高中数学《函数的极限(一)》教案

课 题：
2.3函数的极限(一)

教学目的：
1. 理解当
x
→+∞，
x
→－∞，
x
→∞时，函数
f< br>(
x
)的极限的概念.
2.从函数的变化趋势，理解掌握函数极限的概念.
3.会求当函数的自变量分别趋于+∞，－∞，∞时的极限
教学重点：从函数的变化趋势来理解极限的概念，体会极限思想.
教学难点：对极限概念如何可从变化趋势的角度来正确理解.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.数列极限的定义：
一般地，如果当项数
n< br>无限增大时，无穷数列
{a
n
}
的项
a
n
无 限趋近于某个
．．．．．
常数
a
（即
a
n
?a无限趋近于0），那么就说数列
{a
n
}
以
a
为极限， 或者说
a
是
数列
{a
n
}
的极限．记作
l ima
n
?a
，读作“当
n
趋向于无穷大时，
a
n
的极限等
n??
于
a
”
“
n?
∞”表示 “
n
趋向于无穷大”，即
n
无限增大的意思
lima
n?a
有
n??
时也记作：当
n?
∞时，
a
n< br>?a
．
理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说
明，而不是定量化的定义.“随着项数
n
的无限增大，数列的项
a
n
无限地趋近于
某个常数
a
”的意义有两个方面：一方面，数列的项
a
n
趋近于
a
是在无限过程
中进行的，即随着
n
的增大a
n
越来越接近于
a
；另一方面，
a
n
不是一 般地趋近
于
a
，而是“无限”地趋近于
a
，即|
a
n
－
a
|随
n
的增大而无限地趋近于0.
2.几个重要极限：
（1）
lim
1
?0
（2）
limC?C
（C是常数）
n??
n??
n
n
n
（3）无穷等比数列
{q}
（
q?1
）的极限是0，即
limq?0(q?1)

n??
3. 将
a
n
看成是
n
的函数即
a
n
=
f
(
n
).自变量
n
∈N，
a
n
就是一个特殊的函数. 数
列的项
a
n
,随着
n
的增大
a
n
越来越接近于< br>a
,也就是
f
(
n
) 越来越接近于
a．

对于一般的函数
f
(
x
)，自变量
x
∈R，是否有 同样的结论呢？这节课就来研究当
*

x
→∞时，函数
f(
x
)的极限.
二、讲解新课：
1. 举特殊例子
我们先 来看函数
y
=
1
(
x
∈R，
x
≠0)，画 出它的图象，或者列表观察.当
x
取
x
正值并无限增大，和当
x取负值并绝对值无限增大时，函数值的变化趋势.
(1)函数
y
=
1
(
x
∈R，
x
≠0)的图象：
x
y
O
x

(2)列表 (请学生回答
y
的值).
x
y

x
y
-1
-1
-10
-0.1
-100
-0.01
-1000 -10000 -100000 ??
?? -0.001 -0.0001 -0.00001
1
1
10
0.1
100
0.01
1000
0.001
10000 100000 ??
?? 0.0001 0.00001
从图中或表中可以看出，当
x
取正值 增大时，
y
的值趋于0；当
x
取负值并
绝对值增大时，
y< br>的值也趋于0.
如果也用数列中的极限符号表示：
11
?0,lim?0
.
x???
x
x???
x
lim
2.函数极限的定义: (1)当自变量
x
取正值并且无限增大时，如果函数
f
(
x)无限趋近于一个常
数
a
，就说当
x
趋向于正无穷大时，函数< br>f
(
x
)的极限是
a
.
记作：
x???< br>lim
f
(
x
)=
a
，或者当
x
→ +∞时，
f
(
x
)→
a
.
(2)当自变量
x
取负值并且绝对值无限增大时，如果函数
f
(
x
)无限趋近于< br>一个常数
a
，就说当
x
趋向于负无穷大时，函数
f
(
x
)的极限是
a
.

记作
x???
lim
f
(
x
)=
a
或者当
x
→－∞时，
f
(
x
)→
a
.
(3)如果
x???< br>lim
f
(
x
)=
a
且
lim
f< br>(
x
)=
a
，那么就说当
x
趋向于无穷大时，函x???
数
f
(
x
)的极限是
a
，
记作：
lim
f
(
x
)=
a
或者当
x→∞时，
f
(
x
)→
a
.
x??
3 .常数函数
f
(
x
)=
c
.(
x
∈R)， 有
lim
f
(
x
)=
c
.
x??
注意：
lim
f
(
x
)存在，表示
x??x???
lim
f
(
x
)和
lim
f
(
x
)都存在，且两者相等.
x???
x??
所以
lim
f
(
x
)中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限
lim
a
n中的∞仅有
x??
+∞的意义
三、讲解范例：
例1分别就自变量
x
趋向于+∞和－∞的情况,讨论下列函数的变化趋势.
(1)
y
=(
1
x
)
2
分析：作出这个函数的图象，由图就能看出变化趋势.
解：由图可知，
y
O
x

当
x
→+∞时，
y
=(
1
x
1
x
)无限趋近于0，即
lim
()=0；
x???
22
1
x
)无限趋近于+∞.极限不存在．
2< br>当
x
→－∞时，
y
=(
(2)
y
=2
解：由图可知，
x

y

x
当
x
→+∞时.
y
=2无限趋近于+∞，极限不存在．
当
x
→－∞时，
y
=2无限趋近于0，即
x
Ox
x???
lim
2
x
=0.
?
1(x?0时)
?
(3)
f(x)?
?
0(x?0时)

?
?1(x?0时)
?
解：由图可知，
y
1
O
x
-1

当
x
→+∞时，
f
(
x
)的值为1，即
x???
lim
f
(
x
)=1;
x???
当
x
→－∞时，
f
(
x
)的值为－1，即
lim
f
(
x
)=－1．
说明：当
x
→+∞时，
f
(
x
)不是无限趋近于某 个常数
a
，而是
f
(
x
)的值等于
常数
a
，那么函数
f
(
x
)当
x
→+∞时的极限也就是< br>a
.
x
→－∞时，情况也是如此.

四、课堂练习：
1．1.对于函数
y
=
的变化趋势.
答案：当
x
→∞时，
y
=
1
，填写下表并画出函数的图象，观察当
x
→ ∞时，函数
y
2
x
11
lim
无限趋近于0.即=0.
22
x??
xx
2.写出下列函数极限的值.
(1)
x???
lim
52
1
x
； (2)
lim
10； (3)
lim
3
；(4)
lim

x???
x? ??
x
x???
x?1
x

答案：⑴0 ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ 0
3.判断下列函数的极限：
（1）
lim()
（2）
lim10

1
x
x
x???
2
x???
1
（3）
lim
2
（4）
lim4

x??
x??
x
答案：⑴0 ⑵0 ⑶0 ⑷ 4
五、小结 ：当
x
分别趋向于+∞，－∞，∞时，函数
f
(
x
)的极限，以及常数函
数的极限，注意
lim
f
(
x
)中的∞和数列极限
lim
a
n
中的∞的不同意义. 以概念为
x??n??
依据，结合函数图象，学会求一些函数的极限
六、课后作业：
1.判断下列函数的极限：
（1）
lim0.4
（2）
lim1.2

x???x???
xx
1

4
x??
x
x??
1
x
5
x
（5）
lim()
（6）
lim()

x???
10
x???
4
1
（7）
lim
2
（8）
lim5

x??
x??
x?1
（3）
lim(?1)
（4）
lim
答案： ⑴0 ⑵0 ⑶-1 ⑷0 ⑸0 ⑹0 ⑺0 ⑻5
七、板书设计（略）
八、课后记：