高中数学-基本初等函数

函数的基本及性质

教


情



分



析


三维目
标及处
理方法



教学重
点及处
理方法
教学难
点及处
理方法

知识与能力目标
理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。
过程与方法目标
通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合 的数学思想方法，
培养学生发现、分析、解决问题的能力。
情感态度价值观目标
学 习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨
的科学态度 。
1、重点：指数函数，对数函数定义，图像，性质。
2、处理方法：做好笔记，谨记步骤，强化练习，巩固基础。
1、难点指数函数，对数函数定义，图像，性质。
2、处理方法：经典例题解析，让学生深刻体会正确方法的简便性，加深印象。
学
情
分
析

1

教学过程：
【基础知识回顾】

（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念
一般地，如果
x?a
，那么
x
叫 做
a
的
n
次方根，其中
n
>1，且
n
∈< br>N
*
．当
n
是奇数时，正数的
n
次
方根是一 个正数，负数的
n
次方根是一个负数．此时，
a
的
n
次方根 用符号
这里
n
叫做根指数，
a
叫做被开方数．
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
0?0
．
2．分数指数幂


正数的分数指数幂的意义
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
m
n
n
n
n
a
表示． 式子
n
a
叫做根式，
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*< br>,n?1)

m
n
a
?
?
1
am
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)

3．无理指数幂
指出：一般地，无理数指数幂
a
(
a?
0,
?
是无理数)
是一个确定的实数．有理数指数 幂的运算性质同样
?
适用于无理数指数幂．
4.有理指数幂的运算性质
（1）
a
·
a?a
r
rr?s


(a?0,r,s?Q)
；
rsrs
(a)?a
（2）
(a?0,r,s?Q)
；
(a?0,b?0,r?Q)
．

rrs
(ab)?aa
（3）


2

两个重要对数：
（二）指数函数的概念


x
为底的对数① 常用对数：以10；
y?a(a?0,且a?1)
一般地 ，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
lgN
② 自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
．
注意： 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；
2． 对数式与指数式的互化
指数函数的图象和性质
log
a
N?x
y


?

a
x
?N

y

对数底数 ←
a
→ 幂底数
y=1
对数
(0,1)
←
x
→ 指数
真数 ←
x

N
→ 幂


(0,1)
x
y=1

3．
定义域
对数的性质
_________________ _________________

1）对数基本特点：
值域 _________________ _________________

（1）负数和零没有对数；
单调性 _________________ _________________
log
a
1?0

（2）1的对数是零：；
过定点 _________________ _________________

3）底数的对数是1：
log
a
a?1
；





（
log
a
N
练习：
?N
； （4）对数恒等式：
a
n
函数y=－e
x
loga
的图象（
?n
）
a
（5）．
A.与y=e
x
的图象关于y轴对称
（2）对数的运算性质：
－x
的图象关于y轴对称 C.与
a
y=e
?0,a?1,N?0,M?0
有 如果


B.与y=e
x
的图象关于坐标原点对称
D.与y=e
－x
的图象关于坐标原点对称

（三）对数的概念及运算性质

log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N

M
?log
a
M?log
a
N
N
1．对数的概念

m
log
a
n
M
m
?< br>x
log
a
M
xa
N
a
?
N
(a
一般地，如果
n

?0,a?1)
，那么数
叫做以 为底的对数，记作：
x
?log
a
N

log
a



a
— 底数，
N
— 真数，
log
a
N
— 对数式
a
x
?
N
?log
N
?
x

a
3

（3）对数换底公式：
log
a
N?< br>log
m
N
log
m
a

( a?0 ,a?1，m?0 ,m?1,N?0)

（4）两个常用的推论:
①
log
a
b?log
b
a?1
，
l og
a
b?log
b
c?log
c
a?1

②

log
a
m
b
n
?
nlog
a
b
（a, b?0且均不为1）
m

（四）对数函数的概念及性质


1．定义：函数
y?loga
x(a?0
，且
a?1)
叫做对数函数,其中
x
是自 变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， 注意辨别．如：
y
?2log
2
x
，
y?log
5
x
都
5
不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
2 对数函数对底数的限制：○
(a?0
，且
a?1)
．

练习：1．如图，曲线是对数函数
的 值依次为( )．
的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线

A．




B． C． D．

4

2、对数函数的图象和性质
?

?

如果
?
<0，则幂函数的图像过点（1，1），并在(0，+∞)为减函数。
当
?
为奇数时，幂函数为奇函数，
a>1
练习：
1、下列函数中式幂函数的有
0?5
4
4
y? x
y?x
y?(x?1)
（5）
y?2x
（2）
y?3 （3）
图象
（1） （4）
2
x
2、比较下列各组数中两个值的大小：
（1）
2.5

1.5
，
3.1
1.5
0.7
?
?
（2），
?3

0.7
?1
?

1
0.26
0.27
（3），
定义域：（0，+∞）
【例题讲解】

R 值域：
1、已知f（x）=ax，g（x）=－logb x，且lga+lgb=0，a≠1，b≠1，则y=f（x）与y=g（x）的 图象
y?0
过点（1，0），即当
x?1
时，
性质
A.关于直线x+y=0对称 B.关于直线x－y=0对称
C.关于y轴对称
x?(0,1)
时
y?0


x?(0,1)
时
y?0

D.关于原点对称
2.函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a，则a的值为
x?(1,??)
时
y?0

x?(1,??)
时
y?0


11
A.
4
B.
2

在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
C.2 D.4

(五）幂函数
3.
?
y?x
1、幂函数的定义 ：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数 。

?
?
x
，+∞)都有定义，并且函数都通过点（1，1） 所有幂函数在
?
2
(0
(x?0)
5?26?5?26
=__________.
?
log(?x) (?2?x?0)
4、已知函数f(x)=
?2
.则f-－1(x－1)=_________.


如果
?
>0，则幂函数的图像过点（0，0），并在(0，+∞)为增函数。
5

5、已知a=0.80.7,b=0.80.9,C=1.20.8, 则a,b,c的大小关系为__________________.

6. 已知
x?x
?1
?3
，则
x?x
值为（ ）
3
2
?
3
2
A.
33
B.
25
C.
45
D.
?45


7．当 时，函数 和 的图象只可能是（ ）



【课后作业】


一、选择题
?
a a≤b
1．定义运算a?b＝
?
?
ba>b

，则函数f(x)＝1?2x的图象大致为( )

2．函数f(x)＝x2－b x＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )
A．f(bx)≤f(cx)
B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx)
D．大小关系随x的不同而不同

6

3、已知
x?y?1,x?0,y?0
，且
22
log
a
(1?x)?m,log
a
1
?n,则log
a
y
1?x
等于（ ）
11
m?n
? ??
m?n
?
m?n
m?n
22
A、 B、 C、 D、
2
lgx?(lg5?lg7)lgx?lg 5glg7?0
的两根是
?
,
?
，则
?
g
?
的值是（ ） 4、如果方程
1
lg7
B、
lg35
C、35 D、
35
A、
lg5g
5、已知
log
7
[lo g
3
(log
2
x)]?0
，那么
x
?
1
2
等于（ ）
111
1
A、
3
B、
23
C、
22
D、
33


7