高中数学复合函数知识点

高中数学复合函数知识点
高中数学复合函数知识点
设函数 y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)
的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx ∩Du≠?，那么对
于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与 之
对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，
这种函数称为复合函数(comp osite function)，记为：
y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y 为因变量
(即函数)。
1.复合函数定义域
若函数y=f(u)的定义域 是B,u=g(x)的定义域是A,则复
合函数y=f[g(x)]的定义域是
D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x
的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：
⑴当为整式或奇次根式时，R的值域;
⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);
⑶当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开
方数大于0;
⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为
0(如，中)。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的
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定义域应是 使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即
求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并
集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义
外，还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的
取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为 非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
注：设y=f(u)的最小正周期为T1,&m u;=φ(x)的最
小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2,任一 周
期可表示为k*T1*T2(k属于R+)
2.复合函数单调性
依y= f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+
增=增;减+减=增;增+减=减; 减+增=减”，可以简化为“同增
异减”。
⑴求复合函数的定义域;
⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、
指、对函数);
⑶判断每个常见函数的单调性;
⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;
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⑸求出复合函数的单调性。
3.复合函数周期性
设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正
周期为T2,则y=f(& mu;)的最小正周期为T1*T2,任一周期可
表示为k*T1*T2(k属于R+)
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