高中数学专题：抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给 出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容 的难点之一。
一、定义域问题
2
f(x)
的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。 例1. 已知函数
，2]
，求函数例2. 已知函数
f(x)
的定义域是
[?1
二、求值问题
?
f[log
1
(3?x)]
2
的定义域。
例3. 已知定义域为
R
的函数f（x），同时满足下列条件：①
f(2)? 1，f(6)?
1
5
；②
f(x?y)?f(x)?f(y)
，求f （3），f（9）的值。
三、值域问题
例4. 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意 实数x、y，
f(x?y)?f(x)f(y)
总成立，且存
在
x
1
?x
2
，使得
f(x
1
)?f(x
2
)< br>，求函数
f(x)
的值域。
2
x?y?0
f(0)?[f( 0)]
解：令，得，即有
f(0)?0
或
f(0)?1
。
若
f(0)?0
，则
f(x)?f(x?0)?f(x)f(0)?0
，对任 意
x?R
均成立，这与存在实数
x
1
?x
2
，使得
f(x
1
)?f(x
2
)
成立矛盾，故
f (0)?0
，必有
f(0)?1
。
由于
f(x?y)?f(x)f (y)
对任意
x、y?R
均成立，因此，对任意
x?R
，有
xxxxx
f(x)?f(?)?f()f()?[f()]
2
?0
222 22

下面来证明，对任意
x?R，f(x)?0

设存在
x
0
?R
，使得
f(x
0
)?0
，则
f( 0)?f(x
0
?x
0
)?f(x
0
)f(?x
0
)?0

这与上面已证的
f(0)?0
矛盾，因此，对任意
x?R，f(x)?0

所以
f(x)?0

评析：在处理抽象函数 的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的
必要手段。
四、解析式问题

例5. 设对满足
x?0，x?1
的所有实数x，函数
f(x)
满足
解析式。
f(x)?f(
x?1
)?1?x
x
，求f（x）的
f(x )?f(
解：在
x?1
)?1?x
x
(1)
x?1
中以
x
代换其中x，得：
f(
x?112x?1
)?f(?)?
xx?1x
(2)

?
再在（1）中以
1
x?1
代换x，得
(3)

f(?
1x?2
)?f(x)?
x?1x?1
x
3
?x
2
?1
f(x)?
(1)?(2)?(3)
化简得：
2 x(x?1)

x?1
评析：如果把x和
x
分别看作两个变量，怎样 实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。
通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失 ”，进而保留一个变量，是实现这种转
化的重要策略。
五、单调性问题
例6. 设 f（x）定义于实数集上，当
x?0
时，
f(x)?1
，且对于任意实数x、 y，有
f(x?y)?f(x)?f(y)
，求证：
f(x)
在R上为增函数 。
2
f(x?y)?f(x)f(y)x?y?0
f(0)?[f(0)]
证明：在中取，得
若
f(0)?0
，令
x?0，y?0
，则
f(x)?0
，与
f(x)?1
矛盾
所以
f(0)?0
，即有
f(0)?1

当
x?0
时，
f(x)?1?0
；当
x?0
时，
?x?0，f(?x )?1?0

而
f(x)?f(?x)?f(0)?1

f(x)?
所以
1
?0
f(?x)

又当
x?0
时，
f(0)?1?0

所以对任意
x?R
，恒有
f(x)?0

设
??? x
1
?x
2
???
，则
x
2
?x
1
?0，f(x
2
?x
1
)?1

所以
f (x
2
)?f[x
1
?(x
2
?x
1
)] ?f(x
1
)f(x
2
?x
1
)?f(x
1
)

所以
y?f(x)
在R上为增函数。
评析：一般地，抽象函 数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值
的分解与组合都应尽量与已知式 或所给关系式及所求的结果相关联。
六、奇偶性问题
例7. 已知函数
f(x)( x?R，x?0)
对任意不等于零的实数
x
1
、x
2
都有< br>f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
，试判断函数f（x）的奇偶性。
，x
2
?1
得：f(?1)?f(?1)?f(1)
，所以
f(1)?0
解：取
x1
??1
又取
x
1
?x
2
??1
得：
f(1)?f(?1)?f(?1)
，所以
f(?1)?0

再取< br>x
1
?x，x
2
??1
则
f(?x)?f(?1)? f(x)
，即
f(?x)?f(x)

因为
f(x)
为非零函数，所以
f(x)
为偶函数。
七、对称性问题
?1?1
y?f(x)f(x)?f(?x)?2002
f (x)?f(2002?x)
的值。 例8. 已知函数满足，求
解：已知式即在对称关系式< br>f(a?x)?f(a?x)?2b
中取
a?0，b?2002
，所以函数y?f(x)
?1
y?f(x)
的图象关于的图象关于点（0，2002）对称。 根据原函数与其反函数的关系，知函数
点（2002，0）对称。
所以
f
? 1
(x?1001)?f
?1
(1001?x)?0

?1?1
f(x)?f(2002?x)?0

x?1001
将上式 中的x用代换，得
评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、 b均为常数，
函数
y?f(x)
对一切实数x都满足
f(a?x)?f(a? x)?2b
，则函数
y?f(x)
的图象关于点（a，
b）成中心对称图形。
八、网络综合问题
例9. 定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有
f(m?n)?f(m)?f(n)
，且当x>0

时，0（1）判断f（x）的单调性；
22
A?{(x，y)|f(x)?f(y)?f(1)}
， （2）设
B? {(x，y)|f(ax?y?2)?1，a?R}
，若
A?B??
，试确定a的取值 范围。
，n?0
，解：（1）在
f(m?n)?f(m)?f(n)
中，令
m?1
得
f(1)?f(1)?f(0)
，因为
f(1)?0
，
所以
f(0)?1
。
在
f(m?n)?f(m)?f(n)
中，令
m?x，n??x

因为当
x?0
时，
0?f(x)?1

所以当
x?0
时
?x?0，0?f(?x)?1

而
f(x)?f(?x)?f(0)?1

f(x)?
所以
1
?1?0
f(?x)

又当x= 0时，
f(0)?1?0
，所以，综上可知，对于任意
x?R
，均有
f(x)?0
。
0?f(x
2
?x
1
)?1
设
???x
1
?x
2
???
，则
x
2
?x
1
?0，
所以
f(x
2
)?f[x
1
?(x
2
?x
1
)]?f(x
1
)?f(x
2< br>?x
1
)?f(x
1
)

所以
y?f(x)
在R上为减函数。
2222
f(x)?f(y)?f(x?y)?f(1)
（2）由于函数y=f（x）在R上为减函数，所以
即有
x?y?1

又f(ax?y?2)?1?f(0)
，根据函数的单调性，有
ax?y?2?0

22
2
由
A?B??
，所以直线
ax?y?2?0
与圆面
x?y?1
无公共点。因此有
解得
?1?a?1
。
22
a?1
2
?1
，
评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两 个问题：一是f（0）的取值问题，二是f（x）>0

的结论。这是解题的关 键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，
联想类比思维都有助于问题的思 考和解决。