高一数学函数的零点与二分法教案

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一. 教学内容：
函数的零点与二分法

二. 学习目标
1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。
2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系；
3、通过具 体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，
从中体会函数与方程之 间的联系及其在实际问题中的应用．
4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想 ；体验探究的过程、发现
的乐趣。

三. 知识要点
1、函数的零点 < br>一般地，如果函数
y?f(x)
在实数
a
处的值等于零，即
f (a)?0
，则
a
叫做这个函数的
零点。
归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。
说明：
（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零；
（2）对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论；
（3）方程的根、函数的图象与
x
轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不
同的表现形式
2、函数零点的意义：
函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x) ?0
的实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的
横坐标．
归纳：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f (x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有 零
点．
3、函数零点存在性的判定方法
对于函数相对应的方程能求解的，可以直接 求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对
于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？ < br>如果函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有
f(a)?f(b)?0
，
那么，函数
y?f( x)
在区间
?
a,b
?
内有零点.即存在
c?
?< br>a,b
?
，使得
f(c)?0
，这个
c
也就是方程
f(x)?0
的根。
说明：（1）函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上有定义；
（2）函数的图象是连续不断的一条曲线；
（3）函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
两端点的函数值必须满足
f(a)?f(b)?0
；
（4）函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点，但不唯一；
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（ 5）用判定方法验证函数
f(x)?x
，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方法。
4、函数零点的求法：
Ⅰ：可以解方程
f(x)?0
而得到（代数法）；
Ⅱ：可以将它与函数y?f(x)
的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（几何法）
2
5、二次函数零点的判定
二次函数
y?ax
2
?bx? c
的零点个数，方程
ax
2
?bx?c?0
的实根个数见下表。
判别式 方程的根 函数的零点
??0

两个不相等的实根 两个零点
??0

两个相等的实根 一个二重零点
??0

无实根 无零点
6、二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（变号零点），函数值变号。
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。
引申：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立。
7、二次函数的零点的应用
①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图。
②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。
注：二次函数的零点的应用可推广到一般函数。
8、用二分法求函数零点的一般步骤： 第一步：在
D
内取一个闭区间
?
a
0
,b
0< br>?
?D
，使
f
?
a
0
?
与
f
?
b
0
?
异号，
f
?
a
0?
?f
?
b
0
?
?0
，零点位于区间
?
a
0
,b
0
?
中。

第二步：取区间< br>?
a
0
,b
0
?
的中点，则此中点对应的坐标为
x
1
0
?a
0
?
2
?
b ?a
1
00
?
?
2
?
a
0
?b< br>0
?
。

计算
f
?
x
0
?
和
f
?
a
0
?
，并判断：

①如 果
f
?
x
0
?
?0
，则
x
0就是
f
?
x
?
的零点，计算终止；

②如果< br>f
?
a
0
?
?f
?
x
0
?
?0
，则零点位于区间
?
a
0
,x
0
?< br>中，令
a
1
?a
0
,b
1
?x
0< br>；

③如果
f
?
a
0
?
?f
?
x
0
?
?0
，则零点位于区间
?
x
0
,b
0
?
中，令
a
1
?x
0
,b
1
?b
0

第三步：取区间
?
a
1
,b
1
?
的中点，则此中点对应的坐标为

x
1
?a
1
?
1
2
?
b
1
1
?a< br>1
?
?
2
?
a
1
?b
1
?
。

计算
f
?
x
1
?
和
f
?
a
1
?
，并判断：

①如果
f
?
x
1
?
?0
，则
x
1
就是
f
?
x
?
的零点，计算终止；

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即

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②如果
f
?
a
1
?
?f
?
x
1
?
?0
，则零 点位于区间
?
a
1
,x
1
?
中，令
a2
?a
1
,b
2
?x
1
；

③如果
f
?
a
1
?
?f
?
x
1< br>?
?0
，则零点位于区间
?
x
1
,b
1?
中，令
a
2
?x
1
,b
2
?b1

??

继续实施上述步骤，直到区间
?
a
n
,b
n
?
，函数的零点总位于区间
?
a
n
,b
n
?
上，当
a
n
和
b
n
按
照给定的精确度索取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数
y?f
?
x
?
的近似零点，计
算终止。这时函数
y?f
?
x
?
的近似零点满足给定的精确度。


【典型例题】
1
?3?x
x
例1. 利用二分法求方程的一个近似解（精确到0.1）。
1
1
f(x)??x?3?3?x
x
解：设，则求方程
x< br>的一个近似解，即求函数
f(x)
的一个近似零
点。



∵
用二分法逐次计算，列表如下：

端点（中点）坐标

x
0
?2.5

计算中点的函数值

f(2.5)??0.1?0

取区间
?
2,3
?

f(2)??
1
1
?0f( 3)??0
2
3
，，∴取区间
?
2,3
?
作为计算 的初始区间。
x
0
?2.75

x
0
?2.625

x
0
?2.5625





f(2.75)?0.11?0

f(2.625)?0.006?0

f(2.5625)??0.047?0

?
2.5625,2.625
?

?
2.5,2.75
?

?
2.5,2.625
?

?
2.5,3
?

∵区间
?
2.5625,2.6 25
?
的左右端点精确到0.1所取的近似值都是2.6，
∴函数
f(x)
满足题设的一个近似零点是2.6
1
?3?x
故方程
x
满足题设的一个近似解是2.6
评析 ：利用二分法可以求方程（两曲线交点横坐标）的近似解。利用二分法求函数的变号
零点时，只需按照方 法步骤机械地重复计算。直至求出满足题设要求的一个近似零点为止。

2
例2. 二次函数
y?ax?bx?c(x?R)
的部分对应值如下表：

－4
6 0 0 6
则使函数值大于0的自变量的取值集合是___________。
解：由上表提供信息，知函数的零点是－2，3，且开口向上，借助二次函数示意图可得函
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x

y

－3 －2 －1
0
－6
1
－6
2
－4
3 4

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数值大于0的自变量的取值集合是
(??,?2)?(3,??)

评析：分析图表，得到函数零点，开口方向是解题关键。

例3、已知函数
f(x)?x?2x?5x?6
的一个零点为1
（1）求函数的其他零点；
（2）求函数值大于0时自变量
x
的取值范围。
232
解：（1）由题意，设
f(x)?(x?1)(x?mx?n)?x?(m?1 )x?(n?m)x?n
，
32




?m?1??2
?
?
n?m??5
?
∴
?
?n? 6

?
m??1
?
解得
?
n??6
< br>2
令
f(x)?0
，即
(x?1)(x?x?6)?0
，解得
x?
1，－2，3
∴函数的其他零点是－2，3
（2）函数的三个零点将
x
轴分成4个区间：
(??,?2]
，< br>(?2,1]
，
(1,3]
，
(3,??]

作出函 数的示意图，观察图象得函数值大于0时自变量
x
的取值范围是：
(?2,1)?(3 ,??)

评析：（1）函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x) ?0
的实数根，方程有几个实数根函数就有
几个零点，方程没有实数根，函数就没有零点；（2 ）借助函数零点作出函数的示意图，借助图
象可求出函数值大于或小于零时自变量的取值范围（即不等式
f(x)?0
或
f(x)?0
的解集）。

例4. 若二 次函数
y??x?mx?1
的图象与两端点为
A(0,3),B(3,0)
的 线段AB有两个不同
的交点，求实数m的取值范围。
解：线段AB的方程是
x?y?3(0?x?3)

2
?
x ?y?3
?
2
y??x?mx?1
在
0?x?3
上有两组实 数解
?
由题意，得方程组
2
解得：
x?(m?1)x?4?0在
0?x?3
上有两个实根
2
令
f(x)?x?(m?1)x ?4
，则二次函数
f(x)
在
0?x?3
上有两个零点。
∴
?
??(m?1)
2
?16?0
?
m?1
??3
?
0?
?
2
?
f(0)?4?0
?
?
?
f(3)?9?3(m?1)?4?0
解得
3?m?
103

?
10
?
?
3,
?
故实数
m
的取值范围是
?
3
?

本讲涉及的主要数学思想方法
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1. 在对二次函数的零点与方程的根的关系的研究过程中，体会由特殊到一般的思维方法。
2. 通过由零点的性质作函数图象的过程及函数零点的性质的总结，渗透“数形结合”的思
想方法。
3. 体验求函数零点的近似解的常用方法——二分法求函数零点近似解的过程，初步体会数
形 结合、逼近、近似算法等重要数学思想方法，提高学习数学知识的综合应用能力。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1、方程lg
x
＋x＝0的根所在的区间是（ ）
A. （－∞，0） B. （0，1） C. （1，2） D, （2，4）
2
2、若函数f(x)?ax?b
的零点是2，则函数
g(x)?bx?ax
的零点是（ ）
1
11
??
A. 0，2 B. 0，
2
C. 0，
2
D. 2，
2

3、已知偶函数f（x）的图象与x轴共有四个交点，则函数f（x）的所有零点之和等于（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
32
**4、若函数
f(x)?x?x?2x?2
的一个正数零点 附近的函数值用二分法计算，其参考数
据如下：
f（1）＝－2
f（1.375）＝－0.260
f（1.5）＝0.625
f（1.4375）＝0.162
f（1.25）＝－0.984
f（1.40625）＝－0.054
32
那么方程
x?x?2x?2?0
的一个近似根（精确到0.1）为（ ）．
A. 1.4 B. 1.3 C. 1.2 D. 1.5
5、函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
的零点为2，3，若2＜x＜3,则f （x）的值（ ）
A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法确定正负
2
?
x
2
?bx ?c,x?0,
若f(?4)?f(0),f(?2)??2,
*6
、设函数
f(x)?
?
则关于
x
的方程
2,x?0.
?
f( x)?x
解的个数为（

）个

A. 1 B. 2 C. 3

二、填空题
2
D. 4
*7、若函数
f( x)?x?ax?b
的两个零点是2和
?4
，则实数
a
、
b
的值为_________。
8、若方程ax
2
－x－1＝0在（0，1） 内有解，则实数a的取值范围是_____。
**9、若函数?（x）＝x
2
－ax －b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx
2
－ax－1的零点是
______ 。

三、解答题
*10、已知二次函数?（x）＝x
2
－（m－ 1）x＋2m在区间[0,1]上有且只有一个零点，求实数
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m的取值范围。
32
11、求函数
f(x)?x?x?3x?3
的零点。
x
2
?2x?a
x
**12、已知函数f（x）＝,x∈［1,＋∞
)

1
（1）当a＝
2
时，求函数f（x）的最小值。
（2）若对任意x∈［1,＋∞
)
,f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围。

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试题答案
1、B
2、C
3、D
4、A
5、B
6、C
7、a＝2,b＝8
8、解：f（0）?（1）＜0,则a＞2
11
?,?
9、
23

10、解：[－2，0]
11
、解：
f(x)?x
3
?x
2
?3x?3?x
2
(x?1)?3(x?1)?(x?1)(x
2
?3)

?(x?1)(x?3)(x?3)?0
，
，?3，3
。 ∴函数的零点为
?1
1
1
12、（1）解：当a＝
2
时，f（x）＝x＋< br>2x
＋2

∵f（x）在区间［1，＋∞上为增函数，
7
∴f（x）在区间［1，＋∞
)
上的最小值为f（1）＝
2
。
（2）解法一：在区间［1，＋∞
)
上，
x
2
?2x?a
x
f（x）＝＞0恒成立
?
x
2
＋2x＋a＞0恒成立。
设y＝x
2
＋2x＋a,x∈［1,＋∞
)

∵y＝x
2
＋2x＋a＝（x＋1）
2
＋a－1递增，
∴ 当x＝1时，y
min
＝3＋a,当且仅当y
min
＝3＋a＞0时，函数f （x）＞0恒成立，
故a＞－3。
a
解法二：f（x）＝x＋
x
＋2,x∈［1,＋∞
)

当a≥0时，函数f（x）的值恒为正；
当a＜0时，函数f（x）递增，故当x＝1时，f（x）
min
＝3＋a,
当且仅当f（x）
min
＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故a＞－3。



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