高中数学必修一 函数的应用举例

函数的应用举例

教学目标：
1. 在初中基础上,进一步通过建立函数模型以及运用模型解决问题，体会函数
的广泛应用及运用方法。 < br>2.通过思考、交流、合作等探究过程，培养学生的探索精神和创新意识，养成
良好的学习习惯。
3.学会使用信息技术工具如计算器,计算机,来计算、整理、表达信息。
重点: 数学建模的方法.
难点: 根据实际问题合理的选择数学模型和科学评价模型优劣．
教学过程：
（一） 引入：
［师］数学来自生活，又应用于生活和生产实践．如刚 刚学过的函数内容
在实际生活中就有着广泛的应用．从初中到高中目前已经学习过的函数：（要
求学生在课前作系统地归纳整理），在解决实际问题过程中常用到函数的知识
有：函数的概念，函数解析 式的确定，函数图像性质；常用到几类重要的函数：
一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数 函数等，今天举例说明函
数的应用.


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初高中衔接：
“能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学 教学大纲
规定的初中数学教学目的之一。学生通过初中的学习基本具备这种能力，这也
是中考中 考核的最重要的知识点之一。
【2008年中考26题】：随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展， 对花木的需
求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，
种植 树木的利润
y
1
与投资量
x
成正比例关系，如图-①所示；种植花卉 的利润
y
2
与
投资量
x
成二次函数关系，如图- ②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1） 分别求出利润关于投资量的函数关系式
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？
他能获取的最大利润是 多少？



图-① 图-②
（在初中，关于函数的应用已经非常重视，一般函数关系具体（如本题中已明
确是正比例关系、 二次函数关系），且有图形提供数据，学生只需用待定系数
法确定各函数中的常数，即可获得函数关系， 再将其化为常规的函数问题解决。
到高中，思维层次上升，对函数应用提出更高的要求。
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(二)新课:
以下是对某一地区不同身高的未成年男性的体重平均值调查统计表：
身高
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
(cm)
体重
6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(kg)
问题：据医学测 定，如果体重超过相同身高男性平均值的1.2倍属偏胖，低于
相同身高男性平均值的0.8倍属偏瘦。 现在某地区某中学有一男生，其身高
175cm，体重为75kg,试问他的体重是否正常？
1、引导分析：
启发（1）：表中身高栏中没有175 cm这个数值，对应的体重只有靠推测，
依据统计表，是否可以找到身高与体重的关系呢？
启 发（2）：根据身高与体重的数对关系，假设身高用
x
来表示，体重用
y
来< br>表示，那么
x
、
y
之间有什么函数关系呢？
以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中，描出各点，设 A（60，
6.13）、B （70，7.90）、C（80，9.99）、D（90，12.15）、E（100，15.02）、
F（110，17.50）、G（120，20.92）、H（130，26.86）、I（140，31.11 ）、J
（150，38.85）、K（160，47.253）、L（170，55.05）
（观察连线接近的函数图象，猜想应当选择哪种函数关系式；然后用待定系数
法确定函数中的常数，找出 与之接近的模拟函数）
2、讨论模型：（备好坐标纸，学生两两合作，描点，成图，猜想函数模型），
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学生操作后易发现（推选代表发言）：
猜想模拟函数：（1）二次函数型：
（2）指数函数型：
两种意见的同学分别用待定系数法确定所选函数式中的待系数，
（学生继续两两合作，代值，计算（用计算器），求解）
猜想1：二次函数型，设函数关系为
y?ax
2
?bx?c
，
（因时间限制，统一选择点A（60，6.13）, C (80,9.99), E (100,15.02)
?
6.13?a?60
2
?b?60?c
?
a?0.00146
?
??
2
9.99?a?80?b?80?c ?
??
b??0.01175
坐标代入得:
?

?< br>c?1.579
2
?
?
15.02?a?100?b?100?c?
近似函数关系式为:
y?0.00146x
2
?0.01175x?1.579

猜想2:指数函数型：设函数关系为
y?a?b
x
,
（因时间限制，统一选择点B（70，7.90）, L (170,55.05)坐标代入,得: < br>70
?
7.90?a?b
?
a?2
?
?
??
x
170
y?2?1.02
近似函数关系式为:
b?1.0 2
?
?
?
55.05?a?b
3、评价模型优劣：
记二次函数型:
g(x)?0.00146x
2
?0.01175x?1.579

记指数函数型:
f(x)?2?1.02
x

将H（130，26.86）, J（150，38.85）,K（160，47.253）分别代入
f(x)
、
g(x)
中，计算并比较误差：
得到(1):
f(130)?26.2
误差:-0.66
g(130)?24.7
误差:-2.16
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(2)：
f(150)?39.0
误差:0.15
g(150)?32.7
误差:-6.15
（3）：
f(160)?47.5
误差:0.25
g(160)?37.1
误差:-10.15
引导学生 分析上述两个模型的优劣,结合模拟函数图象与散点图切合的情
况（电脑制作）和计算的结果误差情况, 指出从形的角度考虑，要求剩余点较少，
从数的角度考虑，要求计算的误差要小,这样选出的函数才比较 接近实际情况.
比较后得出：用指数函数型:
y?2?1.02
x
拟合较符合实际。
把
x
=175代入得:
y?63.98
即身高175 cm的男性体重平均值
63.98
kg
77?63.98?1.22?1.2

结论：这名男生体形偏胖。
问题：已知姚明的身高为226cm,体重为125kg,他的体重是否正常？
把
x
=226代入得:
y?175.66
，即相同身高226cm男性平均值为
175.66
kg
125?175.66?0.71?0.8

结论：姚明的体形偏瘦。
（同 学们课外可以算算自己体形是否标准）提高学生学习数学的兴趣，感受数
学的无限美妙！学以致用！
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4、小结：
函数拟合是各种实验和统计问题有关量 的多次观测值的常用处理方法，收集一
些社会生活中普遍使用的函数模型（一次函数、二次函数、指数函 数、对数函
数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。如：
施肥问题优化策略、刀具磨损问题、钓鱼问题
网络报导：《关于第六次人类教育革命与未来教育技术的预测和猜想》 、
《利用对数函数回 归债券收益率曲线》、《一次函数温室营养液循环检测系统
中离子选择电极的数学建模与测量》、《二次 曲线拟合在比色分析中的应
用 》??
归纳：函数拟合过程的一般步骤：
⑴、根据表格中的数据描点画出图象，该图象就叫做散点图；
⑵、根据散点的分布猜想应当选择哪种函数关系式；
⑶、用待定系数法确定所选函数式中的待定系数,求出函数表达式；
⑷、用求出的函数表达式解决实际问题。
5、练习：
1、某工厂今年1月、2月、 3月生产的某产品数分别为1万件、1.2万件、1.3
万件,为了估测以后各月的产量,可用一个函数 模拟此产品月产量y与月
份数x的关系.模拟函数可选用二次函数或函数g(x)=a·b
x< br>+c(a,b,c为常
数).若4月份该产品产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作为模拟 函
数较好?并求出该模拟函数.
分析：设出二次函数的解析式，再用待定系数法求出函数解析 式，比较x=4时，
哪个函数值较接近1.37.
解：设
y
1
?f (x)?px
2
?qx?r(p?0)

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< br>?
p?q?r?1
?
p??0.05
??
则：
?4p?2q?r?1.2,?
?
q?0.35

?
9p?3q? r?1.3
?
r?0.7
??
∴f(4)=-0.05×4
2
+0.35×4+0.7=1.3
再设
y
2
?g(x)?ab
x
?c

?< br>ab?c?1
?
a??0.8
?
?
则
?
ab
2
?c?1.2?
?
b?0.5

?
3
?
c?1.4
ab?c?1.3
?
?
∴
g(x)
=- 0.8×0.5
x
+1.4,
∴
g(4)
=-0.8×0.5
4
+1.4=1.35
∵1.35与1.37较接近，
∴用
y??0.8?0.5
x
?1
作为模拟函数较好.
2 、某厂从2004年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成
本不断降低，具体数据如 下表：
年度
投入技改资金z(万元)
产品成本(万元／件)
2004
2.5
7.2
2005
3
6
2006
4
4.5
2007
4.5
4
(1)分析表中数据 ，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪
种函数能表示其变化规律，说明确定这种函 数的理由，并求出它的解析式；
(2)按照这种变化规律，若2006年已投人技改资金5万元．
①预计生产成本每件比2007年降低多少万元?
②如果打算在2008年把每件产品成本降 低到3.2万元，则还需投入技改资金
多少万元（结果精确到0.01万元)?
(1)解：设其为一次函数，解析式为
y?kx?b

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当
x?2.5
时，
y?7.2
； 当
x
=3时，
y?
6．
?
7.2?2.5k?b

?
?
6?3k?b
解得
k??2.4
，
b?13. 2

∴一次函数解析式为
y??2.4x?13.2

把
x?4
时，代入此函数解析式，
y?3.6
误差：-0.9
同理．二次函数时误差 也太大。
设其为反比例函数．解析式为
y?
, 当
x?2.5
时，
y?7.2
，可得
7.2?
∴反比例函数 是
y?
k
x
k
解得
k?18

2.51818
。验证：当
x
=3时，
y?
?6
，符合反比例 函数。
x3
同理可验证
x?
4时，
y?4.5
，
x?4.5
时，
y?4
成立。
可用反比例函数
y?
18
表示其变化规律。
x
(2)解： ①当
x?
5万元时，，
y?3.6
。
4?3.6?0.4
（ 万元），
∴生产成本每件比2007年降低0．4万元。
②当
y?3.2
时，
3.2?
18
。
x
∴
x?5.625
∴
5.625?5?0.625?0.63
（万元）
∴还约需投入0.63万元．
6、（理论上升）小结：
数学建模是对科学技 术领域、经济管理、生产实际等现实生活中所遇到的
实际问题，利用数学的思想、方法、知识解决的过程 ，主要程序如下所示：
实际问题

数学模型


实际问题的解





数学模型的解
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