则
f(x
1
)?f(x2
)?
x
1
．
?
2?12
x
2?1
(2
x
1
?1)?(2
x
2
?1)
∵
2
x
1
?2
x
2
，∴
2(2
x
1
?2
x
2
)?0
，
2
x
1< br>?1?0
，
2
x
2
?1?0
，
∴
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，
f(x
1
)?f(x
2
)
，
∴
f(x)
为
R
上的增函数．
法二：利用复合函数的单调性
22
，
u?2
x
?1
在
R
上单调递增，且
u?1
；
y?1?
在
(1，

??)
上单调递增，
f(x)?1?
x
2?1u
故它们复合后得到的
f(x)
在
R
上单调递增．

4x
【拓展】已知
f(x)?
x
，若
0?a?1
，求：
4?2
⑴
f(a)?f(1?a)
的值；
?
1
?
⑵
f
??
?
?
1001
?
【解析】 ⑴
1
；
⑵
500
．


?
2
?
f
??
?
?
1001
?
?
3< br>?
f
??
?
?
1001
?
?
100 0
?
?f
??
的值．
?
1001
?
考点5：指数函数与二次函数的复合
【教师备案】本 考点重点考查外层是二次函数，内层是指数函数的复合函数，对于外层是指数函数的
复合函数老师可以借 助暑假知识回顾给学生讲解．
暑假知识回顾


1. 函数
y?2
x
【解析】 B．

?
1
?
2. 求函数
y?
??
?
2
?
1?2x?x
2
2
?2x?3
的单调增区间为（ ）
3
?
D．
(??，
A．
(??，1]
B．
[1，??)
C．
?
?1，
?1][1，??)

的定义域、值域和单调区间．
?
1
?
??
?
，值域为
?
，??
?
， 【解析】 定义域为
?
??，
?
4
?
单调减 区间是
(??，1]
，单调增区间是
?
1，??
?
．

3. 求函数
y?a
?x
2
?3x?2
（
a?0
，且
a≠1
）的单调区间．
【解析】
a?1
时 ，
y?a
?x
3
?
?
3
?
?
在< br>?
??，
?
上是增函数，在
?
，??
?
是减 函数；
2
??
?
2
?
2
3
?
?
3
?
?
0?a?1
时，
y?a
?x?3x?2在
?
??，
?
上是减函数，在
?
，??
?是增函数．
2
??
?
2
?
2
?3x?2

经典精讲


【铺垫】⑴函数
f(x) ?3?4
x
?2
x
，求
f(x)
在
R
上的 最小值．
??
?
上的最小值． ⑵函数
f(x)?3?4
x
?2
x
，求
f(x)
在
x?
?
0，
【解 析】 ⑴
f(x)
在
R
上最小值为
?


【例7】 ⑴
⑵
1
．
12
??
?
上最小值为
2
． ⑵
f(x)
在
?
0，
求函数
f(x)?9
x
?2?3
x
的单调区间及其值域．
如果函数
y?a
2x
?2a
x
? 1
?
a?0，a?1
?
在区间
[?1，1]
上的最大值是< br>14
，求
a
的值．
【解析】 ⑴ 函数的递增区间为
?< br>0，??
?
，递减区间为
?
??，0
?
，函数的值域 为
?
?1，??
?
．
1
⑵
a
的值为
3
或．
3










1
?
时，
f(x)
的图象在
x
轴上方，求
a
的取值范围．设
f(x) ?1?2
x
?a?4
x
(a?R)
，当
x?
???，

2
x
?1
【解析】 本题等价于当
x≤1时，
1?2?a?4?0
恒成立
?a??
x
?
x≤1< br>?
恒成立．
4
?
?
1
?
x
?1
?
2x
?
2
x
?1
令
u
?
x
?
??
x
??
?
??
?
??< br>?
?
x≤1
?
，问题等价于求
?
?
u
?
x
?
?
?
max

422
?
?
????
?
?
xx
1
?
1
?
令
??
?t
，∵
x≤1
，∴
t≥

2
?
2
?
?
1
?
1
?
1
?
u
?
x
?
??t?t??
?
t?
?
?< br>在
?
，??
?
上是减函数
?
2
?
4
?
2
?
133
当
t?
，
?
，则 即为所求．
ux??a??
?
??
??
max
2442
2
x

实战演练


【演练1】 化简：⑴
?
11
?
?
a
2
?b
2
??
11
??
??
a
2
?b
2
?
?
?
?
；
⑵
?
11
?< br>??
2112
?
?
a
3
?b
3
??
??
a
3
a
3
b
3
?b
3
?
?
?
．
【解析】 ⑴
a?b
；⑵
a?b
．

【演练2】函数
y?10
x
?1
的图象为( )
y
y
y
y
1
1
2
x
O
1x
-1
O
x
1
O
-1
Ox
A．





B．





C．





D．
【解析】 D

【演练3】(2010重庆理5)函数
f
?
x
?
?
4
x
?1
2
x
的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于直线
y?x
对称
C．关于
x
轴对称 D．关于
y
轴对称
【解析】 D．

?
(a?2)x， x≥2
【演练4】若函数
f(x)?
?
?
?
1
?< br>x
，
是
R
上的单调减函数，则实数
a
的取值范围是（
??
?
?
2
?
?
?1x?2
A．
(??，2)
B．
?
?
?
??，
13
?
8
?
?
C．
(0，2)
D．
?
13
?
?
?
8
，2
?
?

【解析】 B．

【演练5】设
a?R
，
f
?< br>x
?
?a?
2
2
x
?1
?
x?R< br>?
，若
f
?
x
?
为奇函数，则
a?
_____．
【解析】
1
．

【演练6】已知
?1≤ x≤2
，求函数
f(x)?3?2?3
x?1
?9
x
的最大 值和最小值．
【解析】
f(x)
的最大值为
12
，最小值为
?24
．






）

大千世界

（2009上海高中数学竞赛第6题）不等式
2
2x< br>≤3?2
x?
【解析】
[0，4]

首先
x≥0< br>，不等式转化为
2
x
?4?2
所以
2
x
≤4 ?2
x
x
?4?2
2x
的解集是 ．
?x
??
2
x
?2
x
?
≤0
，
?2
x?x
?
x≤2?x
?(x?2)(x?1)≤0
，解得0≤x≤4
．