高中数学 常见函数：正比例函数、反比例函数与对勾函数

常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数
1．正比例函数
如果y=kx（k是常数，K≠0），那么，y叫做x的正比例函数
一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线

一次函数的性质
当k>0时y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小。

2、反比例函数
(1) 反比例函数及其图象
k
如果
y?(k是常数,k?0)
,那么，y是x的反比例函数。
x
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象
（2）反比例函数的性质
当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y随x的增大而减小；
当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。

b
3．对勾函数
f(x)?ax?
的图象与性质
x
对勾函 数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所
以也要注意它 和了解它。
（1） 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f (x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+bx）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+bx是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= bx “叠加”而成的函数。这个观点，
对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+bx的图象是由直线y＝ax与双曲线y= bx构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，
也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a，b异号时，f(x)=ax+bx的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是 两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）
a>0 b>0 a<0b<0
对勾函数的图像（ab同号）
1

对勾函数的图像（ab异号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸 ，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的
焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为 了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
（2） 对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：
当x>0时，。
当x<0时，
即对勾函数的定点坐标：
。

（3） 对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

（4） 对勾函数的单调性

（5） 对勾函数的渐进线
由图像我们不难得到：
y
O
y=ax

（6） 对勾函数的奇偶性
对勾函数在定义域内是奇函数，

X
2

3