高中数学--函数定义域,值域解题方法纳

函数的三要素： 对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
1．
y
1
?
(x?3)(x?5)

x?3
y
2
?x?5
解：不是同一函数，定义域不同
2
。

y
1
?x?1x?1

y
2
?(x?1)(x?1)
解：不是同一函数，定义域不同
3
。

f(x)?x

g(x)?x
2

4．

解：不是同一函数，值域不同

f(x)?x

F(x)?
3
x
3

解：是同一函数
5．
f
1
(x)?(2x?5)
2

f
2
(x)?2x?5
解：不是同一函数，定义域、值域都不同
关于复合函数
设 f(x)=2x?3 g(x)=x
2
+2 则称 f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。
f[g(x)]=2(x
2
+2)?3=2x
2
+1
g[f(x)]=(2x?3)
2
+2=4x
2
?12x+11

例：已知：f(x)=x?x+3 求
：f(
2
1
) f(x+1)

x
111
解：f(
)=()
2
?+3
f(x+1)=(x+1)
2
?(x+1)+3=x
2
+x+3
xxx
1. 函数定义域的求法
??分式中的分母不为零；
??偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
??指数式的底数大于零且不等于一；
??对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
??正切函数
y?tanx.. .(x?R,且x?k
?
?
?
2
,k??)

?
x?R,且x?k
?
,k??
?

??余切函数
y?cotx

??反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)
[?
函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是
??
,]
22
，
函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，
(?
函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是
??
,)
22
，
函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .
注意，

1

1. 复合函数的定义域。
?
x?1?(1,3)
?
2?x?(1,3)

f(x)< br>F(x)?f(x?1)?f(2?x)
如：已知函数的定义域为（1，3），则函数的定义域。
?
2. 函数
f(x)
的定义域为
(a,b)
,函数
g(x)
的定义域为
(m,n)
,
?
g(x)?(a,b)?
x?(m,n)
，解不等式，最后结果才是
f[g(x)]
则函数的定义域为
?

3.这里最容易犯错的地方在这里：
已知函数
f(x?1)
的 定义域为(1,3),求函数
f(x)
的定义域；或者说，已知函数
f(x?1)的定义域为(3,4),
则函数
f(2x?1)
的定义域为______?
一、复合函数的构成
设
u?g(x)
是
A
到
B< br>的函数，
y?f(u)
是
B'
到
C'
上的函数，且< br>中的元素时，
B
?B'
，当
u
取遍
B
数称为 由外函数
y
取遍
C
，那么
y?f(g(x))
就是
A
到
C
上的函数。此函
y?f(x)
和内函数
u?g(x)
复合而成的复合函数。
说明：
⑴复合函数的定义域，就是复合函数
y? f(g(x))
中
x
的取值范围。
⑵
x
称为直接变量，< br>u
称为中间变量，
u
的取值范围即为
g(x)
的值域。
⑶
f(g(x))
与
g(f(x))
表示不同的复合函数。．
例2：
⑴若函数
f(x)
的定义域是[0，1]，求
f(1?2x )
的定义域；
⑵若
f(2x?1)
的定义域是[-1，1]，求函数
f(x)
的定义域；
⑶已知
f(x?3)
定义域是
?
? 4,5
?
，求
f(2x?3)
定义域．
要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．
解答：
⑴ 函数
f(1?2x)
是由A到B上的函数
u?1?2x
与B到C上的函数
y?f(u)
复合而成的函数．
?
函数
f(x)
的定义域是[0，1]， ∴B=[0,1]，即函数
u?1?2x
的值域为[0，1]．
0?x?
11
2
， ∴函数
f(1?2x)
的定义域[0，
2
]．
2
∴
0?1?2x?1
，∴
?1??2x?0
，即

⑵ 函数
f(2x?1)
是由A到B上的函数
u? 2x?1
与B到C上的函数
y?f(u)
复合而成的函数．
?
f(2x?1)
的定义域是[-1，1]， ∴A=[-1,1]，即-1
?x?1
，
∴
?3?2x?1?1
,即
u?2x?1
的值域是[-3，1]， ∴
y?f(x)
的定义域是[-3，1]．
要点2：若已知
f(x)
的定义域为
A
，则
f[g(x)]
的定义域就是不等式
g(x)? A
的
x
的集合；若已知
f[g(x)]
的定义域为
A
，则
f(x)
的定义域就是函数
g(x)

(x?A)
的值域。
⑶ 函数
f(x?3)
是由A到B上的函数< br>u?x?3
与B到C上的函数
y?f(u)
复合而成的函数．
?f(x?3)
的定义域是[-4，5), ∴A=[-4,5)即
?4?x?5< br>，∴
?1?x?3?8
即
u?x?3
的值域B=[-1，8）
又
f(2x?3)
是由
A'
到
B'
上的函数
u' ?2x?3
与B到C上的函数
y?f(u)
复合而成的函数，而
B?B',从而
u'?2x?3
的值域
B'?[?1,8)
∴
?1?2x?3?8
∴
2?2x?11,
∴
1?x?
11
2

11
∴
f(2x?3)
的定义域是[1，
2
）．
例4：已知函数
f(x)?
求
f(x)
的值域。
分析：令
u(x)?
x?1?x
,
(x?1)

x?1
，
(x?1)
；
2
g(u)?u?u?1
，
(u?0)
则有
22
f(x)
g(u)?u?u?1g(u)?u?u?1
，
(u?0)< br>的值域即
u(x)?x?1
复合函数是由与复合而成，而
f(x)
的值 域，但
g(u)?u
2
?u?1
的本身定义域为
R
,其值域 则不等于复合函数
f(x)
的值域了。
2．求有关复合函数的解析式，
2
f(x)?x?1,
求
f(x?1)
； 例6．①已知
2
f(x?1)?(x?1)?1
，求
f(x)
． ②已知
f(x?1)?x?
例7．①已知
1
x
，求
f(x)
；
11
f(x?)?x
2
?
2x
x
，求
f(x?1)
． ②已知
要点3：

3

已知
已知
f(x)
求复合 函数
f[g(x)]
的解析式，直接把
f(x)
中的
x
换成
g(x)
即可。
f[g(x)]
求
f(x)
的常用方法有：配凑法和换元法。
f[ g(x)]
中把关于变量
x
的表达式先凑成
g(x)
整体的表达式， 再直接把
g(x)
换成
x
而得配凑法就是在
f(x)
。 < br>换元法就是先设
去
x
得到
g(x)?t
，从中解出
x
（即用
t
表示
x
），再把
x
（关于
t的式子）直接代入
f[g(x)]
中消
f(t)
，最后把
f(t )
中的
t
直接换成
x
即得
f(x)
，这种代换遵循 了同一函数的原则。
例8．①已知
f(x)
是一次函数，满足
3f(x?1 )?2f(x?1)?2x?17
，求
f(x)
；
1
3f(x)?2f()?4x
x
②已知，求
f(x)
．
要点4：
⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。
⑵ 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知
f(x)
满足某个等式，
1
f()
f(x)
是未知量外，还出现其他未知量，如f(?x)
、
x
等，必须根据已知等式再构造出其他等这个等式除
式组成 方程组，通过解方程组求出

三、总结：
１．复合函数的构成；
设函数
f(x)
。
y?f(u)
，
u?g(x)
，则我们称
y?f(g(x))
是由外函数
y?f(u)
和内函数
u ?g(x)
复合而
成的复合函数。其中
x
被称为直接变量，
u
被称为中间变量。复合函数中直接变量
x
的取值范围叫做复合函数的
定义域，中间变 量
u
的取值范围，即是
g(x)
的值域，是外函数
y?f(u)的定义域。
２．有关复合函数的定义域求法及解析式求法：
⑴定义域求法：
求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由
的值域范围（由
a
a?g(x)?b
解
x
）；求外函数的定义域只要求中间变量
?x?b
求
g( x)
的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外
函数的定义域。特 别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例2（3）反映明
显。
⑵解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法．


2. 函数值域的求法

4

（1）、直接观察法
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。
y?
例 求函数
1
,x?[1,2]
x
的值域
例2. 求函数
y?3?x
的值域。
解：∵
x?0

??x?0,3?x?3
故函数的值域是：
[??,3]

（2）、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2
例3. 求函数
y?x?2x?5,x?[?1,2]
的值域。
2
解：将函数配方得：
y?(x?1)?4
∵
x?[?1,2]

由二次函数的性质可知：当x=1时，
y
mi n
?4
，当
x??1
时，
y
max
?8

故函数的值域是：[4，8]
（3）、根判别式法
对二次函数或者分式函数（分子 或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简
如:

5

b
型：直接用不等式性质
k+x
2
bx
b. y?
2
型,先化简，再用均值不等式
x?mx?n
x11
例： y???
1
2
1+x
2
x+
x
x
2
?m
?
x?n
?
c.. y?
2
型 通常用判别式
x?mx?n
x
2
?mx?n
d. y?型
x?n
法一：用判别式
a. y?
法二：用换元法，把分母替换掉
2
x
2
?x?1（x+1）?（x+1）+1 1
例：y???（x+1）??1?2?1?1
x?1x?1x?1

1?x?x
2
y?
1?x
2
的值域。 例4. 求函数
2
(y?1)x?(y?1)x?0
解：原函数化为关于x的一元二次方程
13
?y?
2
（1）当
y?1
时，
x?R

??(?1)?4(y?1)(y?1)?0
解得：
2
2
?
13
??
13
?
1?
?
,
?
,
??
（2）当y=1时，
x?0
，而
?
22
?< br> 故函数的值域为
?
22
?

4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
y?
例 求函数
3x?4
5x?6
值域。
y?
3 x?46y?4
3
?5xy?6y?3x?4?x?
y?
5x?63?5y< br>,分母不等于0,即
5

5、函数有界性法

6

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例. 求函数
y?
cosx
sinx?3
的值域。
2
y?1sinx(x??)?3y

ysinx?cosx?3y
解：由原函数式可得：，可化为：
sinx(x??)?
即
3y
y?1
∵
x?R
∴
sinx(x??)?[?1,1]
即
2
?1?
3y
y?1
2
?1

?
22
?
22
,
?
?
?
??y?
44??

?
4
故函数的值域为
?
解得：
4
6.倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
y?
例 求函数
x?2
x?3
的值域
x?2
x?3
x?2?0时，
1x?2?1
??x?2?
y
x?2
y?
x?2?0时，y =0
?0?y?
1
2
1
x?2
?2?0?y?
1< br>2

7. 函数单调性法
例. 求函数
y?x?1?x?1
的值域。
y?
解：原函数可化为：
2
x?1?x?1

令
y
1
?x?1,y
2
?x?1
，显然
y
1
, y
2
在
[1,??]
上为无上界的增函数

7

所以
y?y
1
，
y
2
在
[1,??]
上也为无上界的增函数
2
所以当x=1时，
y?y< br>1
?y
2
有最小值
2
，原函数有最大值
2
? 2

显然
y?0
，故原函数的值域为
(0,2]

7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，
例11. 求函数
y?x?x?1
的值域。
13
y?t
2
?t?1?(t?)
2
?
24
解：令
x?1?t
，
(t?0)
则
x?t?1
∵
2
又
t?0
，由二次函数的性质可知 当
t?0
时，
y
min
?1
当
t?0
时，
y???

故函数的值域为
[1,??)

?
??
?
x??
?,
?
?
122
?
的值域。 例14. 求函数
y?(sinx?1)(cosx?1)
，
解：
y?(sinx?1)(co sx?1)
?sinxcosx?sinx?cosx?1

111
sinx cosx?(t
2
?1)y?(t
2
?1)?t?1?(t?1)
2
222
令
sinx?cosx?t
，则
?
??
?
x?
?
?,
?
?
122
?
由
t?sinx?cosx?2sin(x??4)
且
2232
3
?t?2t?y??
y
max
??2
2
时，
42

2
可得：
2
∴当
t?2
时，，当

8

?
3
?
23
?,?2
??
422
??
?
。 故所求函数的值域为
?
8. 数形结合法
22
y?x?6x?13?x?4x?5
的值域。 例17. 求函数
解：原函数可变形为：
y?(x?3)
2
?(0?2)
2< br>?(x?2)
2
?(0?1)
2

上式可看成x轴上的点P(x,0)
到两定点
A(3,2),B(?2,?1)
的距离之和，
22
y?|AB|?(3?2)?(2?1)?43
，
min
由图 可知当点P为线段与x轴的交点时，
故所求函数的值域为
[43,??]


10. 一一映射法
原理：因为
y?
ax?b
(c?0)cx?d
在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以
求另一个变量范围。
例21. 求函数
y?
1?3x
2x?1
的值域。
11
??
1?3x
x?
1?y
x|x??或x??
??
y?
2y?3

22
??
2x?1
得解：∵定义域为 由
x?
故

1?y1?y
11
33
??x???< br>y??或y??
2y?32
或
2y?32
解得
22

9

3
??
3
??
?
??,?
?
?
?
?,??
?
2< br>??
2
?
故函数的值域为
?
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，
首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
例. 求函数
y?
x?2
x?3
的值域。
2
解：令
t?x?2(t?0)
，则
x?3?t?1
y?
（1）当
t?0
时，
t11
??
1
t2
?1
t?
1
2
0?y?
t
2
，当且仅当t=1，即
x??1
时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
?
1
?
?
0,
2
?
?
综上所述，函数的值域为：
?
注：先换元，后用不等式法


10