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高中数学--函数定义域,值域解题方法纳

作者:高考题库网
来源:https://bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 17:44
tags:高中数学函数

教育调查报告 高中数学-高中数学老师素材图片



函数的三要素: 对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。

例:判断下列各组中的两个函数是否是同一函数?为什么?
1.
y
1
?
(x?3)(x?5)

x?3
y
2
?x?5
解:不是同一函数,定义域不同
2


y
1
?x?1x?1

y
2
?(x?1)(x?1)
解:不是同一函数,定义域不同
3


f(x)?x

g(x)?x
2

4.

解:不是同一函数,值域不同

f(x)?x

F(x)?
3
x
3

解:是同一函数
5.
f
1
(x)?(2x?5)
2

f
2
(x)?2x?5
解:不是同一函数,定义域、值域都不同
关于复合函数
设 f(x)=2x?3 g(x)=x
2
+2 则称 f[g(x)](或g[f(x)])为复合函数。
f[g(x)]=2(x
2
+2)?3=2x
2
+1
g[f(x)]=(2x?3)
2
+2=4x
2
?12x+11

例:已知:f(x)=x?x+3 求
:f(
2
1
) f(x+1)

x
111
解:f(
)=()
2
?+3
f(x+1)=(x+1)
2
?(x+1)+3=x
2
+x+3
xxx
1. 函数定义域的求法
??分式中的分母不为零;
??偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
??指数式的底数大于零且不等于一;
??对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
??正切函数
y?tanx.. .(x?R,且x?k
?
?
?
2
,k??)

?
x?R,且x?k
?
,k??
?

??余切函数
y?cotx

??反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)
[?
函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ,值域是
??
,]
22

函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,
(?
函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是
??
,)
22

函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
注意,

1



1. 复合函数的定义域。
?
x?1?(1,3)
?
2?x?(1,3)

f(x)< br>F(x)?f(x?1)?f(2?x)
如:已知函数的定义域为(1,3),则函数的定义域。
?
2. 函数
f(x)
的定义域为
(a,b)
,函数
g(x)
的定义域为
(m,n)
,
?
g(x)?(a,b)?
x?(m,n)
,解不等式,最后结果才是
f[g(x)]
则函数的定义域为
?

3.这里最容易犯错的地方在这里:
已知函数
f(x?1)
的 定义域为(1,3),求函数
f(x)
的定义域;或者说,已知函数
f(x?1)的定义域为(3,4),
则函数
f(2x?1)
的定义域为______?
一、复合函数的构成

u?g(x)

A

B< br>的函数,
y?f(u)

B'

C'
上的函数,且< br>中的元素时,
B
?B'
,当
u
取遍
B
数称为 由外函数
y
取遍
C
,那么
y?f(g(x))
就是
A

C
上的函数。此函
y?f(x)
和内函数
u?g(x)
复合而成的复合函数。
说明:
⑴复合函数的定义域,就是复合函数
y? f(g(x))

x
的取值范围。

x
称为直接变量,< br>u
称为中间变量,
u
的取值范围即为
g(x)
的值域。

f(g(x))

g(f(x))
表示不同的复合函数。.
例2:
⑴若函数
f(x)
的定义域是[0,1],求
f(1?2x )
的定义域;
⑵若
f(2x?1)
的定义域是[-1,1],求函数
f(x)
的定义域;
⑶已知
f(x?3)
定义域是
?
? 4,5
?
,求
f(2x?3)
定义域.
要点1:解决复合函数问题,一般先将复合函数分解,即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的.
解答:
⑴ 函数
f(1?2x)
是由A到B上的函数
u?1?2x
与B到C上的函数
y?f(u)
复合而成的函数.
?
函数
f(x)
的定义域是[0,1], ∴B=[0,1],即函数
u?1?2x
的值域为[0,1].
0?x?
11
2
, ∴函数
f(1?2x)
的定义域[0,
2
].
2

0?1?2x?1
,∴
?1??2x?0
,即



⑵ 函数
f(2x?1)
是由A到B上的函数
u? 2x?1
与B到C上的函数
y?f(u)
复合而成的函数.
?
f(2x?1)
的定义域是[-1,1], ∴A=[-1,1],即-1
?x?1


?3?2x?1?1
,即
u?2x?1
的值域是[-3,1], ∴
y?f(x)
的定义域是[-3,1].
要点2:若已知
f(x)
的定义域为
A
,则
f[g(x)]
的定义域就是不等式
g(x)? A

x
的集合;若已知
f[g(x)]
的定义域为
A
,则
f(x)
的定义域就是函数
g(x)

(x?A)
的值域。
⑶ 函数
f(x?3)
是由A到B上的函数< br>u?x?3
与B到C上的函数
y?f(u)
复合而成的函数.
?f(x?3)
的定义域是[-4,5), ∴A=[-4,5)即
?4?x?5< br>,∴
?1?x?3?8

u?x?3
的值域B=[-1,8)

f(2x?3)
是由
A'

B'
上的函数
u' ?2x?3
与B到C上的函数
y?f(u)
复合而成的函数,而
B?B',从而
u'?2x?3
的值域
B'?[?1,8)

?1?2x?3?8

2?2x?11,

1?x?
11
2

11

f(2x?3)
的定义域是[1,
2
).
例4:已知函数
f(x)?

f(x)
的值域。
分析:令
u(x)?
x?1?x
,
(x?1)

x?1

(x?1)

2
g(u)?u?u?1

(u?0)
则有
22
f(x)
g(u)?u?u?1g(u)?u?u?1

(u?0)< br>的值域即
u(x)?x?1
复合函数是由与复合而成,而
f(x)
的值 域,但
g(u)?u
2
?u?1
的本身定义域为
R
,其值域 则不等于复合函数
f(x)
的值域了。
2.求有关复合函数的解析式,
2
f(x)?x?1,

f(x?1)
; 例6.①已知
2
f(x?1)?(x?1)?1
,求
f(x)
. ②已知
f(x?1)?x?
例7.①已知
1
x
,求
f(x)

11
f(x?)?x
2
?
2x
x
,求
f(x?1)
. ②已知
要点3:

3



已知
已知
f(x)
求复合 函数
f[g(x)]
的解析式,直接把
f(x)
中的
x
换成
g(x)
即可。
f[g(x)]

f(x)
的常用方法有:配凑法和换元法。
f[ g(x)]
中把关于变量
x
的表达式先凑成
g(x)
整体的表达式, 再直接把
g(x)
换成
x
而得配凑法就是在
f(x)
。 < br>换元法就是先设

x
得到
g(x)?t
,从中解出
x
(即用
t
表示
x
),再把
x
(关于
t的式子)直接代入
f[g(x)]
中消
f(t)
,最后把
f(t )
中的
t
直接换成
x
即得
f(x)
,这种代换遵循 了同一函数的原则。
例8.①已知
f(x)
是一次函数,满足
3f(x?1 )?2f(x?1)?2x?17
,求
f(x)

1
3f(x)?2f()?4x
x
②已知,求
f(x)

要点4:
⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时,一般用待定系数法。
⑵ 若已知抽象的函数表达式,则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知
f(x)
满足某个等式,
1
f()
f(x)
是未知量外,还出现其他未知量,如f(?x)

x
等,必须根据已知等式再构造出其他等这个等式除
式组成 方程组,通过解方程组求出

三、总结:
1.复合函数的构成;
设函数
f(x)

y?f(u)

u?g(x)
,则我们称
y?f(g(x))
是由外函数
y?f(u)
和内函数
u ?g(x)
复合而
成的复合函数。其中
x
被称为直接变量,
u
被称为中间变量。复合函数中直接变量
x
的取值范围叫做复合函数的
定义域,中间变 量
u
的取值范围,即是
g(x)
的值域,是外函数
y?f(u)的定义域。
2.有关复合函数的定义域求法及解析式求法:
⑴定义域求法:
求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式(由
的值域范围(由
a
a?g(x)?b

x
);求外函数的定义域只要求中间变量
?x?b

g( x)
的值域)。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域,必须先求出外
函数的定义域。特 别强调,此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域,例2(3)反映明
显。
⑵解析式求法:待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法.


2. 函数值域的求法

4



(1)、直接观察法
对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。
y?
例 求函数
1
,x?[1,2]
x
的值域
例2. 求函数
y?3?x
的值域。
解:∵
x?0

??x?0,3?x?3
故函数的值域是:
[??,3]

(2)、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2
例3. 求函数
y?x?2x?5,x?[?1,2]
的值域。
2
解:将函数配方得:
y?(x?1)?4

x?[?1,2]

由二次函数的性质可知:当x=1时,
y
mi n
?4
,当
x??1
时,
y
max
?8

故函数的值域是:[4,8]
(3)、根判别式法
对二次函数或者分式函数(分子 或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简
如:

5



b
型:直接用不等式性质
k+x
2
bx
b. y?
2
型,先化简,再用均值不等式
x?mx?n
x11
例: y???
1
2
1+x
2
x+
x
x
2
?m
?
x?n
?
c.. y?
2
型 通常用判别式
x?mx?n
x
2
?mx?n
d. y?型
x?n
法一:用判别式
a. y?
法二:用换元法,把分母替换掉
2
x
2
?x?1(x+1)?(x+1)+1 1
例:y???(x+1)??1?2?1?1
x?1x?1x?1

1?x?x
2
y?
1?x
2
的值域。 例4. 求函数
2
(y?1)x?(y?1)x?0
解:原函数化为关于x的一元二次方程
13
?y?
2
(1)当
y?1
时,
x?R

??(?1)?4(y?1)(y?1)?0
解得:
2
2
?
13
??
13
?
1?
?
,
?
,
??
(2)当y=1时,
x?0
,而
?
22
?< br> 故函数的值域为
?
22
?

4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
y?
例 求函数
3x?4
5x?6
值域。
y?
3 x?46y?4
3
?5xy?6y?3x?4?x?
y?
5x?63?5y< br>,分母不等于0,即
5

5、函数有界性法

6



直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
例. 求函数
y?
cosx
sinx?3
的值域。
2
y?1sinx(x??)?3y

ysinx?cosx?3y
解:由原函数式可得:,可化为:
sinx(x??)?

3y
y?1

x?R

sinx(x??)?[?1,1]

2
?1?
3y
y?1
2
?1

?
22
?
22
,
?
?
?
??y?
44??

?
4
故函数的值域为
?
解得:
4
6.倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
y?
例 求函数
x?2
x?3
的值域
x?2
x?3
x?2?0时,
1x?2?1
??x?2?
y
x?2
y?
x?2?0时,y =0
?0?y?
1
2
1
x?2
?2?0?y?
1< br>2

7. 函数单调性法
例. 求函数
y?x?1?x?1
的值域。
y?
解:原函数可化为:
2
x?1?x?1


y
1
?x?1,y
2
?x?1
,显然
y
1
, y
2

[1,??]
上为无上界的增函数

7



所以
y?y
1

y
2

[1,??]
上也为无上界的增函数
2
所以当x=1时,
y?y< br>1
?y
2
有最小值
2
,原函数有最大值
2
? 2

显然
y?0
,故原函数的值域为
(0,2]

7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,
例11. 求函数
y?x?x?1
的值域。
13
y?t
2
?t?1?(t?)
2
?
24
解:令
x?1?t

(t?0)

x?t?1

2

t?0
,由二次函数的性质可知 当
t?0
时,
y
min
?1

t?0
时,
y???

故函数的值域为
[1,??)

?
??
?
x??
?,
?
?
122
?
的值域。 例14. 求函数
y?(sinx?1)(cosx?1)

解:
y?(sinx?1)(co sx?1)
?sinxcosx?sinx?cosx?1

111
sinx cosx?(t
2
?1)y?(t
2
?1)?t?1?(t?1)
2
222

sinx?cosx?t
,则
?
??
?
x?
?
?,
?
?
122
?

t?sinx?cosx?2sin(x??4)

2232
3
?t?2t?y??
y
max
??2
2
时,
42

2
可得:
2
∴当
t?2
时,,当

8



?
3
?
23
?,?2
??
422
??
?
。 故所求函数的值域为
?
8. 数形结合法
22
y?x?6x?13?x?4x?5
的值域。 例17. 求函数
解:原函数可变形为:
y?(x?3)
2
?(0?2)
2< br>?(x?2)
2
?(0?1)
2

上式可看成x轴上的点P(x,0)
到两定点
A(3,2),B(?2,?1)
的距离之和,
22
y?|AB|?(3?2)?(2?1)?43

min
由图 可知当点P为线段与x轴的交点时,
故所求函数的值域为
[43,??]


10. 一一映射法
原理:因为
y?
ax?b
(c?0)cx?d
在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以
求另一个变量范围。
例21. 求函数
y?
1?3x
2x?1
的值域。
11
??
1?3x
x?
1?y
x|x??或x??
??
y?
2y?3

22
??
2x?1
得解:∵定义域为 由
x?


1?y1?y
11
33
??x???< br>y??或y??
2y?32

2y?32
解得
22

9



3
??
3
??
?
??,?
?
?
?
?,??
?
2< br>??
2
?
故函数的值域为
?
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,
首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,
一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
例. 求函数
y?
x?2
x?3
的值域。
2
解:令
t?x?2(t?0)
,则
x?3?t?1
y?
(1)当
t?0
时,
t11
??
1
t2
?1
t?
1
2
0?y?
t
2
,当且仅当t=1,即
x??1
时取等号,所以
(2)当t=0时,y=0。
?
1
?
?
0,
2
?
?
综上所述,函数的值域为:
?
注:先换元,后用不等式法


10

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