乐山市高中数学教材版本-高中数学B版全套旧书
指数函数
概念:一般地,函数y=a^x(a>0,且a≠1)叫做指数函
数,其中x是自变量,函数
的定义域是R。
注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质
:
规律:1.
当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这
两个函数都不具有奇偶性。
2.当a>1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴;
当0<a<1时,底数越小,图像下降的越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴。
在y轴右边“
底大图高
”;在y轴左边“
底大图低
”。
3.四字口诀:“
大增小减
”。即
:当a>1时,图像在R上是增函数;当0<a<1时,
图像在R上是减函数。
4.
指数函数既不是奇函数也不是偶函数
。
比较幂式大小的方法:
1.
2.
3.
4.
当底数相同时,则利用指数函数的
单调性
进行比较;
当底数中
含有字母
时要注意
分类讨论
;
当底数不同,指数也不同时,则需要
引入中间量
进行比较;
对多个数进行比较,可用0或1作为中间量进行比较
底数的平移:
在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。
对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数y=a
x
在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它存在反函数,
我们把指数函数y=a
x
(a>0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=lo
g
a
x(a>0,a≠1).
因为指数函数y=a
x
的
定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=log
a
x的
定义
域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).
2.对数函数的图像与性质
对数函
数与指数函数互为
反函数
,因此它们的图像
对称于直线y=x
.
据此即可以画
出对数函数的图像,并推知它的性质.
为了研究对
数函数y=log
a
x(a>0,a≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log
2
x,y=log
10
x,y=log
10
x
,y=log
1
x,y=log
1
x的草图
210
由草图,再结合指数函数的图像和性质
,可以归纳、分析出对数函数y=log
a
x(a>0,a
≠1)的图像的特征和性质
.见下表.
图
象
a>1
a<1
性
质
(1)x>0
(2)当x=1时,y=0
(3)当x>1时,y>0
0<x<1时,y<0
(4)在(0,+∞)上是增函数
补
充
性
质
(3)当x>1时,y<0
0<x<1时,y>0
(4)在(0,+∞)上是减函数
设y
1
=log
a
x
y
2
=log
b
x其中a>1,b>1(或0<a<1 0<b<1)
当x>1时“
底大图低
”即若a>b则y
1
>y
2
当0<x<1时“
底大图高
”即若a>b,则y
1
>y
2
比较对数大小的常用方法有:
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的
单调性
直接进行判断.
(2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行
分类讨论
.
(3)若底数不同、真数相同,则可用
换底公式
化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等
中间量
进行比较.
3.指数函数与对数函数对比
名称
一般形式
定义域
值域
函
数
值
变
化
情
况
指数函数
y=a
x
(a>0,a≠1)
(-∞,+∞)
(0,+∞)
当a>1时,
对数函数
y=log
a
x(a>0,a≠1)
(0,+∞)
(-∞,+∞)
当a>1时
?
?1(x?0)
?
ax
?
?1(x?0)
?
?1(x?0)
?
当0<a<1时,
?
?0(x?1)
?
log
a
x
?
?0(x?1)
?
?0(x?1)
?
当0<a<1时,
?
?1(x?0)
?
a
x
?
?1(x?0)
?
?1(x?0)
?
当a>1时,a
x
是增函数;
当0<a<1时,a
x
是减函数.
?
?0(x?1)
?<
br>log
a
x
?
?0(x?1)
?
?0(x?1)
?
当a>1时,log
a
x是增函数;
当0<a<1时,log
a
x是减函数.
单调性
图像
y=a
x
的图像与y=log
a
x的图像
关于直线y=x对称.
幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数
y?x
随着
n
的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分
类记忆的方法.熟练
掌握
y?x
n
,当
n??2,?1,?
从中可以归纳出以下结论:
n
11
,,3
的图像和性质,列表如下.
23
① 它们都
过点
?
1,1
?
,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函<
br>数图像都不过第四象限.
11
,,1,2,3
时,幂函数图像过原点且在?
0,??
?
上是增函数.
32
1
③
a?
?,?1,?2
时,幂函数图像不过原点且在
?
0,??
?
上是减函
数.
2
②
a?
④
任何两个幂函数最多有三个公共点
.
y?x
n
奇函数 偶函数 非奇非偶函数
y y y
n?1
O
x
O
x
O
x
y y
y
0?n?1
O
x
O
x
O
x
y
y
y
n?0
O
x
O
x
O
x
定义域
奇偶性
在第Ⅰ象限的增减
性
R
奇
在第Ⅰ象限
单调递增
R
奇
在第Ⅰ象限
单调递增
R
奇
在第Ⅰ象限
单调递增
奇
在第Ⅰ象限
单调递减
非奇非偶
在第Ⅰ象限
单调递增
?
y?x
幂函数(
x?
R,
?
是常数)的图像
在第
一象限的分布规律
是:
?
y?x
①所有幂函数(
x?
R,
?
是常数)的图
像都过点
(1,1)
;
?
?1,2,3,
②当
1
?
2<
br>时函数
y?x
的图像都过原点
(0,0)
;
③当
?
?1
时,
y?x
的的图像在第一象限是第一象限的
平分线
(
如
c
2
);
?
?
?2,3
y?x④当时,的的图像在第一象限是“
凹型
”曲线(如
c
1
)
?
?
?
⑤当
1
?
2
时,
y?x
的的图像在第一象限是“
凸型
”曲线(如
c
3
)
⑥当
?
??1
时,
y?x
的的图像不过原点
(0,
0)
,且在第一象限是“
下滑
”曲线(如
c
4
)
?
当
?
?0
时
,幂函数
y?x
有下列性质
:
(1)图象都通过点
(0,0),(1,1)
;
(2)在第一象限内都是增函数;
(3)在第一象限内,
?
?1
时,图象是向下凸的;
0?
?
?1
时,图象是向上凸的;
(4)在第一象限内,过点
(1,1)
后,图象向右上方无限伸展。
?
当
?
?0
时
,幂函数
y?x
有下列性质:
(1)图象都通过点
(1,1)
;
(2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;
(3)在第一象限内,图象向
上与
?
y
轴无限地接近;向右无限地与
x
轴无限地接近;
(4)在第一象限内,过点
(1,1)
后,
?
越大,图象下落的速度越快。
无论
?
取任何实数,幂函数
y?x
的图象必然经过第一象
限,并且一定不经
过第四象限。
?
对号函数
函数
y?ax?
b
x
(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0
,+∞)的图象似符号“√”
而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,
ax?
b
bb
?2
(当且仅当
ax?
x
xa
即<
br>x?
b
b
时取等号),由此可得函数
y?ax?
(a>0,b
>0,x∈R
+
)的性质:
x
a
当
x?
b
bb
时,函数
y?ax?
(a>0,b>0,x∈R
+
)有最小值
2
,特别地,当a=b=1
x
aa
b
x
时函数有最小值2。函数
y?ax?
(a>0,b>0)在区间(0,
+∞)上是增函
数。
bb
)上是减函数,在区间(,
aa
因为函数
y?ax?
的性质:
当
x??
bb
(a
>0,b>0)是奇函数,所以可得函数
y?ax?
(a>0,b>0,x∈R
-)
xx
b
bb
时,函数
y?ax?
(a>0,b>0,
x∈R
-
)有最大值-
2
,特别地,当a=b=1
x
aa<
br>b
b
(a>0,b>0)在区间(-∞,-)上是增函数,在区
x
a<
br>时函数有最大值-2。函数
y?ax?
间(-
b
,0)上是减函
a
奇函数和偶函数
(1)如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x
值,都有f(-x)=-(x).那么就称f(x)为奇
函数.
如果对于函数f(x)的定
义域内的任意一个x值,都有f(-x)=f(x),那么就称f(x)为偶函数.
说明:(1)由
奇函数、偶函数的定义可知,只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间
时,才有可能是奇
(2)判断是不是奇函数或偶函数,不能轻率从事,例如判断f(x) 是不易的.为了便于判断有时可采取如下办法:计算f(x)+f(-x),视其结果而说明是否是奇函数.用这个方法判断此
函数较为方便:f(x)
(3)判断函数的奇偶性时,还应注意是否对定义域内的任何x值,
当x≠0时,显然有f(-x)=-f(x),但当x=0时,f(-x)=f(x)=1,∴f(x)
为非奇非偶函数.
(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形;偶函数的图象
特征是关于y
轴为对称轴的对称图形.
(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时,尤其要注意由它们的定义出发来进行论证.
例
如果函数f(x)是奇函数,并且在(0,+∞)上是增函数,试判断在(-∞,0)上的增减性.
解 设x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2<0
则有-x1>-x2>0,
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(-x1)>f(-x2)
又∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(x)对任意x成立,
∴=-f(x1)>-f(x2)
∴f(x1)<f(x2).
∴f(x)在(-∞,0)上也为增函数.
由此可得出结论:一个奇函数若在(0,+∞)上是
增函数,则在(-∞,0)上也必是增函数,
即奇函数在(0,+∞)上与(-∞,0)上的奇偶性相同
.
类似地可以证明,偶函数在(0,+∞)和(-∞,0)上的奇偶性恰好相反.
时,f(x)的解析式
解 ∵x<0,∴-x>0.
又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
偶函数图象对称性的拓广与应用
我们知道,如果对于函数y=f(x)定义域内任意一
个x,都有
f(-x)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关
于y
轴对称,反之亦真.由此可拓广如下:
如果存在常数a,b,对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,
a+x,b-x仍在
(a+b-x,f(x)),而f(a+b-x)=f[a+
(b-x)]=f[b-(b-
x)]=f(x),对称点P'(a+b-x,
称;
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