高一数学指数函数经典例题

高一数学 指数函数平移问题
⑴y=
2
x?1
与y=
2
x?2
. ⑵y
=
2
x?1
与
y
=
2
x?2
.
f(x)的图象
向左平移a个单位得到f(x＋a)的图象;向右平移a个单位得到f(x－a)的图象;
向上平移a个单位得到f(x)＋a的图象;向下平移a个单位得到f(x)－a的图象.

指数函数·经典例题解析
(重在解题方法)
【例1】求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝3
1
2?x
(2 )y＝2
x?2
?1(3)y＝3?3
x?1

解 (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．
(2)由2
x+2
－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．
(3)由3－3
x-1
≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，
∴值域是0≤y＜3．

及时演练求下列函数的定义域与值域
（1）
y?2
1
x?4
|x|
； （2）
y?()
； （3）
y?4?2
2
3
xx?1
?1
；
【例2】 指数函数y＝a
x
，y＝b
x
，y＝c
x
，y＝d
x
的图像如图2．6－2所示，
则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ]
A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c
C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b
解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．
及时演练
指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ).

【例3】比较大小：

(1)2、
3
2、
5
4、
8
8、
9
16的大小关系是：
(2)0.6
?
4
5
1
3
?
2
()
2
．


1

(3)4.5
4.1
________3.7
3.6

解( 1)∵2?2，2?2，4?2，8?2，16?2，
函数y＝2
x
，2＞1，该函数 在(－∞，＋∞)上是增函数，
13241
又＜＜＜＜，∴
3
2＜
8
8＜
5
4＜
9
16＜2．
38592
1
2
3
1
3
5
2
5
8
3
8
9
4
9

解 (2)∵0.6
∴0.6
?
4
5
?
4
5
1
3
?
2
＞1，1＞()，2
1
3
?
2
＞()．
2

解 (3 )借助数4.5
3.6
打桥，利用指数函数的单调性，4.5
4.1
＞4.5
3.6
，作函数y
1
＝4.5
x
，y
2
＝ 3.7
x
的
图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.5
3.6
＞ 3.7
3.6
∴ 4.5
4.1
＞3.7
3.6
．
说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例< br>2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2< br>中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.5
4.1
同底与3.7
3.6
同指数的特点，即为
4.5
3.6
(或3.7
4.1
)，如例2中的(3)．
及时演练（1）1.7
2.5
与


1.7
3
( 2 )
0.8
?0.1
与
0.8
?0.2

( 3 ) 1.7
0.3
与

0.9
3.1

（４）
3.5
2.1
和
2.7
2.0

【例4】比较大小
n?1
a
n
与
n
a
n?1(a＞0且a≠1，n＞1)．
n?1
解
a
n
n
an?1
?a
1
n(n?1)
＜1，∴
n?1
a
n
＜
n
a
n?1
1
当a＞1时，∵n＞1，＞0，
n(n?1)
∴a
1
n(n?1)
1
当0＜a＜1，∵n＞1，＞0 ，
n(n?1)
【例５】已知函数f(x)＝a－，若
2
x
＋11

∴a
1
n(n?1)
＞1，
n?1< br>a
n
＞
n
a
n?1

f(x)为奇函数，则a＝________.
11
【解析】 解法1：∵f(x) 的定义域为R，又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a－
0
＝0.∴a＝.
2
2＋1
1
111
解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x) ，即a－
－
x
＝
x
－a，解得a＝.【答案】
2
2＋12＋1
2
3
2
【例6】求函数y＝()
x－5x＋6
的单调区间及值域．
4

3
解 令u＝x
2
－5x＋6， 则y＝()
u
是关于u的减函数，而u＝x
2
－5x
4
55
＋6在x∈(?∞，]上是减函数，在x∈[，?∞)上是增函数．∴函数
22
3
x
2
－5x＋6
55
y＝()的单调增区间是(?∞，]，单 调减区间是[，?∞)．
422

2

511又∵u＝x
2
－5x＋6＝(x?
2
)
2
?
4
≥?
4
，
函数y＝(
3
4
)
u
， 在u∈[?
1
4
，?∞)上是减函数，
所以函数y＝(
3
4
x
2
－5x
4
)
＋6
的值域是(0，
10 8
3
]．

【例7】求函数y＝(
1
4
)
x
?(
1
2
)
x
＋1(x≥0)的单调区间及它的最大值．
解 y＝[(
1
2
)
x
]
2
?(
1
2
)
x
?1?[(
1
2
)
x
?
1
2
]
2
?
3
4
，令u＝(
1< br>2
)
x
，∵x≥0，

∴0＜u≤1，又∵u＝(
1
2
)
x
是x∈[0，＋∞)上的减函数，函数y＝(u?
1
2
)
2
?
3
4
在u∈(0，
111
x1
2
]上为减函数，在[
2
，1)上是增函数．但由0＜(
2< br>)≤
2
得x≥1，由
1
2
≤(
1
2
)
x
≤1，得0≤x≤1，∴函数y＝(
1
4
)
x
?(
1
2
)
x
＋1单调增

区间是[1，＋∞)，单调减区间[0，1]
当x＝0时，函数y有最大值为1．
【 例8】已知f(x)＝
a
x
?1
a
x
?1
(a＞1 )

(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域； (3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．
解 (1)定义域是R．
f(－ x)＝
a
?x
?1a
x
?1
a
?x
?1< br>??
a
x
?1
＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数． < br>(2)函数y＝
a
x
?1
x
?1?yy?1
a
x
?1
，∵y≠1，∴有a＝
y?1
?
1?y
＞0?－1 ＜y＜1，
即f(x)的值域为(－1，1)．
(3)设任意取两个值x
1
、 x
2
∈(－∞，＋∞)且x
1
＜x
2
．f(x
1< br>)－f(x
2
)
＝
a
x
l
?1
a
x
2
?1
2(a
x
l
?a
x
2< br>)
a
x?1
?
x?1
＝
x
?1)(a
2
?1)
，∵a＞1，x
1
＜x
2
，a
x
1
＜a
x
2
l
a
2
(a
l
x< br>，(a
x
1
＋1)

(a
x
2
＋1 )＞0，∴f(x
1
)＜f(x
2
)，故f(x)在R上为增函数．


3