(完整word版)高中数学函数求参数范围2018年高三专题复习-函数专题

高中数学函数求参数范围问题解决方法及针对性练习
2018年高三专题复习- 函数专题（4）
一、变换“主元”思想，适用于一次函数型
处理含参不等式恒成立的某些问 题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思
考，往往会使问题降次、简化。
例1 .对于满足0
?p?4
的一切实数
p
，不等式x
2
+px> 4x+p-3恒成立，求x的取值范围．
分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x
2< br>+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p
?
?
0,4
?
时
y>0恒成立，求x的范围．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则
上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．
解：设f(p)=(x-1 )p+x
2
-4x+3，当x=1显然不满足题意．由题设知当0
?p?4
时 f(p)>0恒成立，
∴f(0)>0,f(4)>0即x
2
-4x+3>0且x< br>2
-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或
x<-1．
例2．对任意
a?[?1,1]
，不等式
x
2
?
(
a?
4)
x?
4
?
2
a?
0
恒成立，求< br>x
的取值范围。
答案：
(??,1)?(3,??)
。
2
例3．若不等式
2x?1?m(x?1)
，对满足
?2?m?2
所有 的x都成立，求x的取值范围。
?
?1?71?3
?
??
，
?
22
?
?
答案：
?
?
f(
?
)?0
注：一般地，一次函数
f(x)?kx?b(k?0)
在
[
?
,
?
]
上恒有
f(x)?0
的充要条件为
?。
?
f(
?
)?0
二、分离变量
对于一些含参数的 不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量
和参数进行分离，即使变量和参数分别 位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域
的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

1

例1．若对于任意角
?
总有
sin
2
?
?2mcos
?
?4m?1?0
成立，求
m
的范围．（注意分式求最值
得方法）
分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得
m(2cos
?< br>?
4)
?
cos
2
?
，
cos
2
?
cos
2
?
又
cos
?
?2?0
，则原不等式等价变形为
2
m?
恒成立．即
2m
必须小于的最小< br>cos
?
?2cos
?
?2
(cos
?
?2 )
2
?4(cos
?
?2)?4
cos
2
?
cos
2
?
?
值，问题化归为求的最小值．因为
cos
?
?2
cos
?
?2cos
?
?2
?cos
?
?2?
4
cos
?
?2
?4?4?4?0
即
cos
?
?0
时，有最小值为0，故
m?0
．
例2．已知函数
f
(
x
)
?ax?
4
x?x
2
,
x?
(0,4]
时
f(x)?0
恒成立，求实数a
的取值范围。
4x?x
2
解： 将问题转化为
a?
对
x?(0,4]
恒成立。
x
令
g(x)?
4x?x
2
，则
a?g(x)
min

x
4x?x
2
由
g(x)??
x
4
?
1
可知
g(x)
在
(0,4]
上为减函数，故g(x)
min
?g(4)?0
x
∴
a?0
即
a
的取值范围为< br>(??,0)
。
2
例3．已知二次函数
f(x)?ax?x
，如果x∈［0，1］时
|f(x)|?1
，求实数a的取值范围。

< br>2
解：x∈［0，1］时，
|f(x)|?1??1?f(x)?1
，即
?
1
?
ax
?
x
?
1

①当x=0时，a∈R
2
?
?
ax??x?1
1111< br>?
2
a?????
22
?
ax??x?1
(0，1]
?
x
恒成立，即求
x
x
的
x
②当x∈时， 问题转化为恒成，由
111
?
11
?
1
u(x)??
2
???
?
?
?
?
x?(0，1]，?[1，??)，u (x)
xx24
x
??
最大值。设。因为减函数，所以当x=1
x< br>2
时，
u(x)
max
??2
，可得
a??2
。
11
?
11
?
1
11
11
v(x) ?
2
??
?
?
?
?
?
a?
2?
x
?
x2
?
4
。因
x
x
恒 成立，即求
x
2
x
的最小值。设
x
由
2

2

1
x?(0，1]，?[1，??)，v(x)
为增函数，所以当x=1时，
v(x)
min
?0
，可得a≤0。
x
由①②知
?2?a?0
。
评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：
①f(x)≥g(k)
?
[f(x)]min≥g(k) ②f(x)> g(k)
?
g(k) < [f(x)] min
③f(x)≤g(k)
?
[f(x)] max≤g(k) ④f(x)?
[f(x)] max < g(k)
三、数形结合
1）
f(x)?g(x)?
函数
f(x)
图象恒在函数
g(x)
图象上方；
2）
f(x)?g(x)?函数
f(x)
图象恒在函数
g(x)
图象下上方。
0]
，若不等式
x
(
?
4
?x
)
?
例1．设
x?[?4，
4
x?1?a
恒成立，求a的取值范围．
3
分析与解：若设函数
y
1
?x
(
?
4
?x
)
，则
y

22
(x?2)?y
1
?4(y
1
?0)
，其图象为上半圆．设函数 y
2
y
1


4
y
2
?x?1?a
，其图象 为直线．在同一坐标系内作出函数图

3
象如图， 依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心
(?2,0)
到直线
4x?3y?3?3 a?0
的距离
d?

?4
O x


|?8?3?3a|
?2
且
1?a?0
时 成立，即a的取值范围为
a??5
．
5
例2．当x
?
(1 ,2)时，不等式(x-1)
2
a
x恒成立，求a的取值范围。 < br>分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以
采用数形 结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范
围。
y
y
1
=(x-1)
2

y
2
=log
a
x
1
o 2
x < br>解：设T
1
:
f(x)
=
(x?1)
2
,T
2
:
g
(
x
)
?
log
a
x
,则T
1
的图象为
右图所示的抛物线，要使对一切x
?
(1,2),
f(x)
<
g(x)
恒成
立即T
1
的图象一定要在T
2
的图象所的下方，显然a>1,并且

3

必须也只需
g(2)?f(2)

故log
a
2>1,a>1,
?
1?
2.
四、分类讨论
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处 理，分类
讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
例1． 当
x?[2,8]
时，不等式
log
2a
2
?1
x ??
1
恒成立，求a的取值范围．
解：（1）当
2
a
2< br>?
1
?
1
时，由题设知
1
2a
2
? 1
?2
解得
a?(??,?1)?(1,??)

1
2a?1
2
1
2a?1
2
?x
恒成立，即
1
2a?1
2
?x
min
，而
x?[2,8]
∴
（ 2）当
0
?
2
a
2
?
1
?
1时，由题设知
1
2a
2
?1
?8
?x
恒成立， 即
1
2a?1
2
?x
max
，而
x?[2,8]< br>∴
解得
3223
a?(?,?)?(,
)
4224．∴a的取值范围是
3223
a?(??,?1)?(?,?)?(,)?(1,??)< br>．
4224
五、二次函数类型
㈠ R上恒成立问题
设
f
(
x
)
?ax
2
?bx?c
(
a?
0)
，
（1）
f(x)?0在x?R
上恒成立
?a?0且??0
；
（2）
f(x)?0在x?R
上恒成立
?a?0且??0
。
2
例1．对于x∈R，不等式
x
?
2x
?
3
?< br>m
?
0
恒成立，求实数m的取值范围。

2
解：不 妨设
f(x)?x?2x?3?m
，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使
f(x) ?0(x?R)
，
2
2]
。 只需
??0
，即
(? 2)?4(3?m)?0
，解得
m?2?m?(??，


2
变形：若对于x∈R，不等式
mx
?
2mx
?
3
?
0
恒成立，求实数m的取值范围。
2
此题需要对m的取值进行讨论，设
f (x)?mx?2mx?3
。①当m=0时，3>0，显然成立。
3)
。②当m>0时 ，则△<0
?0?m?3
。③当m<0时，显然不等式不恒成立。由①②③知
m?[0 ，


4

2x
2
?2mx?m
?
1
，对一切
x
恒成 立，求实数
m
的取值范围. 例2．不等式
2
4x?6x?3
33< br>解：∵
4x
2
?6x?3?(2x?)
2
??
0在R上恒成立，
24
2x
2
?2mx?m
22
?1
?
2
x?
2
mx?m?
4
x?
6< br>x?
3
?2x
2
?(6?2m)x?3?m?0
，
x?
R
∴
2
4x?6x?3
∴
??
( 6
?
2
m
)
2
?
8(3
?m
)< br>?
0
，解得
1?m?3
故实数
m
的取值范围是
1?m?3
.
例3．已知函数
y?
lg[
x
2
?
(
a?
1)
x?a
2
]
的定义域为R，求实数< br>a
的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式
x
2
?< br>(
a?
1)
x?a
2
?
0
对
x?R
恒成立，
1
即有
??
(
a?
1)
2?
4
a
2
?
0
解得
a??1或a?
。
3
1
所以实数
a
的取值范围为
(??,?1)?(
,
??
)
。
3
㈡二次函数在闭区间上恒成立问题
设f
(
x
)
?ax
2
?bx?c
(
a?
0)

b
?
b
??
b
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
（ 1）当
a?0
时，
f(x)?0在x?[
?
,
?
]
上恒成立
?
?
2a
，
或
?
或
?
2a2a
??
?
f(
?
)?0
?
?
??0
?
f(
?
)?0
?
f(
?
)?0
f(x)?0在x?[
?
,
?
]
上恒成立
?
?

f(
?
)?0
?
?
f(
?
)?0
f(x)?0在x?[
?
,
?
]
（2）当
a ?0
时，上恒成立
?
?

f(
?
)?0
?
b
?
b
??
b
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
f(x)?0在x?[?
,
?
]
上恒成立
?
?
2a

或
?
或
?
2a2a
??
?
f(
?
)?0
?
?
??0
?
f(
?
)?0
例1 ．设
f
(
x
)
?x
2
?
2
mx?
2
，当
x?[?1,??)
时，
f(x)?m
恒成立，求实 数
m
的取值范围。
解：设
F(x)?x
2
?2mx?2? m
，则当
x?[?1,??)
时，
F(x)?0
恒成立
当
??4(m?1)(m?2)?0即?2?m?1
时，
F(x)?0
显然成立 ；
当
??0
时，如图，
F(x)?0
恒成立的充要条件为：
-1
O
x
y
x

5

?
?
??0
?
?
F(?1)?0
解得
?3 ?m??2
。 综上可得实数
m
的取值范围为
[?3,1)
。
?
?2m
?
???1
2
?
六、构造函数（有时需要 移项和分离）
1）
f(x)?a
恒成立
?a?f(x)
min
2）
f(x)?a
恒成立
?a?f(x)
max

例1．已 知
f(x)
?
7x
2
?
28x
?
a,g( x)
?
2x
3
?
4x
2
?
40x
，当
x?[?3,3]
时，
f(x)?g(x)
恒成立，
求实数a
的取值范围。
解：设
F(x)?f(x)?g(x)??2x
3?3x
2
?12x?c
，
则由题可知
F(x)?0
对任意
x?[?3,3]
恒成立
令
F
'
(
x
)
??
6
x
2
?
6
x?
12
?
0
，得
x??1或x?2

而
F(?1)??7a,F(2)?20?a,F(?3)?45?a,F(3)?9?a ,

∴
F
(
x
)
max
?
45< br>?a?
0

∴
a?45
即实数
a
的取值范围 为
[45,??)
。
x
2
?2x?a
,
x?[1,
??
)
，若对任意
x?[1,??)
，
f(x) ?0
恒成立，求实数
a
的
例2．函数
f(x)?
x
取值范围。
解：若对任意
x?[1,??)
，
f(x)?0
恒成立，
x
2
?2x?a
?
0
恒成立，
即对
x? [1,??)
，
f(x)?
x
考虑到不等式的分母
x?[1,??)
，只需
x
2
?
2
x?a?
0
在
x ?[1,??)
时恒成立而得
而抛物线
g(x)?x
2
?2x?a
在
x?[1,??)
的最小值
g
min
(
x
)
?g
(1)
?
3
?a?
0
得
a??3

a
?2
，讨论其单调性从而求出
f(x)
最小值。 x
111112
例3．已知不等式
?????log
a
(a?1 )?
对于一切大于1的自然数
n
都
n?1n?2n?32n123
注 ：本题还可将
f(x)
变形为
f
(
x
)?
x
?

6

成立，求实数
a
的取值范围．（借助函数的单调性分析）
分析：注意到不等 式仅仅左边是与
n
有关的式子，从函数的观点看，左边是关于
n
的函数，要使原不等式成立，即要求这个函数的最小值大于右式．如何求这个函数的最小值呢？这又是
一个非 常规问题，应该从研究此函数的单调性入手．
解：设
f(n)?
f(n?1)?f( n)?
(
1111
,
(n?
N
,n?2)

????
n?1n?2n?32n
111
1111
???)?
(? ???)

n?2n?32(n?1)
n?1n?2n?32n
1111????
0

2n?12n?2n?1(2n?1)(2n?2)
7
.
12

?
∴
f(n)
是关于
n
(n?
N
,n?2 )
的递增函数，则
f(n)?f(2)
=
∴要使不等式成立，只须
7 12
1?5
?log
a
(a?1)?
，解之得
1?a?.
12123
2
∴实数
a
的取值范围是
1?a?1?5
．
2
以上介绍了求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要 用到两种或两种以上
的方法，应灵活处理．



7

求参数范围问题针对性练习
1、 对于满足|p|
?
2的所有实数p,求使 不等式x
2
+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围。


2、 设函数是定义在
(??,??)
上的增函数，如果不等式
f(1?ax ?x
2
)?f(2?a)
对于任意
x?[0,1]
恒成立，求实数< br>a
的取值范围。



3、 设f(x)=x
2< br>-2ax+2,当x
?
[-1,+
?
)时，都有f(x)
?< br>a恒成立，求a的取值范围。



4、 已知关于x的方程lg( x
2
+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。



5、 已知当x
?
R时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。


1?2
x
?a4
x
6、设
f(x)? lg,
其中
a?R
，如果
x?(??.1)
时，
f(x)< br>恒有意义，求
a
的取值范围。
3

8

求参数范围问题针对性练习答案
1、解：原不等式可化为 (x-1)p+x
2
-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x
2
-2x+1,则原问题等价于f(p)>0
在p∈[-2,2]上恒成立，故有：
?
x?1?0
?
x?1?0
方法一：
?
或
?
∴x<- 1或x>3.
f(2)?0
f(?2)?0
?
?
2
?x?3或x?1
?
f(?2)?0
?
?
x?4x?3?0
方法二：
?
即
?
2
解得：
?

?
?
f(2)?0
?
x?1或x??1
?
x?1?0
∴x< -1或x>3.
2、解：
Qf(x)
是增函数
?f(1?ax?x
2
)?f(2?a)
对于任意
x?[0,1]
恒成立
?1?ax?x
2
?2?a
对于任意
x?[0,1]
恒成立
?x
2
?ax?1?a?0
对于任意
x?[0,1]
恒成立 ，令
g(x)?x
2
?ax?1?a
，
x?[0,1]
，所 以原问题
?g(x)
min
?0
，又
g(x)
min
?
1?a,??????a?0
?
g(0),??????a?0
?
2
?
a
?
?
a
?
?
g(?),?2?a ?0
即
g(x)
min
?
?
??a?1,?2?a?0 易求得
2
?
?
4
?
?
?
2,? ??????????a??2
?
2,???????????a??2
a?1
。
3、解：设F(x)= f(x)-a=x
2
-2ax+2-a.
ⅰ )当
?
=（-2a）
2
-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，即 -2?
[-1,+
?
)，F(x)
?
0恒成立；
ⅱ）当
?
=4（a-1)(a+2)
?
0时由图可得以下充要条件：
?
?
??0
?
( a?1)(a?2)?0
?
?

?
f(?1)?0
即
?
a?3?0
?
?2a
?
a??1,
?
???1 ,
?
?
2
y
-1 o
x
得-3
?
a
?
-2;
综上所述：a的取值范围为[-3，1]。

9

4、解：令T
1
：y
1
= x
2
+20x=（x+10）
2
-100, T
2
：y2
=8x-6a-3,
则如图所示，T
1
的图象为一抛物线，T
2
的图象是一条斜率为定
值8，而截距不定的直线，要使T
1
和T
2
在x轴上有唯一交点，
则直线必须位于l
1
和l
2
之间。（ 包括l
1
但不包括l
2
)
当直线为l
1
时，直线 过点（-20，0）此时纵截距为
-6a-3=160,a=
?
-20 o
l
2
x
l
1
y
l

163
;
6
1
2
∴a的范围为[
?
当直 线为l
2
时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=
?
1163
，
?
）。
6
2
5、方法一）分析：在不等式中 含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（x
?
R）来求另一
变量a的范围，故可考 虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。
解：原不等式
?4sinx+cos2x<-a+5

当x
?
R时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立
?-a+5>(4sinx+cos2x)max
设
f(x)=4sinx+cos2x
则
f(x)= 4sin x+cos2x=-2sin
2
x+4sinx+1=-2(sinx-1)
2
+3 ?3

∴
-a+5>3?a<2

方法二）题目中出现了s inx及cos2x，而cos2x=1-2sin
2
x,故若采用换元法把sinx
换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。
解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化为
a+1-2sin
2
x <5-4sinx,令sinx=t,则t
?
[-1,1],
?
不等式a+ cos2x<5-4sinx恒成立
?
2t
2
-4t+4-a>0,t
?
[-1,1]恒成立。
设f(t)= 2t
2
-4t+4-a，显然f (x)在[-1，1]内单调递减，
f(t)
min
=f(1)=2-a,
?
2-a>0
?
a<2
6、分析：如果
x?(??.1)
时 ，
f(x)
恒有意义，则可转化为
1
?
2
x
?a< br>4
x
?
0
恒成立，即参数分
1?2
x
离后< br>a??
x
??(2
?x
?2
?2x
)
，x?(??.1)
恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。
4

10

解：如果
x?(??.1)
时，
f(x)
恒有意义
?
1
?
2
x
?a
4
x
?
0
，对< br>x?(??,1)
恒成立.
1?2
x
?a??
x
? ?(2
?x
?2
?2x
)
x?(??.1)
恒成立。 4
11
令
t?
2
?x
，
g(t)??(t?t
2
)
又
x?(??.1)
则
t?(,??)
?a? g(t)
对
t?(,??)
恒成立，又
22
上为减函数，
g (t)
133
max
?g(
2
)??
4
，
?a??
4
。
11
1
Qg(t)在
t?[,??)
2