人教B版高中数学必修一高中函数解析式的八种方法

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------








高中函数解析式的八种方法
在高中数学学习中，会遇到求函数解析式的一类题，这里是指已知 求
f(x)
或
f[g(x)]
或
g[f(x)]
，
g(x)
，或已知
f(x)
或
g(x)
，求
f[g(x)]
或
g[f(x)]
等复合函数的解析式，这些问题是学生在学习
中感到棘手的 问题。解决这些问题是否有一套有效的方法可循呢？回答是肯定的。这类题在现行的高中数
学教科书中几 乎没有，但在一些二类教材如《目标测试》等书中有很多类似题，它与课本上的函数这一内
容关系密切， 并且具有一定的规律性，故就有一些有效的解题方法，根据本人的教学心得整理如下：
一、定义法：
例1：设
解：
?
f(x?1)?x
2
?3x?2
， 求
f(x)
.
f(x?1)?x
2
?3x?2?[(x?1)?1 ]
2
?3[(x?1)?1]?2
=
(x?1)
2
?5(x ?1)?6

?f(x)?x
2
?5x?6

例2：设f[f(x)]?
f[f(x)]?
x?1
，求
f(x)
. < br>x?2
x?1x?1
??
x?2x?1?1
1
1?
1
1?x
?f(x)?
1

1?x
解：设
?
1111
f(x?)?x
2
?
2
,g(x?)?x
3
?
3
，求
f[g(x)]
.
xx
xx
111< br>22
?f(x)?x
2
?2
解：
?f(x?)?x?
2
?(x?)?2
xx
x
111
3
1
3
又
?g(x?)?x?
3
?(x?)?3(x?)?g(x)?x
3
?3x

xxx
x
例3：设
信达

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故
f[g(x)]?(x
3
?3x)
2
?2?x
6
?6x
4
?9x
2
?2

例4：设
f(cosx)?cos17x,求f(sinx)
.
解：
f(sinx)?f[cos(
?
?x)]?cos17(
?
22
?x)

?cos(8
?
?
?
?17x)?cos(
?
22
?17x)?sin17x
.
二、待定系数法：
例5： 已知
f(x?2)?2x
2
?9x?13
，求
f(x)
.
解：显然，
f(x)
是一个一元二次函数。设
f(x)?ax
2?bx?c(a?0)

则
f(x?2)?a(x?2)
2
?b (x?2)?c?ax
2
?(b?4a)x?(4a?2b?c)

又
f(x?2)?2x
2
?9x?13

?
a?2
?
a
比较系数得：
?
?
b?4a??9
解得：?
?2
?
b??1
?f(x)?2x
2
?x?3

?
?
4a?2b?c?13
?
?
c?3
三、换 元（或代换）法：
例6：已知
f(
1?xx
2
?11
x< br>)?
x
2
?
x
,
求
f(x)
. < br>解：设
1?x1
1?x
x
?t,
则
x?
t? 1
则
f(t)?f(
x
)?
x
2
?1
x< br>2
?
111
x
?1?
x
2
?
x
?1?
1
?
1
?1?(t?1)
2
?(t? 1)?t
2
?t?1
?f(x)?x
2
?x?
(
1 1
1

2
t?1
)
t?1
例7：设
f(c osx?1)?cos
2
x
，求
f(x)
.
解：令
t?cosx?1,?cosx?t?1
?1?cosx?1,??2?cosx?1?0即?2?t ?0

?f(t)?(t?1)
2
,(?2?t?0)即f(x)?(x?1 )
2
,x?[?2,0]

信达
又

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例8：若
f(x)?f(
x?1
)?1?x
（1）
xx?1
?1
x?1x?1
x?1
)?f(
x
)?1?< br>在（1）式中以代替
x
得
f(

x?1
xx
x
x
x?112x?1
即
f(
（2）
)?f(?)?xx?1x
11x?2
又以
?
代替（1）式中的
x
得：
f(?
（3）
)?f(x)?
x?1x?1x?1
x?22x?1 x
3
?x
2
?1
(1)?(3)?(2)得:2f(x)?1?x? ??
x?1xx(x?1)
x
3
?x
2
?1
?f( x)?

2x(x?1)
1
f(x)满足af(x)?bf()?cx(其中 a,b,c均不为0
，
且a??b)
，求
f(x)
。
x< br>1111
解：
af(x)?bf()?cx
（1）用来代替
x
，得
af()?bf(x)?c?
（2）
xxxx
例9：设
由acx
2
?bc
a?(1)?b?(2)得:(a?b)f(x)?
?a ??b
x
22
acx
2
?bc

?f(x)?
2
(a?b
2
)x
四、反函数法：
例10：已知
解：设
t
f(a
x?1
)?x
2
?2
，求
f(x)
.
?a
x?1
?0
，则
x ?1?log
a
t
即
x?log
a
t?1

f(t)?(log
a
t?1)
2
?2?log
2
at?2log
a
t?3
代入已知等式中，得：
?f(x)?log2
a
x?2log
a
x?3

五、特殊值法：
例11：设
f(x)
是定义在N上的函数，满足
f(1)?1
，对于任意正 整数
x,y
，均有
f(x)?f(y)?f(x?y)?xy
，求
f (x)
.
解：由
设
f(1)?1
，
f(x)?f(y)? f(x?y)?xy

y?1
得：
f(x)?1?f(x?1)?x

信达

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即：
f(x?1)?f(x)?x?1

,t?1
代替，然后各式相加 在上式中，
x
分别用
1,2,3,?
可得：
111
(t?2)(t?1)?1?t
2
?t
222
11
?f(x)?x
2
?x(x?N
?
)

22
f(t)?
六、累差法：
例12：若
求
f(1) ?lg
1
x?1
，且当
x?2时,满足f(x?1)?f(x)?lga,( a?0,x?N?)
，
a
f(x)
.
解：
?f(x)?f (x?1)?lga
x?1
(a?0,x?N
?
)

递推得：
f(x?1)?f(x?2)?lga
x?2

f(x?2)?f(x?3)?lga
x?3

……………………………………
f(3)?f(2)?lga
2

f(2)?f(1)?lga

以上
(x?1)
个等式两边分别相加，得：
f(x)?f(1)?lga? lga
2
???lga
x?2
?lga
x?1

?f(1)?lga
1?2???(x?2)?(x?1)

1
?l g?lga
a
x(x?1)
2
?lga
x(x?1)
?1< br>2

?[
x(x?1)
?1]lga

2
七、归纳法：
例13：已知
解：
?
f(x?1)?2?
f(1)?a,
1
f(x),(x?N?)且f(1)?a
，求
f( x)
.
2
111
f(2)?2?f(1)?2?a?4?2?a

222
信达

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f(3)?2?
1
2
f(2)?2?
1
2
(2?
1
2
a)?4?2
0
?
1
2
2
a

f(4)?2?
1
f(3)?2?
1
(3?
1
a)?4?2
?1
1
2 24
?
2
3
a

f(5)?2?
11111
2
f(4)?2?
2
(3
2
?
8
a)?4?2< br>?2
?
2
4
a

………………………………，依此类推，得
f(x)?4?2
3?x
?
1
2
x?1
a

再用数学归纳法证明之。
八、微积分法：
例14：设
f
?
(sin
2
x)?cos
2
x,f(1)?2
，求
f(x )
.
解：
?f
?
(sin
2
x)?cos
2
x?1?sin
2
x
?f
?
(x)?1?x(|x|? 1)

因
f(x)?
?
f
?
(x)d?
?
(1?x)dx?x?
1
2
2
x?c
?f(1)?2?1?
1
?c??c?
3
2
2
2

?f(x)? x?
1
2
3
2
x?
2
(|x|?1)
A、
f(x?T)??f(x)
f(x?T)?
11
f(x)
或f(x? T)??
f(x)

信达
此
B、