高考数学函数的基本性质

第二节 函数的基本性质

高考试题

考点一 函数的单调性

1.(2012年山东卷,理3)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=a 在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x在R上
是增函数”的( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

解析:若函数f(x)=a在R上为减函数,则有00,所以a<2,
x3
所以“函数 f(x)=a在R上为减函数”是“函数g(x)=(2-a)x在R上是增函数”的充分不必要条件.故选A.

答案:A

2.(2012年广东卷,理4)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )

(A)y=ln(x+2) (B)y=-
x?1

(C)y=(
1
x
)
2
x3
x3
(D)y=x+
1
x

1
x
)
2
解析:函 数y=ln(x+2)在区间(0,+∞)上为增函数;函数y=-
x?1
在区间(0,+∞) 上为减函数;函数y=(
在区间(0,+∞)上为减函数;函数y=x+
答案:A
< br>3.(2011年重庆卷,理5)下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|,在其上为增函数的是 ( )

(A)(-∞,1]
(C)[0,
3
)
2
1
在区间(0,+∞)上为先减后增函数.故选A.

x
(B)[-1,
4
]

3
(D)[1,2)

??
?
ln
?
2? x
?
,1?x?2,
解析:法一 由题知,f(x)=
?

?
?
ln
?
2?x
?
,x?1.
由复合函数的单调性可知,函数f(x)在[1,2)递增,在(-∞,1)递减.故选D.

法二 用图象法解决,将y=ln x的图象关于y轴对称得到y=ln(-x)的图象,再向右平移两 个单位,得到
y=ln(-(x-2))的图象,将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来,即得到f( x)=|ln(2-x)|的图象.由图象,选
项中f(x)是增函数的显然只有D.

答案:D

4.(2010年安徽卷,理9)动点A(x,y)在圆x+y=1上绕坐 标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知
时间t=0时,点A的坐标是(
增区间是 ( )

(A)[0,1] (B)[1,7]

(C)[7,12] (D)[0,1]和[7,12]

解析:如图所示,数形结合.由题意知T=12秒,则动点A转过30°圆心角用时1秒,

又t=0时A(
1
3
,),∴∠AOD=60°,

22
1
3
,),则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数 的单调递
2
2
22
由图形看出,由A到B与由C到A时,y为t的增函数,< br>
∴所求单调增区间为[0,1]和[7,12].故选D.

答案:D

xx
5.(2011年上海卷,理20)已知函数f( x)=a·2+b·3,其中常数a,b满足ab≠0.

(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;

(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.

解:(1)当a>0,b>0时,任意x
1
,x
2
∈R,

令x
1
2
,则

f(x
1
) -f(x
2
)=a(
2
x
-
2
x
)+b(
3
x
1
-
3
x
2
),

12
∵
2
x
<
2
x
,a>0?a(
2x
-
2
x
)<0,

1212
3
x< br>1
<
3
x
2
,b>0?b(
3
x
1
-
3
x
2
)<0,

∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,函数f(x)在R上是增函数.

当a<0,b<0时,同理,函数f(x)在R上是减函数.

(2)f(x+1)-f(x)=a·2+2b·3>0,

xx
当a<0, b>0时,(
当a>0,b<0时,(
3
x
aa
)>-,则x>lo g
1.5
(-);

22b2b
3
x
aa
) <-,则x1.5
(-).

22b2b
3x2
考点二 函数的奇偶性

1.(2013年广东卷,理2)定义域为R的四个函数y=x,y=2,y=x+1,y=2sin x中,奇函数的个数是( )

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

333
解析:因f(-x)=(-x)=-x=-f(x),所以y=x是 奇函数,f(-x)=2sin (-x)=-2sin x=-f(x),

所以y=2sin x是奇函数,

x2
由函数性质知y=2是非奇非偶函数 ,y=x+1是偶函数,所以奇函数的个数是2,故选C.

答案:C

2. (2011年广东卷,理4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )

(A)f(x)+|g(x)|是偶函数 (B)f(x)-|g(x)|是奇函数

(C)|f(x)|+g(x)是偶函数 (D)|f(x)|-g(x)是奇函数

解析:设h(x)=f(x)+|g(x)|,

∴h(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=h(x).

所以h(x)是偶函数.故选A.

答案:A

3.(2013年山 东卷,理3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x+
(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2

2
2
1
,则f(-1)等于( )

x
解析:因为x>0时,f(x)=x+
所以f(1)=1+1=2.

又f(x)为奇函数,

1
,

x
所以f(-1)=-f(1)=-2.故选A.

答案:A
4.(2011年安徽卷,理3)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x-x,则 f(1)等于( )

(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3

2
解析:f(1)=-f(-1)=-[2(-1)-(-1)]=-3.故选A.

2

答案:A

5.(2011年福建卷,理9)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c ∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)
和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )

(A)4和6 (B)3和1

(C)2和4 (D)1和2

解析:令g(x)=asin x+bx,

则g(x)是奇函数,它有对称中心(0,0),

所以f(x)以(0,c)为对称中心,

即
f
?
1
?
?f
?
?1
?
2
=c∈Z,

即f(1)+f(-1)=2c是偶数.故选D.

答案:D

6. (2010年新课标全国卷,理8)设偶函数f(x)满足f(x)=x-8(x≥0),则{x|f(x-2) >0}等于( )

(A){x|x<-2或x>4} (B){x|x<0或x>4}

3
(C){x|x<0或x>6} (D){x|x<-2或x>2}

解析:根据f(x)=x-8(x≥0)可以画出如图(1 )的图象,又因为f(x)为偶函数可得图(2),y=f(x)向右平移2个
单位可得y=f(x-2 )的图象,如图(3),由图(3)易知f(x-2)>0时,可得x<0或x>4,故选B.

3

答案:B

7.(2009年全国卷Ⅰ,理11)函数f(x) 的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则( )

(A)f(x)是偶函数
(C)f(x)=f(x+2)
(B)f(x)是奇函数

(D)f(x+3)是奇函数

解析:∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,

∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),

∴函数f (x)关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数 .

∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),

即f(-x+3)=-f(x+3),

故f(x+3)是奇函数.故选D.

答案:D

2
8.(2012年上海卷,理9)已知y=f(x)+x是奇函 数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= .
解析:设h(x)=f(x)+x,据题意知,h(-x)+h(x)=0,

2
即f(-x)+f(x)=-2x,

2

所以f(-1)+f(1)=-2,

又f(1)=1,所以f(-1)=-3,

因此g(-1)=f(-1)+2=-1.

答案:-1

9.(2011年浙江卷,理11)若函数f(x)=x-|x+a|为偶函数,则实数a= .
2
解析:法一 ∵f(x)=x-|x+a|为偶函数,

∴f(-x)=f(x).

22
∴(-x)-|-x+a|=x-|x+a|对x∈R恒成立,

∴|a-x|=|a+x|对x∈R恒成立,∴a=0.

法二 由于f(x)是偶函数,

所以必有f(-1)=f(1),

2

即1-|a-1|=1-|a+1|,

所以|a-1|=|a+1|,两边平方可求得a=0,即实数a=0.

答案:0

考点三 函数的周期性

1.(2011年大纲全国卷 ,理9)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(-
于( )

(A)-
5
)等
2
1

2
(B)-
1

4
(C)
1

4
(D)
1
2

解析:∵f(-
5511
)=f(-+2)=f(-)=-f()

2222
=-2×
=-
11
×(1-)

22
1
.故选A.

2
3
答案:A
2.(2011年山东卷,理10)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f (x)=x-x,则函数
y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

3
解析:当x∈[0,2)时,令f(x)=x-x=0,

即x(x-1)=0,

∴x
1
=0,x
2
=1.

2
∵T=2,

∴f(0)=f(0+2)=f(0+4)=f(0+6)=0.

f(1)=f(1+2)=f(1+4)=0,

即在区间[0,6]上函数图象与x轴的交点共7个.故选B.

答案:B

3.(2012年重庆卷,理7)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为 [0,1]上的增函数”是
“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )

(A)既不充分也不必要的条件

(B)充分而不必要的条件

(C)必要而不充分的条件
(D)充要条件

解析:法一 根据函数的性质,当f(x)在[0,1]上递增时,可得f(x)的图象如下:



由图象知f(x)在[0,1]上递增时,f(x)在[3,4]上递减,反之当f(x)在[3,4] 上递减时,f(x)在[0,1]上递增.

法二 因f(x)在[0,1]递增,f(x) 是偶函数,故f(x)在[-1,0]上递减,任取x
1
、x
2
∈[-1,0 ]且x
1
2
,则
f(x
1
)>f(x
2
),又f(x)的周期是2,故f(x
1
+4)>f(x
2
+4) 且x
1
+4,x
2
+4∈[3,4],所以f(x)在[3,4]上递减,同 理可
得,f(x)在[3,4]上递减时,f(x)在[-1,0]上递减,故f(x)在[0,1]上 递增.

答案:D

4.(2013年江苏卷,1)函数y=3sin(2x +
解析:T=
2π
=π.

2
π
)的最小正周期为 .
4

答案:π

?
ax?1,?1?x ?0,
?
5.(2012年江苏卷,10)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间 [-1,1]上,f(x)=
?
bx?2
其
,0?x?1,
?
?
x?1
中a,b∈R.若f(
解析:由题意f(
13
)=f（） ,则a+3b的值为 .
22
131
)=f()=f(-),

222

b
?2
1
2
所以=-a+1,

3
2
2
∴
3
a+b=-1①

2
又f(-1)=f(1),∴b=-2a,②

解①②得a=2,b=-4,

∴a+3b=-10.

答案:-10

6.(2010年重庆卷,理15)已知函数f(x)满足:f(1)=
f(2010)= .
1
,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则
4< br>
1
.

2
解析:取x=1,y=0得f(0)=
取 x=n,y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),

同理f(n+1)=f(n+2)+f(n),

联立得f(n+2)= -f(n-1) ,所以T=6 ,

故f(2010)=f(0)=
答案:
1
2
1
.

2

模拟试题

考点一 函数的单调性

1. (2012辽宁协作体模拟)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(- ∞,1]上为增函
数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x) g(x)≥0}等于( )

(A){x|x≤0或1≤x≤4} (B){x|0≤x≤4}

(C){x|x≤4} (D){x|0≤x≤1或x≥4}

解析:画出函数f(x)和g(x)的草图如图所示,


由图可知当f(x)g(x)≥0时,

x的取值范围是x≤0或1≤x≤4,

即{x|f(x)g(x)≥0}={x|x≤0或1≤x≤4}.故选A.

答案:A

2.(2013重庆高三(上)期末测试)“函数g(x)=(2-a)< br>x
在区间(0,+∞)上是增函数”的充分不必要条件是
a∈ .
个子集即可.

答案:(-∞,t)(t<2)


解 析:由于
x
在(0,+∞)上是增函数,故需要2-a>0,即a<2,而要求充分不必要条件 ,则填集合(-∞,2)的一
考点二 函数的奇偶性

?
1?2
?x
?
x?0
?
,
?
1.(2012广东佛山模拟)已知函 数f(x)=
?
x
则该函数是( )

2?1x?0,
??
?
?
(A)偶函数,且单调递增
(C)奇函数,且单调递增
-x
(B)偶函数,且单调递减

(D)奇函数,且单调递减

-xx
解析:当x>0时,f(x)=1-2, 这时-x<0,所以f(-x)=2-1,于是f(-x)=-f(x);当x<0时,f(x)=2-1,这时 -x>0,
x-x
所以f(-x)=1-2,于是也有f(-x)=-f(x).又f(0)= 0,故函数f(x)是一个奇函数;又因为当x>0时,f(x)=1-2
单调递增,当x<0时,f( x)=2-1也单调递增,所以f(x)单调递增.故选C.

答案:C

x
2.(2011浙江省“百校联盟”交流联考卷)定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f( x)=2010+log
2010
x,则
在R上方程f(x)=0的实根个数为( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

x
解析:因为f( x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.当x>0时,函数y=2010与函数y=-log
2010
x有一个交点,知
2010+log
2010
x=0有唯一的实根.由奇函数 性质知,当x<0时,也有唯一一个根使f(x)=0,所以f(x)=0在R上
有3个实数根.

答案:C

x
x
考点三 函数基本性质的综合应用

?
1?5
?x
,x?0,
?
1.(2013浙江宁波高三第 一学期期末)函数f(x)=
?
x
则该函数为( )

?
5?1,x?0,
?
(A)单调递增函数,奇函数 (B)单调递增函数,偶函数

(C)单调递减函数,奇函数 (D)单调递减函数,偶函数

-xx
解析:当x>0时,-x<0,则f(-x)= 5-1=-f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=1-5=-f(x),又f(0)=0,所以函数 f(x)
为奇函数,易知函数在(0,+∞)递增,故函数在定义域内递增.故选A.

答案:A

2.(2012浙江台州模拟)函数y=f(x-1)为奇函数,y=f( x+1)为偶函数(定义域均为R).若0≤x<1时,f(x)=2,
则f(10)= .

解析:依题意得f(-x-1)=-f(x-1),

f(-x+1)=f(x+1),

所以f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),

故函数周期为8.

f(10)=f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=1.

答案:1

x
综合检测
1.(2013重庆一中第一次摸底)已知 定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,f(x+2)=
则f(2011)等于( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:由f(x+2)=
1对任意x∈R恒成立,
f
?
x
?
11
,得f(-1+2 )=,

f
?
x
?
f
?
?1
?< /p>

即f(1)f(-1)=1,

而f(1)=1,故f(-1)=1,

且f(x+4)=
1
=f(x),

f
?
x?2< br>?
∴f(2011)=f(503×4-1)=f(-1)=1.故选A.

答案:A

2.(2012茂名二模)已知减函数f(x)的定义域是R,m,n∈R ,如果不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么在
下列给出的四个不等式中,正 确的是( )

(A)m+n<0 (B)m+n>0

(C)m-n<0 (D)m-n>0

解析:将f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)变形为f(m)+ f(-n)>f(-m)+f(n),当mf(n)且
f(-n) >f(-m),反之亦成立.故选C.

答案:C

3.(2012琼海一模 )已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a-a+2(a>0且a≠1) ,若
g(2)=a,则f(2)等于( )

(A)2 (B)
x-x
1715
(C)
44
(D)a

2
解析:由题意得

f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)=a-a+2,

x-x
联立f(x)+g(x)=a-a+2,

-xx
求解得g(x)=2,f(x)=a-a.

x-x
故a=2,f(2)=2-2=4-
答案:C

2-2
115
=.故选C.

44