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高中数学函数单调性教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 17:46
tags:高中数学函数

高中数学新东方课程视频下载-高中数学人教b版2019版


课题:§1.3.1函数的单调性
肥东县城关中学马亚东
教学目的:
(1)通过已学过的函数,学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
(2)理解函数的单调性的定义及单调函数的图象特征;
(3)能够熟练应用定义判断函数在某一区间上的的单调性;
(4)通过本节知识的学习,培 养学生严密的逻辑思维能力,用运动变化、数形结合、分类讨
论的思想方法去分析和处理问题,以提高学 生的思维品质;同时让学生体验数学的艺术
美,养成用辨证唯物主义的观点看待问题.
教学重点:函数单调性的定义及单调函数的图象特征.
教学难点:利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性.
教法与学法:启发式教学,充分发挥学生的主体作用.
教学用具:黑板、计算机多媒体
教学过程:
一.情景引入:
德国着名心理学家艾宾浩斯的研究数据:
时间间隔
刚刚记忆完毕
20分钟之后
1小时之后
8-9小时之后
1天后
2天后
6天后
一个月后
记忆保持量
100%
58.2%
44.2%
35.8%
33.7%
27.8%
25.4%
21.1%
记忆保持量
100
(百分数)
80
60
40
20
0
1 2 3 4 5 6
天数
… …
将表中数据绘制在坐标系中连出草图,这就是着名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条
曲线,你能得出什么规律呢?(学生回答)
这是一条衰减曲线,随着时间的推移,记忆的保持量逐渐减小. 第一天遗忘的速度最快,
一天之后遗忘的速度趋于缓慢. 这一规律就提醒我们:在学习新知识的时候,一定要及时进
行复习和巩固,以便加深理解和记忆. 象这样,在生活中,我们关心很多数据的变化,了解这些数据的变化规律,对我们的生
活是很有帮助 的. 观察数据的方法往往是看:随着自变量的变化,函数值是如何变化的. 这
就是我们今天要研究的函数的单调性.
二.学习新课:
观察以下几幅图,你能发现图象在升降上有什么特点吗? (学生回答)


(1)f(x)?x
y
(2)
f(x)?x
2
y

(1)函数
f(x)?x
的图象从左到右上升,即当
x
增 大时
f(x)
随着增大,所以称函数
f(x)?x

x
o
1
4
x
-
1
0
1
2
-2


R
上是增函数.
(2)函数
f(x)?x< br>2
在对称轴
y
轴的左侧下降、右侧上升,即在区间(-∞,0]上当
x
增大时
2
f(x)

随着减小,在区间(0,+∞)上当
x
增大时
f(x)
随着增大. 所以称函数
f(x)
?x
在(-
∞,0] 上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.
那么如何用数学语言来描述增函数与减函数呢?
考察函数
f(x)?x
2

在(0,+∞)上任取
x
1
,
x
2

f(x
1
)?x
1
2


f(x
2
)?x
2
2

,对任意
0?x
1
?x
2
,都有
x
1
2
?
x
2
2
,所以在区间( 0,+∞)上,对任意
x
1
?x
2
,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
,即
f(x)?x
2

在(0,+∞)上, 当
x
增大时, 函数值
f(x)
相应地随着增大.这与观察图象所得结果是
一致的. 所以
f(x)?x
2

在区间(0,+∞)上是增函数.
由此归纳出增函数的定义,类似地得出减函数的定义(学生讨论、回答).
定义:一般地,设函数
f
(
x
)的定义域为I:
如果对于 定义域I内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
、x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
,那么就说函数
f
(
x
)在区间
D
上是增函数.
如果对于定义域I内某个区间
D
上的任意两个自变 量的值
x
1
、x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
,那么就说函 数
f
(
x
)在区间
D
上是减函数.
分析定义可得:
(1)增函数的图象从左到右上升,减函数的图象从左到右下降.
(2)
x
1
、x
2
的三大特征:①属于同一区间;②任意性; ③有大小:通常规定
x
1
?x
2

1
根据图像判断 :函数
f(x)?
x
在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数.
1问:能否说函数
f(x)?
x
在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上也是减函数?
答:不能. 因为不是对任意的
x
1
、x
2

,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
.
反例如:-1
<
1,-1=
f
(-1)
< f
(1)=1.
1
如果函数
f(x)?
x
在区间
D
上是增函数或减函数,那么就说函数
y?f(x)
)在区间
D
上< br>具有(严格的)单调性,区间
D
叫做函数
f
(
x
)的 单调区间.
三.概念应用:
例1.如图是定义在闭区间[-5,5] 上的函数
y=f
(
x
)的图象,
根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,
函数是增函数还是减函数?(学生活动)

3
2
y?f
?
x
?
1
解:函数
y?f(x)
的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].
-3 -2
-1
-5 -4
其中
y?f(x)
在区间[-5, -2),[1,3)上是减函数;
-2
-1
o
1
x
3
4
5
2
在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.
注意:(1)在书写时区间与区间之间用逗号隔开,不能用集合中的“∪”连接.


(2)因为孤立的点没有单调性,所以区间端点处若有定义写开写闭均可.
例 2.证明函数
f(x)??x
2
?1
在是单调减函数.(学生分组讨论、分别 演板展示)
(0,+?)
证明:设
x
1
、x
2
是 上任意两个值,且
x
1
?x
2

(0,+?)

设值

=x
2
2
?x
1
2
作差变形

定号

f(x
1
)?f(x
2
)?0,



f(x
1
)?f(x
2
)

∴函数
f(x)??x
2
?1
在上是单调减函数.
下结论
(0,+?)
总结证明函数单调性的步骤:
1.设值:设任意
x
1
、x
2
属于给定区间,且
x
1
?x
2
;< br>
2.作差变形:差
f(x
1
)?f(x
2
)
变形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等;
3.定号:确定
f(x
1
)?f(x
2
)
的正负;
4.下结论:由定义得出函数的单调性.
四、课堂小结
1.描述函数单调性的三种方法:
图形语言、自然语言、符号语言
2.函数单调性定义中的几个关键词:
定义域内某个区间 任意 都有
3.研究函数性质的常用方法:
观察图象 猜想性质数学化结论数学严格证明
f( x
1
)?f
?
x
2
?
?
?
?x< br>1
2
?1
?
?
?
?x
2
2
?1
?
4.图象法判断函数的单调性:增函数的图象从左到右上升,减函数的图象从左到右下降 .
5.(定义法)证明函数单调性的步骤:

设值
作差变形 判断差符号
下结论
五.布置作业
1.课本39页A组第1、2题.
4
2.课下思考题:如何确定函数
f(x)?x?
x
, x?[1 , 5]
的单调区间,并证明你的结论.
六.板书设计、教后感(略)

高中数学涉及到程序图的-高中数学集合经典例题及解析


高中数学必修三b-高中数学老师讲能听懂自己做就不会了


高中数学教师资格证合格率-高中数学竞赛期刊杂志


高中数学三年分别学什么-2005年全国高中数学全国联赛


全国高中数学联赛英语-清大紫育高中数学竞赛6


高中数学必修二第三章第二节-高中数学工资哪最高


如何归纳总结高中数学解题思路-北京高中数学课标解读


2019届南通高中数学调研卷-高中数学高考题型小结



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