高中数学人教版必修一函数的应用

必修
1
第三章


函数的应用

3.1 .1 函数的根与方程的零点
1.课本先描述了几个一元二次方程与对应二次函数的图像：分别是
（一元二次方程：只有一个未知数，未知数最高次不超过2的方程；）
A.一元二次方程x
2
-2x-3
?
0
与二次函数y=
x
2-2x-3
；
B.一元二次方程
x
2
-2x
?
1
?
0
与二次函数y=
x
2
-2x?1
； C.一元二次方程
x
2
-2x
?
3
?
0
与二次函数y=
x
2
-2x?3
；
A B C



2
（x-1）
2.A：方程
x
2
-2x-3
?0
，为=4，有两个根x1=3，x2=-1，看图像我们就
知道实际就是二次函数y=< br>x
2
-2x-3
与x轴的两交点的横坐标；
2
（x-1）
B：方程
x
2
-2x
?
1
?
0
，为=0只有一个根（也可理解为2个相等的
根)x1=1；实际就是函 数的图像与x轴只有一个交点；
22
（x-1）（x-1）
C：方程
x< br>2
-2x
?
3
=0，为+2=0，无解（找不到这样的实数x使+2< br>2
（x-1）
会等于0，因为一个数的平方式大于等于0的，那么
+2肯定是≥ 2的，所
以肯定找不到）；实际看图像就是对应着函数在x轴上方与x轴无交点；且函数
的图像 显示最小值在2以上；


------
Victory belongs to the most persevering.

3.通过上面的例子我们知道了一元二次方程
ax
2
?
bx
?
c
?
0
成立（方程有解）；
那么对应的二次函数y =
ax
2
?
bx
?
c
与x轴有交点；通过研究我们 得到以下：
设
△?
b
2
-4ac
为判别式：
A :当
△?
b
2
-4ac
>0时表示方程
ax
2?bx?c?0
有2个不相等的实数根；二次函
数y=
ax
2
?
bx
?
c
，与x轴有2交点；
B.当
△?
b2
-4ac
=0时表示方程
ax
2
?bx?c?0
有2 个相同的实数根；二次函数
y=
ax
2
?
bx
?
c
，与x轴有1个交点；且这个交点为顶点，要么是最大值（a>0
开口向上时），要么是最小值 （a<0开口向下）；
C.:当
△?
b
2
-4ac
<0时 表示方程
ax
2
?bx?c?0
没有实数根；二次函数
y=
ax
2
?
bx
?
c
，与x轴无交点；（自己可以用1.的 例子算一下△的值判断一下）
??????????????重点知识???????????????
4.A.如果函数 y=f（x）=0有解，也就是函数图像与x轴有交点，如果此时交点
为（m，0），那么我们就把（m ，0）叫做函数的零点；（理解：其实就是某一
个x=m（m为常数），能够使得f（x）的解析式为0 ）；
B.得到以下结论：方程f（x）=0有实数根
?
函数y=f（x）的图像与x 轴有交
点
?
函数y=f（x）有零点；
C.怎么判断零点的范围：①二次函 数的判断可以用判别式法②非二次函数我们可
以得到以下结论：如果函数y=f（x）在区间[a，b] 上的图像时连续不断地曲线，
并且有f（a）×f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间(a，b ）内有零点，即存
在c∈（a，b），使得f（c）=0，x=c也是f（x）=0的根；
例如：二次函数y=
x
2
-2x-3
，我们可以得到这个函数的图像


------Action speak louder than words

通过计算知道f（ -2）×f(1)=5×（-3）<0，所以(-2，1)区间存在数c使得f（x）=0，即
就是x= -1时；同理还可以计算f（1）×f（4）也可以计算为小于0；
?????????????????学后练习??????????????????
（1）函数零点与图像关系的理解： 函数y=
x
2
?
2x
?
1
；当x=1时候
y=1-2+1=0所以（1,0）就是此函数的零点；我们再画 图如下可以看到就是函
2
（
-2
）
-4
?
1
?
1
?
0
，证明
数图像与x轴的交点（1,0）处；此函数的△?
b
2
-4ac
?
有2个相等的实根，图像与x轴只有1个交 点；函数只有一个零点；



6
x
（2）（2014? 北京）已知函数f（x）=-
log
2
，在下列区间中，包含f（x）零
x< br>点的区间是（ ） ；
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
解：我们可以用判断零点的定理来做，那么我们就得让这个区间的2端的函数值31
2
2
得乘积f（x1）×f（x2）<0；通过计算：（f2）=3-
log
2
=2；（f4）=
-
=-
<0；
log
2
2
22
所以f（2）×f（4）<0，答案为C

（x?1 )
（3）（2014?贵州模拟）已知函数f（x）=x-
ln
-1，函数零点的个数 是：
解：①求函数的零点个数就是函数f（x）=0时，看函数与x轴交点的个数，那
么我们 可以得到 f（x）=x-
ln
② f（x）=x-
ln
（x?1)
（x?1)
-1=0
=x-1；我 们把两边都看成一个函数，就-1=0，化简为
ln
（x?1)
（x?1)
是 ：左边为常用对数函数
ln
=右边为一次函数（x-1），当2个函数的值相等
时??
这2个函数在图像上面有交点
??
他们的差值为0
??
就是 （fx）=0；
所以这2个函数有几个交点f(x）就有几个零点。
③画图，可以看到明显有2个交点所以f（x）零点数为2。

???????????????重点知识???????????????
5.用二分法求方程的近似解：课本通过：
①f（x）=
ln
x
?
2x-6
在区间（2,3）有零点 （∵f(2)=
ln
2
?2?2-6?ln
2
-2

=
ln-ln
=
ln
e=2.71（常数函数）所以f（2）=
ln
<
ln
1
=0； < br>2e
2
2
e
2
2
e
2
∵f（3）=
ln
3
?2?3-6?ln
3
>0；所以在（2,3）上有零点），
②然后我们取区间（2,3）的中点2.5，我们用计算器求得f（2.5）≈-0.081，所
以f（2.5）×f（3）<0，所以进步确定零点在（2.5,3）中间；
③再取区间（2.5,3）中点2.75，用计算器求得f（2.75）≈0.512
因为f（2.5）×f（2.75）<0，所以零点在区间（2.5,2.75）内
④从区间 （2,3）
?
（2.5,3）
?
（2.5,2.75）区间一步步减小了，当 我们无限取

区间的中间值得时候，可以确定这个零点的近似值；
⑤二分法：对于在区间[a ，b]上连续不断且f（a）
?
f（b）<0，
不断地把零点所在的区间1分为2，得 到新区间，使这个区间的2端无限逐步逼
近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法；
??????????????????????????????????
3.2函数模型及其应用：
①例题1：假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案给你 选择，这三种
方案的回报，问你会选择哪种投资方案？A:每天可以回报10元；
B:第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
C:第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天番一番；
解答：A:每天都可以回报10元，过了N天还是每天40元，为y=40；
B:第一天回报10元，第二天10+10=20，第三天20+10=30；所以x天为
y=10x（x属于正整数）
C:第一天0.4元，第二天0.4×2，第三天0.4×2× 2=0.4×2
2
，第四天0.4×2×2
×2=0.4×2
3
，第 x天0.4×2
x-1
；
图像如下：

分析：我们通过函数知道第一种方案每天收入一直为40元，这样
的不变叫做常数函数特点为图像一直平行于x轴，B方案呈倾斜
的直线上涨，而C方案开始很 小但是后来越来越大呈指数形态上升

并且增长的越来越快；（通过图像我们知道C方案到 后面比一次函数增长
要快的多，也叫做指数爆炸）
答案：

因此：投资 时间为1~6天，应该选择方案1；投资时间为7天选择方案一或者
二；投资8~10天选择方案二；投 资时间11天（含11天）以上选择方案3；
（这样的通过建立函数的模型来解决现实的应用问题，就是 函数模型的利用了）
???????????????重点知识???????????????
x
??
）②在区间（0，上，尽管函数 指数函数y=a
x
（a>1 )、对数函数y=
log
a
（a>1)、
幂函数y=x
n
（ n>0）都是增函数；但是它们的增长速度不同，指数函数的增长
是越来越大的，远大于幂函数的增长速 度；对数函数增长确越来越慢；（看课本
x
的图像可以比较出来）；所以总会存在一个相同的x ，使得a
x
>x>
log
a
；
n
???????????????主讲例题???????????????
3.2
函数模型及其应用
例题1：一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如 图下；（1）求图下
阴影部分的面积大小，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路前的读书为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读
书s(km)与 时间t（h）的函数解析式，并作出相应的图像；

----- A friend is never known till a man has need.

解答：（1）阴影部分的面积可以求得：S=1×50+1×80+1×90+1×75+1 ×65=360km；
我们知道每段时间的汽车的速度不同，而速度与时间的乘积就是路程的大小，所以 他们每段
的和就是汽车在这5h时间内行驶的路程；
（2）我们可以根据上面的图写出每段时 间内，汽车行驶的路程与时间的关系式得到：t∈
[0,1）h内，S=50×t+2004；
t∈[1，2)h内，S=80（t-1）+50×1+2004=80（t-1）+2054； t∈[2，3)h内，S=90（t-2）+50×1+80×1+2004=90（t-2）+2134；
t∈[3，4)h内，S=75（t-3）+2224；
t∈[4，5)h内，S=65（t-4）+2299；
（3）然后我们可以描绘出这个分段 函数的图像：（分成一段一段描绘，注意每一段的定义
域，就行啦）

备注：我们例 题一讲到了分段函数，就是在不同的定义域内函数有不同的解析式，那么就有
不同的图像，这就是分段函 数得分段求的道理；


------输了，

并不意味着你比别人差；输了，也不意味着你永远不会成功。即使生活有
一千个理由让你哭泣，你也要拿出一万个理由笑对人生！做最好的自己，管别人呢？

例题2（基础题）（2014?赣州二模）定义在R上的函数f（x）满足
（ 16-x）
?
log（x?0）
f（x）=
?
2
，则f（2 014）为多少？
）(x?0）
?
f（x-1

解析：这样把函数 分2段来写，不同的区间对应不同的解析式叫做分段函数，分
段函数的解法就是分段来求，要求的x在那 个定义里我们就带到那个解析式里面
求得函数的值；
答案：当x>0时，f(x)=f(x-1) ，
由于2014>0，所以f(2014)=f(2014-1）=f（2013）；
f（20 13）=f（2013-1）=f(2012);同理一直到f(2014)=f（2013）=f
（2 012）.....=f(1);
而1>0，有f(1)=f(1-1)=f(0);所以f（2014）=f（0）；
-0< br>而f（0）=log
16
=log
2
2
2
=4，所以 f（2014）=4；
4
??????????????????????????????????
例题 3（中等题）（2013?成都一模）某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一
种特殊机器，生产需要投 入固定成本500万 元，生产与销售均以百台计数，且
每生产100台，还需增加可变成本1000万元．若市场对该 产品 的年需求量为
500台，每生产m百台的实际销售收入近似满足函数R（m）=5000m-500m< br>2
（0≤m≤5，m∈N*）；
（I）试写出第一年的销售利润y（万元）关于年产量 x单位：百台，x≤5，x∈
N*）的函数关系式；（说明：销售利润=实际销售收人一成本）
（II ）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年
支出费用u （x）（万元）与年产量x（百台）的关系满足u（x）=500x+500

（x≤3， x∈N*），问年产量x为多少百台时，工厂所得纯利润最大？

解析：首先看懂题目是：已知什么？要求什么？（I）要求销售利润
y关于年常量x的关系式；我们知道销售利润=实际销售收入-成本；
此题的成本还 有增加成本，所以成本=固定成本+增加成本；（II）工厂
的纯利润收入=工厂销售利润- 工人人员的支出费用；得到函数的解析式后我们
利用解析式求纯利润的最大值；
答案：（I） ：设第一年的销售利润为y，年常量为x（单位百台）；实际销售收
入近似为5000x-500x2
，成本=500（固定成本）+1000x（每百台多1000万，
为增加成本），所以 y=5000x-500x
2
-（500+1000x）；化简得：
y=-500
x
2
+4000x-500 （x≤5，x∈N*）
（II）工厂的纯利润收入=工厂销售利润-工人人员的支出费用；
销售利润y=-500
x
2
+4000x-500；
人员的年支出费用u（x）=500x+500（x≤3，x∈N*）
设工厂的纯利润收入h (X),所以h(X)=-500
x
2
+4000x-500-u（x）
=-500
x
2
+3500x-1000 =?500(x?
7
2
)+5125（x≤3，x∈N*）；
2
（ 关于二次函数-500
x
2
+3500x-1000的配方：①-500
x< br>2
+3500x-1000=
7
7
2
7
2
（）（）
-500（
x
2
-7x）-1000=-500（
x
2
-2*x*
+
）+500×-1000
2
22
77< br>=?500(x?)
2
+125×49-1000=?500(x?)
2
+5125）
22
7
由于h(X)=?500(x?)
2
+51 25（x≤3，x∈N*）的x是属于N*（正整数的）
2
那么x=3时取得最大值，h（3） =5000；所以利润的最大值是5000万元；
??????????????????????????????????

----所谓优雅，并不是训练出来的气质，而是人生的一种阅历。一个人
的美丽不在于她的外 表，而在于她身上的气息。那种经历往事后，坚强而安谧的气息。淡然并不是伪装就
可以装出来的，而是 一种沉淀。所谓的成功，就是破译了从卑微到伟大的密码。

例题4（中等题）（2012?西区一模）某市居民自来水收费标准如
下：每户每月用水不超过4吨时，每吨收费1.8元，当用水超过4
吨时，超过部分每吨收费3元．某月甲乙两户共交水费y元，已知
甲、乙两户用水量分别为5x，4x（吨）
（1）求y关于x的函数关系；
（2）当甲、乙两户共交水费为30.9元时，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．

解析：（1）要求y关于x的关系而根据题意知此关系必定是要分情况考虑的，
也即是分段函数 ：分0≤x≤
44
，＜x≤1和x＞1三种情况加以讨论，分别给出
55
水费 关于x的函数，最后综合即得y关于x的函数关系式；

（2）根据函数的单调性，分3个区 间下解关于x的方程，即可求出x值，由此
即可解出甲、乙两户该月的用水量和水费；
答案：（1）∵x≥0，当5x=4时（意思是甲用水4吨）此时x=
时），x=1；
①当0≤x≤
②当
4
；当4x=4（乙用水4吨
5
4
时， 此时甲乙都没用水超过4吨，所以y=（5x+4x）×1.8=16.2x；
5
4
≤x≤1时，此时甲超过了4吨，乙没有超过，所以
5
y=[4*1.8+（5x-4）*3]+4x*1.8=22.2x-4.8；
③当x>1时，此时甲乙都超过了4吨，所以y=8×1.8+[（5x-4）+（4x-4）]×3
=27x-9.6；
4
?
16.2x（0?x?）
?
5< br>?
4
?
综上所述：
?
22.2x-4.8(＜x?1
为函数的解析式；
）
5
?
6x＞1）
?
27x-9.（?
?

（2）由于y=f（x）在各段区间上均单调增函数，
①当 x∈[0，
②当x∈（
44
]时，y≤f（）＜30.9；不能达到30.9元，无这 样的x
55
4
，1]时，y≤f（1）＜30.9；不能达到30.9元，无这样的x
5
③当x∈（1，+∞）时，令27x-9.6=30.9，得x=1.5
所以甲户 用水量为5x=7.5吨，付费S
1
=4×1.8+3.5×3=17.70元，
乙户用水量为4x=6吨，付费S
2
=4×1.8+3×3=13.2元．

答：当甲、乙两户共交水费为30.9元时，甲、乙两户该月的用水量分别为7.5
吨和6吨， 水费分别17.7元和13.2元．




我的话：好了到此为止函数的应用基本结束了，根据例题去理解做题的步骤：
①首先看清楚题目的意思，如果题目对不同条件有不同要求， 那么就是分段函
数，如果没有分，就看清楚题目意思，根据意思去列方程，
②求最小值、最大 值的时候一定要结合实际问题与函数定义域去求，对自己列出
的方程式要有明确的理由，以此做；
③还有一种根据书上：从题目意思、列方程、描点、画大概图像、得到结果的过
程
④一定要根据题目意思去列方程，如上面例题好好理解，结果一定要自己算；

到此第一章涉及内容基本结束：下一节复习题详解
??????????????????????????????????
------Life isn't about waiting for the storm to pass, it's about learning to
dance in the rain。