高中数学之三角函数类型题

高中数学之三角函数类型题：
1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．
解：因为
tanx?
sinx
?2
，又sin
2
x ＋cos
2
x=1，
cosx
?
sinx?2cosx
，
联立得
?
2

2
sinx?cosx?1
?
?
25
?
25
?
sinx?
?
sinx???
5
?
5
解这个方程组得
?
,
?
.< br>
5
?
5
?
cosx?cosx??
?
5< br>?
5
??
2．求
tan(?120
?
)cos(21 0
?
)sin(?480
?
)
tan(?690)sin(?150 )cos(330)
???
的值．
解：原式
tan(?120
?
?180
?
)cos(180
?
?30
?
)sin (?360
?
?120
?
)
?

tan(?720
?
?30
o
)sin(?150
?
)cos(360
?
?30
?
)
tan60
?
(?cos30
?< br>)(?sin120
?
)
???33.

tan30
?
(?sin150
?
)cos30
?
3．若
sinx?c osx
?2,
，求sinxcosx的值．
sinx?cosx
sinx?cosx
?2,

sinx?cos x
解：法一：因为
所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，
得到si nx=－3cosx，又sin
2
x＋cos
2
x=1，联立方程组，解得
?
310
?
310
sinx?sinx??
??
?
10
?
10

，，
??
10
?
1 0
?
cosx??cosx?
?
10
?
10
??< br>3
?

10
sinx?cosx
法二：因为
?2,

sinx?c osx
所以
sinxcosx??
所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx )，
所以(sinx－cosx)
2
=4(sinx＋cosx)
2
，
所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，
所以有
sinxcosx??
3
?

10
4．求证 ：tan
2
x·sin
2
x=tan
2
x－sin
2
x．
证明：法一：右边＝tan
2
x－sin
2
x=t an
2
x－(tan
2
x·cos
2
x)=tan
2
x(1－cos
2
x)=tan
2
x·sin
2
x，问题

得证．
法二：左边=tan
2
x·sin
2
x=tan
2
x(1－cos
2
x)=tan
2
x－tan
2
x·cos
2
x=tan
2
x－sin
2
x，问题得证．
5．求函数
y?2sin(?
x
2
π
)
在区间[0，2??]上的值域．
6
x
π
x
π 7π
?π,???,
由正弦函数的图象，
26266
解：因为0≤x≤2π ，所以
0?
x
π
1
得到
sin(?)?[?,1],

262
所以y∈[－1，2]．
6．求下列函数的值域．
(1)y＝sin
2
x－cosx+2； (2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．
解：(1)y=sin
2
x－cosx＋2＝1－cos
2
x－cosx＋2=－(cos
2
x＋c osx)＋3，
令t=cosx，则
t?[?1,1],y??(t
利用二次函数的 图象得到
y?[1,
2
113113
?t)?3??(t?)
2???(t?)
2
?,

2424
13
].

4
(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)
2
－1－(sinx＋cosx)，令t=sinx＋cosx
?2
，
5< br>π
2
则
t?[?2,2]
则，
y?t?t?1,
利用 二次函数的图象得到
y?[?,1?2].

sin(x?)
，
4< br>4
7．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为
(2 ,2)
，它到其相邻的最
低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．
解：由最高点为
(2,2)
，得到
A?2
，最高点和最低点间隔是半 个周期，从而与x轴
交点的间隔是
T
1
π
个周期，这样求得
?4
，T=16，所以
?
??

8
4
4
π ππ
π
又由
2?2sin(?2?
?
)
，得到可以取
?
?.?y?2sin(x?).

8
484
8．已知函数f(x )=cos
4
x－2sinxcosx－sin
4
x．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若
x?[0,],
求f(x)的最大值、最小值．
π
2
数
y?
1?sinx
的值域．
3?cosx
解：(Ⅰ)因为f(x)=cos
4
x－2sinxcosx－sin4x＝(cos
2
x－sin
2
x)(cos
2
x＋sin
2x)－sin2x
ππ
?(cos
2
x?sin
2
x )?sin2x?cos2x?sin2x?2sin(?2x)??2sin(2x?)

44
所以最小正周期为π．
πππ3ππ
(Ⅱ)若
x?[0,]< br>，则
(2x?)?[?,]
，所以当x=0时，f(x)取最大值为
?2sin (?)?1;
24444
当
x?
3π
时，f(x)取最小值为
?
8
2.

cos
?
?sin
?
；（2）
sin
2
?
?sin
?
.cos
?
?2cos
2
?
的值.
cos
?
?sin?
sin
?
1?
cos
?
?sin
?
cos
?
?
1?tan
?
?
1?2
??3?22< br>；
?
解：（1）
sin
?
1?tan
?
1 ?2
cos
?
?sin
?
1?
cos
?
s in
2
??sin?cos??2cos
2
?
22
(2)
sin??sin?cos??2cos??

22
sin??cos?sin
2
?sin?
??2
2
2?2?24?2
??< br>
?
cos?
2
cos?
.
sin?
2?13
?1
cos
2
?
1． 已知tan
?
?2
，求（1）
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通 过构造的办法得到），进行弦、切互化，
就会使解题过程简化。
2． 求函数
y?1?sinx?cosx?(sinx?cosx)
的值域。
解：设t?sinx?cosx?
2
π
2sin(x?)?[?2，2]
，则原 函数可化为
4
13
y?t
2
?t?1?(t?)
2
?
，因为
t?[?2，2]
，所以
24
13
当
t?2
时，
y
max
?3?2
，当
t??
时，y
min
?
，
24
3
所以，函数的值域为
y?[，3?2]
。
4

3．已知函数
f(x)?4sinx?2sin2x?2，x?R
。
（1） 求
f(x)
的最小正周期、
f(x)
的最大值及此时x的集合；
（ 2）证明：函数
f(x)
的图像关于直线
x??
2
2
π对称。
8
2
解：
f(x)?4sinx?2sin2x?2?2sin x?2(1?2sinx)


?2sin2x?2cos2x?22sin(2x?)

(1)所以
f(x )
的最小正周期
T?π
，因为
x?R
，
π
4ππ
3
π
?2kπ?
，即
x?kπ?
时，
f( x)
最大值为
22
；
428
π
(2)证明：欲证明函数< br>f(x)
的图像关于直线
x??
对称，只要证明对任意
x?R
，有
8
ππ
f(??x)?f(??x)
成立，
88
所以 ，当
2x?

ππππ
?x)?22sin[2(??x)?]?22s in(??2x)??22cos2x
，
8842
ππππ
f(??x)? 22sin[2(??x)?]?22sin(??2x)??22cos2x
，
8842< br>πππ
所以
f(??x)?f(??x)
成立，从而函数
f(x)的图像关于直线
x??
对称。
888
因为
f(?

4． 已知函数y=
3
1
2
cosx+sinx·cosx+1 （x∈R）,
2
2
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
33
111
22
cosx+sinx·cosx+1= (2cosx－1)+ +（2sinx·cosx）+1
2
244
4
3< br>151
??
5
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2 x·cos)+
4
442
66
4
1
?
5
=sin(2x+)+
2
6
4
???
所以y取最大值时，只需2x +=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
626
?
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
6
解：（1）y=
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
??
，得到函数y=sin(x+)的图像；
66
1
（ii）把得 到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
2
?
y=sin(2 x+)的图像；
6
1
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标 不变），得到函数
2
1
?
y=sin(2x+)的图像；
26
51
?
5
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=s in(2x+)+的图像。
42
6
4
3
1
2
综上 得到y=cosx+sinxcosx+1的图像。
2
2
历年高考综合题
一，选择题
（i）把函数y=sinx的图像向左平移
1.（08全国一6）
y?(sinx?cosx)?1
是 （ ）
A．最小正周期为
2π
的偶函数
C．最小正周期为
π
的偶函数
B．最小正周期为
2π
的奇函数
D．最小正周期为
π
的奇函数
2

2.（08全国一 9）为得到函数
y?cos
?
x?
?
?
π
?

?
的图象，只需将函数
y?sinx
的图像（ ）
3
?
π
个长度单位
6
5π
C．向左平移个长度单位
6
A．向左平移

π
个长度单位
6
5π
D．向右平移个长度单位
6
B．向右平移
3.(08全国二1)若
sin
?
?0
且
t an
?
?0
是，则
?
是 （ ）
A．第一象限角 B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角
4.（08全国二10）．函数
f(x)?sinx?cosx
的最大值为 （ ）
A．1 B．
2
C．
3
D．2
5.（08安徽卷8）函数
y ?sin(2x?
A．
x??
?
3

)
图像的对称轴方程可能是 （ ）
C．
x?
?
6
B．
x??
?
12

?
6
D．
x?
?
12

6.（08福建卷7）函数
y
= cos
x
(x∈R)的图象向左平移
?
个单位后，得到函数
y=g( x
)的图象，
2
则
g(x
)的解析式为 ( )
A.-sin
x

x
C.-cos
x

x

7.（08广东卷 5）已知函数
f(x)?(1?cos2x)sinx,x?R
，则
f(x)
是 （ ）
2
?
的奇函数
2
?
C、最小正周期为
?
的偶函数 D、最小正周期为的偶函数
2
A、最小正周期为
?
的奇函数 B、最小正周期为
8.（08海南卷11）函数
f(x)?cos2x?2sinx
的 最小值和最大值分别为 （ ）
33
D. －2，
22?
9.（08湖北卷7）将函数
y?sin(x?
?
)
的图象< br>F
向右平移个单位长度得到图象
F
′，若
3
A. －3，1 B. －2，2 C. －3，
F
′的一条对称轴是直线
x?
?
1
511
511
A.
?
B.
?
?
C.
?
D.
?
?

1212
1212
sinx
10.（ 08江西卷6）函数
f(x)?
是 （ ）
x
sinx?2sin
2
A．以
4
?
为周期的 偶函数 B．以
2
?
为周期的奇函数
C．以
2
?
为周期的偶函数 D．以
4
?
为周期的奇函数
,
则
?
的一个可能取值是 （ ）

11.若动直线
x?a
与函数
f(x)?sinx
和
g(x)?cosx
的图像分别交于
M，N
两点，则
MN
的最大值为 （ ）
A．1 B．
2
C．
3
D．2
12.（08山东卷10）已知cos
?
?
?
?
?
π
?
4
7 π
??
，则
?sin
?
?3sin
?
?
? ??
的值是（ ）
6
?
56
??
C．
?
A．
?
23

5
B．
23

5
44
D．
55
13.（08陕西卷1）
sin330?
等于 （ ）
A．
?
3

2
B．
?
11
C．
22
2
D．
3

2
14.（08四川卷4）
?
tanx?cotx
?
cosx?
( )
Ａ.
tanx
Ｂ.
sinx
Ｃ.
cosx
Ｄ.
cotx

15.（08天津 卷6）把函数
y?sinx(x?R)
的图象上所有的点向左平行移动
再把所得图象上 所有点的横坐标缩短到原来的
?
个单位长度，
3
1
倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函
2
数是 （ ）
A．
y?sin
?
2x?
?
?
?
?
?
，x?R

3
?
B．
y? sin
?
?
x?
?
?
?
，x?R

?
26
?
??
?
?
，x?R

3
?
C．
y?sin
?
2x?
?
?
?
?
?
，x?R

3
?
D．
y?sin< br>?
2x?
?
?
16.（08天津卷9）设
a?sin
A．
a?b?c

5?2?2?
，
b?cos
，
c?tan
，则 （ ）
777
B．
a?c?b
C．
b?c?a
D．
b?a?c

2
17.（08 浙江卷2）函数
y?(sinx?cosx)?1
的最小正周期是 （ ）
3
?
?
B.
?
C. D.
2
?

2
2
x3
?< br>18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数
y?cos(?)(x?[0，2
?
])
的图象和
22
1
直线
y?
的交点个数是 （ ）
2
A.
A.0 B.1 C.2 D.4

二，填空题
19.（08北京 卷9）若角
?
的终边经过点
P(1，?2)
，则
tan2
?
的值为 ．
20.（08江苏卷1）
f
?
x
?
?cos
?
?
x?
?
?
?
?
6
?
?
的最小正周期为
?
，其中
?
?0< br>，则
?
= ．
5
2sin
2
x? 1
?
?
?
21.（08辽宁卷16）设
x?
?
0，
?
，则函数
y?
的最小值为 ．
2
sin2x
??
22.（08浙江卷12）若
sin(
?
3
?
?
)?
，则
cos2
?
?
_________ 。
25
?
23.（08上海卷6）函数
f
(
x
) ＝3sin
x
+sin(+
x
)的最大值是
2
三，解答题
24. （08四川卷17）求函数
y?7?4sinxco sx?4cosx?4cosx
的最大值与最小值。

25. （08北京卷15） 已知函数
f(x)?sin
?
x?3sin
?
xsin
?< br>?
x?
2
24
?
?
π
?
?
（
?
?0
）的最小
2
?
正周期为
π
．（Ⅰ ）求
?
的值；（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
?
0，
?
上的取值范围．
3

26. （08天津卷17）已知函数
f( x)?2cos
?
x?2sin
?
xcos
?
x?1
（
x?R,
?
?0
）的
最小值正周期是
2
?2π
?
??
?
． （Ⅰ）求
?
的值；
2（Ⅱ）求函数
f(x)
的最大值，并且求使
f(x)
取得最大值的
x
的集合．

27. （08安徽卷17）已知函数
f(x)?cos( 2x?
?
)?2sin(x?)sin(x?)

344
??
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
[?

28. （08陕西卷 17）已知函数
f(x)?2sin
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期及最 值；
,]
上的值域
122
xxx
cos?23sin
2
?3
．
44 4
??

（Ⅱ）令
g(x)?f
?
x?
??
π
?
?
，判断函数
g(x)
的奇偶性，并说明理由．
3
?
1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A
11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C
19.
47
20. 10 21.
3
22.
?
23.2
325
24
24. 解：
y?7?4sinxcosx?4cosx?4cosx

?7?2sin2x? 4cos
2
x
?
1?cos
2
x
?

?7?2sin2x?4cos
2
xsin
2
x

?7?2sin2x?sin
2
2x

?
?
1?sin2x
?
?6

由于函数
z ?
?
u?1
?
?6
在
?
?11，
?
中的最大值为
2
2

z
max
?
?
?1?1
?
?6?10

最小值为

z
min
?
?
1?1
?
?6?6

故当
sin2x??1
时
y
取得最大值
10
，当
sin2x?1
时
y
取得最小值
6

【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；
【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关
键；
25. 解：（Ⅰ）
f(x)?
2
2
1?cos2
?
x3311
?sin2
?
x?sin2
?
x?cos2
?
x?

22222
π
?
1
?
?sin?
2
?
x?
?
?
．
6
?
2
?
因为函数
f(x)
的最小正周期为
π
，且
??0
，
所以
2π
?
π
，解得
?
?1
．
2
?
?
?
π
?
1
?
?
．
6
?
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f(x)?sin
?
2x ?

2π
，
3
ππ7π
所以
?
≤
2x?
≤
，
666
因为
0
≤
x
≤
所以
?
1π
?
≤
sin
?
2x?
??
≤
1
， 26
??
?
?
π
?
13
?
3
?
，即的取值范围为
?
≤
0，
?
．
f(x)?
?
6
?
22
?
2
?
因此
0
≤
sin
?
2x?
26. 解：
f
?
x
?
?2?
1?cos2
?
x
?sin2
?
x?1
2
?sin2
?
x?cos2
?
x?2
? ?
?

?
?2
?
sin2
?
xcos?c os2
?
xsin
?
?2
44
??
?
??
?2sin
?
2
?
x?
?
?2
4
??
2
??
?
由题设，函数
f
?
x
?的最小正周期是，可得
?
，所以
?
?2
．
2
?
2
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
f
?
x
?
?< br>?
??
2sin
?
4x?
?
?2
．
4
??
当
4x?
?
4
?
?
2
? 2k
?
，即
x?
?
16
?
?
?
k
?
?
k?Z
?
时，
sin
?
?
4 x?
?
取得最大值1，所以函数
4
?
2
?
?
k
?
??
f
?
x
?
的最大值是
2?2< br>，此时
x
的集合为
?
x|x??,k?Z
?

162
??
27. 解：（1）
f(x)?cos(2x?)?2sin(x?)sin(x?)

344
13
cos2x?sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx)
< br>22
13
cos2x?sin2x?sin
2
x?cos
2< br>x

22
13
cos2x?sin2x?cos2x

22
???

?

?

?

?sin(2x?
?
6
)

∴周期T?
2
?
?
?

2

（2）
x?[?
??
5
?
,],?2x??[?,]
122636
?
6
)
在区间
[?,]
上单调递增，在区 间
[,]
上单调递减，
12332
??
因为
f(x)?sin(2x?
所以 当
x?
??
??
?
3
时，
f(x)
取最大值 1
又
f(?
?
12
)??
3
?
1
3
?
?f()?
，
∴
当
x??
时，
f( x)
取最小值
?

222
2
12
3
,1]

,]
上的值域为
[?
2
122
所以 函数
f(x)
在区间
[?
??
28. 解：（Ⅰ）
f(x)?sin
xx
?
x
π
?
?3cos
?2sin
?
?
?
．
22
?
23
?
?f( x)
的最小正周期
T?
2π
?4π
．
1
2
当
sin
?
?
x
π
??
x
π
?

?
?
??1
时，
f(x)
取得最小值
? 2
；当
sin
?
?
?
?1
时，
f(x)< br>取得最大值2．
2323
????
π
??
x
π
??
?
?
．又
g(x)?f
?
x?
?
．
3
?
?
23
?
?
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
f(x )?2sin
?
?
g(x)?2sin
?
?
x?
? 1
?
?
2
?
π
?
π?
x
?
x
π
?
?2sin?
．
?2cos
?
???
22
2
3
?
3
?
??
?
x
?
x
?
g(?x)?2cos
?
?
?
?2 cos?g(x)
．
2
?
2
?
?
函数
g(x)
是偶函数．