高考数学函数知识点归纳总结

一、函数的概念与表示
1、映射:设A、B是两个集合，如果按照某种 映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的
元素和它对应，则这样的对应（包括集 合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：
A→B。注意点:判断一个对 应是映射的方法:可多对一，不可一对多，都有象，象唯一.

2、函数:如果A,B都是非空 的数集，那么A到B的映射f：A
?
B就叫做A到B的函数，记作
y?f(x)
,其中
x?A,y?B
.原像的集合A叫做函数
y?f(x)
的定义域.由 所有象f(x)构成的集合叫做
y?f(x)
的值域，显
然值域是集合B的子集.
构成函数概念的三要素: ①定义域(x的取值范围)②对应法则（f）③值域（y的取值范围）
两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应关系完全一致.
二、函数的定义域、解析式与值域
1、求函数定义域的主要依据：
（1）整式的定义域是全体实数；
（2）分式的分母不为零；
（3）偶次方根的被开方数大于等于零；
（4）零取零次方没有意义（零指数幂的底数不为0）；
（5）对数函数的真数必须大于零；
（6）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
（7）若函数
y?f(x )
是一个多项式，需要求出各单项式的定义域，然后取各部分结果的交集；
（8）复合函数的定义域：
若已知
f(x)
的定义域
[a, b]
，求复合函数
f(g(x))
的定义域，相当于求使
g(x)?[a,b ]
时
x
的取值范围；
若已知复合函数
f(g(x))
的定义域，求
f(x)
的定义域，相当于求
g(x)
的值域.
2求函数值域的方法
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；
②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合
y?ax?b?cx?d
的形式；
③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分子或分母为二次且
x
∈R的分式；
此种类型不拘泥于判别式法，如
y?
bbx
的形式 可直接用不等式性质；可先化简再用均
y?
22
a?kax?mx?n
ax< br>2
?m
?
x?n
?
x
2
?m
?x?n
?
值不等式；
y?
通常用判别式法；
y?
可用判别式法或均值不等式；
2
mx?n
x?mx?n
④分离常数：适合分 子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；

⑥图象法：1.二次函数必画草图求其值域；在给定区间上求最值有两类：
闭区间
?
a,b
?
上的最值；
求区间动（定），对称轴定（动）的最值问题；
注意“两看”：一看开口，二看对称轴与给定区间的位置关系.
2
-1
-
1
.

2.注意
y?ax?< br>b
bb
(a?0,b?0)
型函数的图像在单调性中的应用：增区间为
(??,?]
，
[,??)
，减区间
x
aa
为
[?

bb
,0)
，
(0,]
；
aa

⑦利用对号函数：
y?x?
1
（如右图）；
x

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域.主要是含绝对值函数
三．函数的奇偶性
1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意
x
∈A，都有
f(?x )?f(x)
，则称y=f(x)为偶函数.
如果对于任意
x∈A，都有
f(?x)??f(x)
，则称y=f(x)为奇函数.
2.性质：
①y=f(x)是偶函数
?
y=f(x)的图象关于
y
轴对称, y=f(x)是奇函数
?
y=f(x)的图象关于原点对称;
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0;
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D
1
，D
2
，D
1
∩D
2
要关于原点对称]
3．奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称;②看f(x)与f(-x)的关系或观察函数图像的对称关系；
4，复合函数的奇偶性：“内偶则偶，内奇同外”
四、函数的单调性
作用：比较大小，解不等式，求最值.
1、函数单调性的定义：如果对于定义域I内的某个区 间D上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f
?
x2
??
f(x
1
)?f
?
x
2
??< br>，那么就称函数
f(x)
在区间D上是增函数（减函数），区间D叫
y?f(x )
的单
调区间. 图像特点：增函数：从左到右上升（y随x的增大而增大或减小而减小）；
减函数：从左到右下降（y随x的增大而减小或减小而增大）；
f(x
1
)?f(x
2
)
2.判断单调性方法：①定义法
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b?
上是减函数.
x
1
?x
2
②观察法：根据特殊函数图像特点；
③掌握规 律：对于两个单调函数
f(x)
和
g(x)
，若它们的定义域分别为
I
和
J
，且
I?J??
：
(i)当
f(x)
和
g(x)
具有相同的增减性时，
①< br>F
1
(x)?f(x)?g(x)
的增减性与
f(x)
，g(x)
相同，
②
F
2
(x)?f(x)?g(x)
、
F
3
(x)?f(x)?g(x)
、
F
4
(x) ?
.
f(x)
(g(x)?0)
的增减性不能确定；
g(x)

(ii)当
f(x)
和
g( x)
具有相异的增减性时，我们假设
f(x)
为增函数，
g(x)
为 减函数，那么：
①
F
1
(x)?f(x)?g(x)
的增减性不能确定；
②
F
3
(x)?f(x)?g(x)
、
F
4
(x) ?
f(x)g(x)
(g(x)?0)
为增函数；
F
5
(x )?(f(x)?0)
为减函数.
g(x)f(x)
3.奇偶函数的单调性
奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。 < br>4.复合函数单调性的确定（同增异减）：
y?f
?
g
?
x< br>?
?
是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则
y?f?
g
?
x
?
?
在M上是减函数；若f(x)与g(x) 的单调性相同，则
y?f
?
g
?
x
?
?
在 M上是增函数.
五、函数的对称性
函数

y?f(x)
的图象的对称性（自身）

1.函数
y?f(x)的图象关于直
x?
a?b
对称
?f(a?x)?f(b?x)
? f(a?b?x)?f(x)

2
特殊的有：①函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)
?f(2a?x )?f(x)
.
②函数
y?f(x)
的图象关于
y
轴对称 （奇函数）
?f(?x)?f(x)
;
③函数
y?f(x?a)
是 偶函数
?f(x)
关于
x?a
对称;
2.函数
y?f(x )
的图象关于点
(a,b)
对称
?
特殊的有：
① 函 数
y?f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称
?
f(x)? 2b?f(2a?x)
?
f(a?x)?f(a?x)?2b
.
f(x)??f(2a?x)
?f(x)?f(2a?x)?0
;
② 函数
y?f(x)
的图象关于原点对称（奇函数）
?f(?x)??f(x)
;
③ 函数
y?f(x?a)
是奇函数
?f(x)
关于点
?< br>a,0
?
对称.
④ 若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称.
两个函数图象的对称性:
①函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称;
②函数
y?f(mx?a)
与函数y?f(b?mx)
的图象关于直线
x?
a?b
对称
2m
特殊地:
y?f(x?a)
与函数
y?f(a?x)
的图象关于直线
x?a
对称;
③函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称的解析式为
y?f(2a?x)
;
④函数
y? f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称的解析式为
y??f(2a?x);
.

⑤函数
y?f(x)
与
a?x?f(a?y)
的图像关于直线
x?y?a
成轴对称
函数
y?f(x)
与
x?a?f(y?a)
的图像关于直线
x-y?a
成 轴对称
函数
y?f(x)
的图像与x = f (y)的图像关于直线
x?y
成轴对称.
六．函数的周期性：
1．定义 若
f(x?T)?f(x)(T?0)?
f(x)
是周期函数，T是它的一个周期.
说明：nT也是
f(x)
的周期。推广：若
f(x?a)?f(x?b)，则
f(x)
是周期函数，
b?a
是它的一个周期
结论1：如 果
f(x?a)?f(x?b)
（
a?b
），那么
f(x)
是周期函数，其中一个周期
T?a?b

结论2：如果
f(x?a)??f( x?b)
（
a?b
），那么
f(x)
是周期函数，其中一个周期T?2a?b

结论3：如果定义在
R
上的函数
f(x)
有两条对称轴
x?a
、
x?b
对称，那么
f(x)
是周期 函数，其中一个周
期
T?2a?b

结论4：如果偶函数
f(x)< br>的图像关于直线
x?a
（
a?0
）对称，那么
f(x)
是周期函数，其中一个周期
T?2a

结论5：如果奇函数
f(x)
的图像关于直线
x?a
（
a?0
）对称，那么
f(x)
是 周期函数，其中一个周期
T?4a

结论6：如果函数同时关于两点
?
a,c
?
、
?
b,c
?
（
a?b
）成中 心对称，那么
f(x)
是周期函数，其中一个周期
T?2a?b

结 论7：如果奇函数
f(x)
关于点
?
a,c
?
（
a ?0
）成中心对称，那么
f(x)
是周期函数，其中一个周期
T?2a

结论8：如果函数
f(x)
的图像关于点
?
a,c
?< br>（
a?0
）成中心对称，且关于直线
x?b
（
a?b
）成轴对称，
那么
f(x)
是周期函数，其中一个周期
T?4a?b

结论9：如果
f(x?p)?
结论10：如果
f(x?
11
或
f(x?p)??
，那么
f(x)
是周期函数，其中一个周期
T? 2p

f(x)
f(x)
p1?f(x)p1?f(x)
)?
或
f(x?)?
，那么
f(x)
是周期函数，其中一个周期
T?2 p

21?f(x)21?f(x)
结论11：如果
f(x?p)??f(x )
，那么
f(x)
是周期函数，其中一个周期
T?2p

七、反函数
1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；
2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。
3、关于反函数的性质
-1
（1）y=f(x)和y=f(x)的图象关于直线y=x对称；
-1
（2）y=f(x)和y=f(x)具有相同的单调性；
-1-1
（3 ）已知y=f(x)，求f(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f(a)；
-1
（4）f[f(x)]=x;
--1
（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f(x)的图象上；
--1
（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f(x)的图象的交点一定在直线y=x上;
八．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
.

一般式：
y?ax?bx?c?0(a?0)
；
2
b
2
4ac?b
2
)?(a?0)
； 顶点式：
y?a（x?
2a4a
零点式：
y?a（x?x
1
)(x? x
2
)(a?0)

2
2
1．二次函数f(x)=ax+b x+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴
x?
?b
，顶点坐标
(?b
,
4ac?b
)

2a
2a4a
a?0
，开口向上，
a?0
，开口向下
2．二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)的根为二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0)
y?0
的
x
的取值 .
2
2
韦达定理：
x
1
?x
2
??2
bc
,x
1
?x
2
?

aa
3.一元二次不等式
ax?bx?c?0(?0)
的解集(a>0)



二次函数
Y=ax+bx+c (a>0)
2
△情况
△=b-4ac
22
一元二次不等式解集
ax+bx+c>0 (a>0) ax+bx+c<0 (a>0)
2
△>0

图
象
与
解

?
xx?x或x?x
?

12
?
xx
1
?x?x
2
?

△=0
?
xx?x
?

0
?

△<0 R
?



九、指数式与对数式
1．幂的有关概念
?n
(1)零指数幂
a?1(a?0)
； (2)负整数指数幂
a?
0
1
a?0,n?N
?
?

n
?
a
(3)正分数指数幂
a?
m
n
n< br>a
m
?
a?0,m,n?N
?
,n?1
?
；
.

(4)负分数指数幂
a
m
?< br>n
?
1
a
m
n
?
1
n
a< br>m
?
a?0,m,n?N,n?1
?

?
(5) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2．有理数指数幂的性质
?
1
?
a
r
a
s
?a
r?s
?
a ?0,r,s?Q
?

?
2
?
?
a
r?
?a
rs
?
a?0,r,s?Q
?

?< br>3
??
ab
?
?a
r
b
r
?
a?0,b?0,r?Q
?

s
r
3．根式 根式的性质: 当
n
是奇数，则
n
a
n
?a
；当
n
是偶数，则
n
a
n
?a?
?
4．对数
?
a
?
?a
a?0
a?0

b
( 1)对数的概念:如果
a?N(a?0,a?1)
,那么b叫做以a为底N的对数,记
b?log
a
N(a?0,a?1)


(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ②
log
a
1?0
③
log
a
a?1


(3)对数的运算性质
①
log
a
MN?log
a
M?log
a
N
②
对数换底公式：
log
a
N?

log
m
N
(N?0,a?0且a?1,m?0且m?1)

log
m
a
n
对数的降幂公式：
log
a
mN?
（4）三个常用结论：①
a
log
a
x
n
log
a
N(N?0,a?0且a?1)

m
?x
；②log
a
a
x
?x
；③
log
a
b? log
b
a?1
.
十、指数函数与对数函数
x
1、 指数函数y=a与对数函数y=log
a
x (a>0 , a≠1)互为反函数
名称
一般形式
定义域
值域
过定点
x
指数函数
y=a (a>0且a≠1)
(-∞,+ ∞)
(0,+ ∞)
（０，1）
x
对数函数
y=log
a
x (a>0 , a≠1)
(0,+ ∞)
(-∞,+ ∞)
（1，０）
指数函数y=a与对数函数y=log
a
x (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称
图象

a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数
y>1 ? y<1?

a>1,在(0,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数
y>0? y<0?
单调性
值分布

指数函数图像分布 规律：
a?1
时，
a
越大函数图像在y轴右侧越靠近y轴；

0?a?1
时，
a
越小函数图像在y轴左侧越靠近y轴；
对数函数 图像分布规律：
a?1
时，
a
越大函数图像在x轴上方越靠近x轴；
.

0?a?1
时，
a
越小函数图像在x轴下方越靠近x轴；







2. 比较两个幂值的大小，是一类 易错题，解决这类问题，首先要分清底
数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性； 指数相同，可以利用指数函数的底数与图象
关系（对数式比较大小同理）
3.研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制
4.指数函数 与对数函数中的绝大部分？问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单
调性是 解决问题的重要途径
幂函数：一般地，形如
y?x(n?R)
的函数称为幂函数，其中n为常数.
图像及性质：
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原
因：
1?1
）；所有的幂函数在第四象限没有图像.
（2）n＞0时，幂函 数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从
左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地， 当
n?1
时，图像下凸，当
0?n?1
时，图像上凸；
（3）n＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一象限内，当
x< br>向原点靠近时，图象在
y
轴的右方无限逼近
y
轴正
半轴，当< br>x
慢慢地变大时，图象在
x
轴上方并无限逼近
x
轴的正半轴.

十一．函数的图象变换1、平移变换：（左+ 右- ，上+ 下- ）即
?0 ,右移;h?0,左移
y?f(x)?
h
??????y?f(x?h)
x< br>n
y?f(x)???????y?f(x)?k
2、对称变换：（对称谁，谁不变，对 称原点都要变）
x轴
y?f(x)???y??f(x)
y轴
y?f(x) ???y?f(?x)
k?0,下移;k?0,上移

y?f(x)?
原点< br>???y??f(?x)
y?x
y?f(x)????y?f
?1
(x )

y轴右边不变，左边为右边部分的对称图
y?f(x)???????????? y?f(x)
x轴上方图，将x轴下方图上翻
y?f(x)?
保留
????? ?????y?f(x)
十二．函数的其他性质
1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达 ：
f(x
1
)?f(x
2
)f(x
1
)?f(x< br>2
)
?0
单调递增；
?0
单调递减
x1
?x
2
x
1
?x
2
2．函数的奇偶性也可以 通过下面方法证明：
f(x)?f(?x)?0
奇函数；
f(x)?f(?x)?0
偶函数
.

3．函数的凸凹性：
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
凹函数（图象“下凹”，如：指数函数）
)?
22
x?xf(x
1
)?f(x
2
)
凸函数（图象“上凸”，如：对数函数）
f(
12
)?
22
f(< br>十三．函数的应用
:
二次函数与二次方程的关系：
设一元二次方程
a x?bx?c?0(a?0)
的两个不等根为
x
1
,x
2
， 且
x
1
?x
2
，相应的二次函数
2
y?ax2
?bx?c(a?0)
.方程的根即为二次函数图像与x轴的交点，他们的分步情况如下 ：
分布情况 函数图像

两个负根
y
x
二次函数法 二次方程法
x
1
?x
2
?0

?
??0
?
b
?
?0

?
?2a
?
?
?
f(0)?0
?
?
??0
?
?
b
?
??0

?
a
?
c
?0
?
?
a

y
两个正根
0?x
1
?x
2

x
?
??0
?
b
?
?0

?
?2a
?
?
?
f(0)?0
?
?
??0
?
?
b
?
??0

?
a
?
c?0
?
?
a
一正根，一负根
x
1
?0?x
2


两根都小于k

y
?
??0

?
?
f(0)?0
???0
?
b
?
?k

?
?
2a
?
?
?
f(k)?0
?
??0
?
b
?< br>?k

?
?
?
2a
?
?
f(k)? 0
?
??0
?

?
c
?0
?
?< br>a
x
1
?x
2
?k


y

k
x
两根都大于k
k?x
1
?x
2


k
y

x
一个大于k，一个小于k
x
1
?k?x
2

k
x
?
??0

?
f(k)?0
?

.

y
两根都在（m,n）内
m?x
1
?x
2
?n

m
n x
?
??0
?
b
?

?n
?
m??
2a
?
?
?
f(m)?0,f(n)?0

两根只有一个在（m,n）
内

y
f(m)f(n)?0

m

y
n

x
1
?m?x
2
?n

一根在（m,n）内，
令一根在（p,q）内
f(m)?0,f(n)?0


m
n pq
f(p)?0,f(q)?0

函数零点问题：
对于函 数
y?f(x)
，把使
f(x)?0
的实数
x
叫做函数y?f(x)
的零点.
零点存在性定理：如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)?f(b)?0
，那么 函
数
y?f(x)
在区间（a,b）内有零点，即存在
c?(a,b)
使
f(c)?0
，这个c也就是方程
f(x)?0
的根.
（1）利用函数图像解决函数零点问题（转化为函数交点问题）；
（2）利用零点性质求参数取值范围.
导数及其应用：
一.
利 用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明
确 导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，切点既在切线上又在曲线上．
注意：1.“过某点的切线 ”中的某点可以不在曲线上，而“在某点的切线”中的某点一定在这条曲线上；过某
点的切线条数可能是 不止一条，但在某点的切线条数必定唯一.
2.曲线的切线与这条曲线的公共点可能不唯一，只是在 切点的邻近区域才是唯一的，当曲线是二次曲线时，公
共点只有一个；当曲线为其他曲线时，公共点可能 有多个,如曲线
y?x
在点（1,1）处的切线与该曲线有两个
公共点（1,1），（ -2，-8）
二．利用导数求函数单调区间、极值、最值
利用导数研究函数的单调性和极、 最值问题已成为高考考查的热点．解决该类问题要明确：极值点一定是导数
为零的点，但导数为零的点不 一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值点（例如
y?x(x?0
是导数
为零 的点但不是极值点；求单调区间时要注意函数定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可．
核心考点：
1.含参函数的单调性（区间）与极值、最值
思路提示：第一步，求函 数定义域；第二步，求导函数；第三步，以导函数的零点存在性进行讨论；第四步，
当导函数存在多个零 点时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系；第五步，判断导函数符号，从而得出函
.
3
3

数的单调性；第六步，综合上述讨论下结论.
2.含参函数在区间上具有单调性、无单调性或存在单调区间，求参数范围
思路提示：①已知 函数
f(x)
在区间上单调递增或单调递减，转化为
f
?
(x)?0
或
f
?
(x)?0
恒成立；先分析导
函数图像形式和特点， 如一次函数最值落在端点，开口向上抛物线最大值落在端点，考口向下抛物线最小值落
在端点等； ②已知区间上函数不单调，转化为在区间上存在极值（即导函数在区间上存在变号零点），可利用分离变量法
求解参变量范围；或者利用补集思想；
③已知函数在区间上存在单调增或减区间，转化为导函数在区间上大于或小于零有解.
3.方程解（函数零点）的个数问题
思路提示：研究函数
f(x)
的零点问 题常常与研究对应方程
f(x)?0
的实根问题相互转化
已知含参函数
f( x)
存在零点求参数范围问题一般对
f(x)?0
进行参变分离，得到
a?g (x)
的形式，则所求a
的范围就是
g(x)
的值域；
当研究函数
f(x)
零点个数问题时，要借助数形结合.
4.不等式恒成立与存在性问题
思路提示：1.在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的 取值范围，一般转化为函数的最值或值域问题，可
采用“分离常数”或“直接移项构造辅助函数”。 < br>（1）若函数
f(x)
在区间D上存在最小值
f(x)
min
和最大值
f(x)
max
，则：
①不等式
f(x)?a
在 区间D上恒成立
?
f
(
x
)
min
?a
；
②不等式
f(x)?a
在区间D上恒成立
?
f
(
x
)
min
?a
；
③不等式
f(x)?b
在区间D 上恒成立
?
f
(
x
)
max
?b
； ④不等式
f(x)?b
在区间D上恒成立
?
f
(
x)
max
?b
；
（2）若函数
f(x)
在区间D上不存在最大（小）值，且值域为（m,n），则：
①不等式
f(x)?a
（或
f(x)?a
）在区间D上恒成立
?
m?a

②不等式
f(x)?b
（或
f(x)?b）在区间D上恒成立
?
n?b

思路提示2：
（1）若函数< br>f(x)
在区间D上存在最小值
f(x)
min
和最大值
f( x)
max
，则对不等式有解问题有以下结论：
①不等式
a?f(x)在区间D上有解
?
a?f(x)
max
；
②不等式
a ?f(x)
在区间D上有解
?
a?f(x)
max
；
③不 等式
a?f(x)
在区间D上有解
?
a?f(x)
min
；
④不等式
a?f(x)
在区间D上有解
?
a?f(x)
mi n
；
（2）若函数
f(x)
在区间D上不存在最大（小）值，且值域为（m ,n），则对不等式有解问题有以下结论：
①不等式
a?f(x)
（或
a? f(x)
）在区间D上有解
?
a?n

②不等式
b?f(x )
（或
b?f(x)
）在区间D上恒成立
?
b?m

.

思路提示3：
对于任意的
x
1
?[a,b]
，总存在
x
2
?[m,n]
，使
f (x
1
)?g(x
2
)?f(x
1
)
min
?g(x
2
)
min

对于任意的
x
1
?[a,b]
，总存在
x
2
?[m,n]
，使
f(x
1
)?g(x
2
)?f(x
1
)
max
?g(x
2
)
max

对于任意的
x
1
?[a,b ]
，
x
2
?[m,n]
，使
f(x
1
)? g(x
2
)?f(x
1
)
min
?g(x
2
)
max

对于存在
x
1
?[a,b]
，任意的
x
2
?[m,n]
，使
f(x
1
)?g(x
2
)?f(x
1
)
min
?g(x
2
)
min

5.利用导数证明不等式
思路提示：
构造辅助函数，把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式
构造辅助函数的一般方法及解题程序如下：
（1）移项，使不等式的一端为0，另一端即为所作的辅助函数；
（2）求导函数，并验证函数在指定区间上的单调性；
（3）求出区间端点的函数值（或最值），作比较即可.
.