2018高一数学函数难题汇编(含解析)

2018高一数学必修一（难）



一．选择题（共12小题）

1．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1） =﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]
时，，函数，则关于x的不等式f（x）＜g（x）
的解 集为（ ）

A．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0） B．
C． D．


2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x
3
，若不等式f（﹣
4t）＞f（2m+mt
2
）对任意实数t恒成立，则实数m的取值 范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣
﹣）∪（
） B．（﹣
，+∞）

，0） C．（﹣∞，0）∪（，+∞） D．（﹣∞，
3．定义域为R的函数f（x）满足：f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，
，若x∈[﹣ 4，﹣2）时，恒成立，
则实数t的取值范围是（ ）

A． B． C．（0，1] D．（0，2]

4．对于函数f（x），若?a，b，c∈R，f（a）， f（b），f（c）为某一三角形的三
边长，则称f（x）为”可构造三角形函数“，已知函数f（x） =
是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（ ）

A．[1，4] B．[1，2] C．[，2] D．[0，+∞）

（0＜x＜）
5．已知函数f（ x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（1﹣x），若数
列{a
n
} 满足a
1
=，且a
n
+
1
=
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4

，则f（a
2015
）+f（a
2016
）=（ ）

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6．函数f（x）=
成立，则实数m的取值范围为（ ）

A．[4，+∞） B．[3，+∞）
，若x＞0时，不等式f（x）≤恒
C．[2，+∞） D．[，+∞）

7．已知x＞0，y＞0，若不等式a（x+y）≥x+
A． B． C．+2 D．+
恒成立，则a的最小值为（ ）


8．已知函数f（x）=若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为
（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

9．已知定义在R上的偶函数g（x）满足g（x ）+g（2﹣x）=0，函数f（x）=
的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x的方程g
2
（x）=a（x+1）
2
有3个不
同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）

A．（，+∞） B．（，） C．（，+∞） D．（2，3）

10 ．已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，当x∈
[n ，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b有
且仅有2016个交点 ，则b的取值范围是（ ）

A．（0，1） B．（
C．（
11．
，
已知
，
） D．（
函数
）

，
：
）

，
，设 函数F（x）=f（x+3）?g（x﹣5），且函数
F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a ，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（ ）

A．8


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B．9 C．10 D．11

12．已知函数，其中m＞0，且函数f（x）=f（x+4），
若 方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则实数m的取值范围是（ ）

A．


二．填空题（共7小题）

13．设函数f（x）=2ax
2+2bx，若存在实数x
0
∈（0，t），使得对任意不为零的实
数a，b均有f （x
0
）=a+b成立，则t的取值范围是 ．

14．若正数x，y满足=1，则的最小值为 ．

B． C． D．

15．已知集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π ]为奇函数，且|log
a
φ|
＜1}的子集个数为4，则a的取值范围为 ．

16．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R都有f（x﹣3）=f（ x
﹣1）成立，当，x∈（0，1]且x
1
≠x
2
时，有
（ 1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点

（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心

（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴

（4）f（9.2）＜f（π）

则正确的是 ．

17． 已知函数f（x）=e
x
，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m +n+p）
=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于 ．

18 ．定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）< br>+f（sinx+cos
2
x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是 ．

19．已知函数f（x）=，g（x）=（k＞0），对任意p∈（1，+
＜0， 给出下列命题：

∞），总存在实数m，n满足m＜0＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g （n），则整数
k的最大值为 ．



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三．解答题（共11小题）

20．已知f（x）=log
a
（1）求m的值；

（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；

（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．





21．已知向量=（cos
m|+|+1，x∈[ ﹣
，sin
，
），=（cos，﹣sin），函数f（x）=?﹣
是奇函数（ 其中a＞1）

]，m∈R．

）的值；

（1）当m=0时，求f（
（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m
2
，x∈[﹣，]有四个
不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．




22．已知二次函数f（x）=ax
2
+bx+c．

（1）若a= c＞0，f（1）=1，对任意x∈|[﹣2，2]，f（x）的最大值与最小值之
和为g（a），求g （a）的表达式；

（2）若a，b，c为正整数，函数f（x）在（﹣
a+b+c的最小值．





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，）上有两个不同零点，求

23．已知函数f（x）=
（1）求f（f（））；

．

（2）若x
0
满足f（f（x
0
））=x
0
，且f（x0
）≠x
0
，则称x
0
为f（x）的二阶不动点，
求函 数f（x）的二阶不动点的个数．





24．已知a∈R，函数．

（1）当a=0时，解不等式f（x）＞1；

（2）当a＞0时，求函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数；

（3）设a＜ 0，若对于t∈R，函数在区间[t，t+1]上的最大值与最小值之差都不
超过1，求实数a的取值范 围．





25．已知a∈R，函数f（x）=
（1）若f（2）=﹣3，求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）﹣log
2
[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好 有一个元
素，求a的取值范围．

（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（ x）在区间[t，t+1]上的最大值与
最小值的差不超过1，求a的取值范围．





第5页（共38页）

．

26．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．

（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；

（2）若存在a∈ （2，4]，使得关于x的方程f（x）=t?f（a）有三个不相等的实
数解，求实数t的取值范围．





27．如图，在半径为，圆心角为60°的扇形 的弧上任取一点P，作扇形的内接
矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ 的面积为y，
∠POB=θ．

（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；

（Ⅱ）求矩形PNMQ的面积取 得最大值时
（Ⅲ）求矩形PNMQ的面积y≥
?的值；

的概率．





28．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x
2
﹣1．

（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；

（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．






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29．已知函数g（x）=
偶函数．

，且函数f （x）=log
a
g（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非
（1）写出f（x）在（a ，+∞）上的单调性（不必证明）；

（2）当x∈（r，a﹣3）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值；
< br>（3）设h（x）=﹣m（x+2）﹣2是否得在实数m使得函数y=h（x）
有零点？若存在， 求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．












30．已知函数f（x） =1+log
2
x，g（x）=2
x
．

（1）若F（x） =f（g（x））?g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；

（2）令G（x）=f（8x
2
）f（
点，求实数k的取值范围；

（3）若H（x）=
的值．




）﹣kf（ x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零
，求H（）+H（）+H（）+…+H（）
第7 页（共38页）

2018高一数学必修一（难）

参考答案与试题解析



一．选择题（共12小题）
< br>1．（2016秋?渝中区校级期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=
﹣f （x），且当x∈[﹣1，0]时，，函数，则关
于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（ ）

A．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0） B．
C． D．


【解答】解：由题意知，f（x+1）=﹣f（x），

∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），

即函数f（x）是周期为2的周期函数．

若x∈[0，1]时，﹣x∈[﹣1，0]，

∵当x∈[﹣1，0]时，
∴ 当x∈[0，1]时，
∵f（x）是偶函数，∴f（x）=
，

，

，

即f（x）=．

∵函数，

∴g（x）=，

作出函数f（x）和g（x）的图象如图：

当﹣1＜x＜0时，由=，

第8页（共38页）

则，由选项验证解得x=，

，

即此时 不等式式f（x）＜g（|x+1|）的解为﹣1＜x＜
∵函数g（x）关于x=﹣1对称，

∴不等式式f（x）＜g（x）的解为﹣1＜x＜
即不等式的解集为（
故选：D．
，﹣1）∪（﹣1，
或
），

＜x＜﹣1，




2．（2016秋?通渭县期末）已知定义在R上的奇函数f（x）满 足：当x≥0时，f
（x）=x
3
，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt
2
）对任意实数t恒成立，则实数m的
取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣
﹣）∪（
） B．（﹣
，+∞）

，0） C．（﹣∞，0）∪（，+∞） D．（﹣∞，
【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=x
3
，①

∴当x＜0时，﹣x＞0，

f（﹣x）=（﹣x）
3
=﹣x
3
，

又f（x）为定义在R上的奇函数，

∴﹣f（x）=﹣x
3
，

∴f（x）=x
3
（x＜0），②

综合①②知，f（x）=x
3
，x∈R．

又f′（x）=3x
2
≥0，

第9页（共38页）

∴f（x）=x
3
为R上的增函数，

∴ 不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt
2
）对任意实数t恒成立?﹣4t＞2m+mt
2
对任意实
数t恒成立，

即mt
2
+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，

∴
故选：A．



3．（2016秋?宜春期末）定义域 为R的函数f（x）满足：f（x+2）=2f（x），当x
∈[0，2）时，，若x∈[﹣4，﹣2） 时，
，解得：m＜﹣．

恒成立，则实数t的取值范围是（ ）

A． B． C．（0，1] D．（0，2]

【解答】解：当x∈[0，2）时，∈[﹣，0]∪
[﹣1，﹣]，

）=﹣1，

∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为f（
又∵函数f（ x）满足f（x+2）=2f（x），

∴f（x）=f（x+2），

当x ∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为f（﹣
当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为f（﹣< br>若x∈[﹣4，﹣2]时，
∴﹣
即
≥恒成立．

恒成立，

）=
）=
f（）=﹣，


f（﹣）=﹣
≤0，则0＜t≤1，

故选：C．

第10页（共38页）

4．（2 016春?琅琊区校级期末）对于函数f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），
f（c） 为某一三角形的三边长，则称f（x）为”可构造三角形函数“，已知函数f
（x）=（0＜x＜）是“ 可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（ ）

，2] D．[0，+∞）

==2+，

A．[1，4] B．[1，2] C．[
【解答】解：f（x ）=
①若t=2，则f（x）=2，此时f（x）构成边长为2的等边三角形，满足条件，

设m=tanx，则m=tanx＞0，

则函数f（x）等价为g（m）=2+，

②若t﹣2＞0即t＞2，此时函数g（m）在（0，+∞）上是减函数，

则2＜f（a）＜2+t﹣2=t，

同理2＜f（b）＜t，2＜f（c）＜t，

则4＜f（a）+f（b）＜2t，2＜f（c）＜t，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 4≥t，解得2＜t≤4．

③当t﹣2＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜2，

同理t＜f（b）＜2，t＜f（c）＜2，

则2t＜f（a）+f（b）＜4，t＜f（c）＜2，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥2，解得1≤t＜2．

综上可得，1≤t≤4，

故实数t的取值范围是[1，4]；

故选：A



5．（2015秋?菏泽期末）已知函数f（x）是 定义在R上的奇函数，当x≤0时，f
（x）=x（1﹣x），若数列{a
n
}满足a
1
=
=（ ）

A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4

，且a
n
+
1
=，则f（a
2015
）+f（a< br>2016
）
【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0；

∵f（x）是定义在R上的奇函数；

第11页（共38页）

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x（1+x）]=x（1+x）；

由，且
，
得：

，，…；

∴数列{a
n
}是以3为周期的周期数列；

∴a
2015
=a
671
×
3
+
2
=a
2
=2 ，a
2016
=a
671
×
3
+
3
=a< br>3
=﹣1；

∴f（a
2015
）+f（a
2016
）=f（2）+f（﹣1）=2（1+2）+（﹣1）（1+1）=4．

故选：D．



6．（2015秋?吉安期末）函数f（x）=
不等式f（x）≤
A．[4，+∞）
恒成立，则实数m的取值范围为（ ）

B．[3，+∞） C．[2，+∞） D．[，+∞）

，若x＞0时，
【解答】解：当0≤x≤4时，函数f（x）在[0 ，2]上为增函数，则[2，4]上为减
函数，

则当x=2时，函数f（x）取得最 大值f（2）=
当4≤x≤8时，0≤x﹣4≤4，

即f（x）=f（x﹣4）=，此时的最大值为f（6）=，

，

当8≤x≤12时，4≤x﹣4≤8，

即f（x）=f（x﹣4）=，此时的最大值为f（10）=，

恒成立，

作出函数f（x）的图象如图，要使当x＞0时，不等式f（x）≤
则m＞0，

设g（x）=，

则满足，即，即，即m≥3，

第12页（共38页）

故选：B．




7．（2015秋?杭州校级期末）已知x＞0，y＞0，若不等式a（x+y） ≥x+
成立，则a的最小值为（ ）

A． B． C．+2 D．+

恒
【解答】解：∵x＞0，y＞0，

∴不等式a（x+y）≥x+等价为a≥=，

令，∴a≥，

令u=，∴u′=

令u′=0，∴t=﹣
∴函数在（0，
∴t=< br>∴a≥
（负值舍去）

）上单调增，在（
取得最大值为
，+∞）上单调减


时，函数u=


∴实数a的最小值为
故选：A



第13页（共38页）

8．（2016秋? 沙市区校级期末）已知函数f（x）=若函数g（x）
=f[f（x）]﹣2的零点个数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

，

【解答】解：∵函数f（x）=
∴f（x）=．

∴x∈（﹣∞，log2
3）时，f（f（x））=
解得x=log
2
（1+log
2
3）．

同理可得：x∈[log
2
3，2）时，
x∈时， =2，解得x=
∈[0，3]，令f（f（x））=2，
=2，解得x=
．

．

时，=2，解得x=1+．

综上可得：函数g（x）=f[f（x）]﹣2的x零点个数为4．

故选：B．



9．（2016春?重庆校级期末）已知定义在R 上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2
﹣x）=0，函数f（x）=的图象是g（x）的图象的一部 分．若关于x的方
程g
2
（x）=a（x+1）
2
有3个不同的实数 根，则实数a的取值范围为（ ）

A．（，+∞） B．（，） C．（，+∞） D．（2，3）

【解答】解：∵定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，

∴g（x）=﹣g（2﹣x）=﹣g（x﹣2），

第14页（共38页）

则g（x+2）=﹣g（x），即g（x+4）=﹣g（x+2）=﹣（﹣g （x））=g（x），

则函数g（x）是周期为4的周期函数，

函数f（x）=的定义域为[﹣1，1]，

若1≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤﹣1，则 0≤2﹣x≤1，此时g（x）=﹣g（2﹣x）=﹣
，

当﹣2≤x≤﹣1，则1≤ ﹣x≤2，则g（x）=g（﹣x）=﹣
则由g
2
（x）=a（x+1）
2< br>得，

当﹣2≤x≤﹣1时，1﹣（x+2）
2
=a（x+1）
2
，

作出函数g（x）的图象如图：

若方程g
2
（x）=a（x+1）
2
有3个不同的实数根，

则当a≤0时，不满足条件．

则当a＞0时，

方程等价为g（x ）=±
则当x=﹣1时，方程g（x）=
当直线y=﹣
=|x+1|，

|x+1|恒成立，此时恒有一解，


（x+1）与g（x）在（﹣4，﹣ 3）相切时，此时方程g（x）=
|x+1|有6个交点，不满足条件．

当y=﹣（ x+1）与g（x）在（﹣4，﹣3）不相切时，满足方程g（x）=|x+1|
有三个交点，

此时直线方程为
离d=
即＞1，即3
x+y+
＞1，

＞，平方得9a＞a+1，得8a＞1，则a＞，

=0，满足圆心（﹣4，0）到直线x+y+=0，的距
故选：A

第15页（共38页）

10．（2016秋?荆门期末）已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，
f （x）=sinπx，当x∈[n，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，若函数f（x）
的图象与直 线y=b有且仅有2016个交点，则b的取值范围是（ ）

A．（0，1） B．（
C．（，
，
） D．（
）

，）

【解答】解：根据题意，x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，

x∈[n，n+1]时，f（x）=
∴f（n）=sinnπ=0，

f（）=sin=1，

，其中n∈N，

f（）===，

f（）===，…；

画出图形如图所示；
当b∈（
当b∈（


，1）时，函数f（x）的图象与直线y=b有2个交点；

，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有4个交点；

第16页（共38页）

当b∈（
当b∈（
，）时，函数f（x）的图象与直线y= b有6个交点；…；

，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有2016个交点．

故选：D．



11．（2015秋?汕头校级期末）已知函数： ，
，设函数F（x）=f（x+3）?g（x﹣5），且函数
F（x）的零点均在区间[a，b ]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

+﹣…+＜0，

【解答】解：∵f（0）=1＞0，f（﹣1） =1﹣1﹣
∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点；

当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=＞0，

∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，

故函数f（x）有唯一零点x∈（﹣1，0）；

∵g（1）=1﹣1+﹣
＜0．

当x∈（1，2）时，g′（x）=﹣1+ x﹣x
2
+x
3
﹣…+x
2013
﹣x
2014< br>=＞0，

+…﹣＞0，g（2）=1﹣2+﹣+…+﹣
∴函数g（x）在区间 （1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；

∵F（x）=f（x+ 3）?g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，
b∈Z）内，

∴f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）内，g（x﹣4）的零点在（5，6）内，

因此F（x）=f（x+3）?g（x﹣3）的零点均在区间[﹣4，6]内，

∴b﹣a的最小值为10．

故选：C．



1 2．（2015秋?衡水校级期末）已知函数，其中m
＞0，且函数f（x）=f（x+4），若方程3 f（x）﹣x=0恰有5个根，则实数m的取
第17页（共38页）

值范围是（ ）

A． B． C． D．
< br>【解答】解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x
2
+
∴实质上为一个 半椭圆，其图象如图所示，

∵函数f（x）=f（x+4），∴函数的周期是4，

=1（y≥0），

同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出 函数其它部分的
图象，

若方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则等价为f（x）=
由图易知直线 y=与第二个椭圆（x﹣4）
2
+
恰有5个根，

=1（y≥0）相交，

2
而与第三个半椭圆（x﹣8）+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，

将 y=
2
代入（x﹣4）+=1 （y≥0）得，（9m
2
+1）x
2
﹣72m
2
x+135m
2
=0，令t=9m
2
（ t＞0），

则（t+1）x
2
﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2
﹣4×15t （t+1）＞0，

得t＞15，由9m
2
＞15，且m＞0得 m
同样由 y=
2
与第三个椭圆（x﹣8）+
，

=1 （y≥0）由△＜0可计算得 m＜，

综上可知m∈（
故选：A．

，），


第18页（共38页）

二．填空题（共7小题）

13．（2017春?杭州期末）设 函数f（x）=2ax
2
+2bx，若存在实数x
0
∈（0，t），使
得对任意不为零的实数a，b均有f（x
0
）=a+b成立，则t的取值范围是 （1，+
∞） ．

【解答】解：f（x）=a+b成立等价于（2x﹣1）b=（1 ﹣2x
2
）a，

当x=
当x≠
时，左边=0，右边≠0，不成立，

时，（2x﹣1）b=（1﹣2x
2
）a等价于=
，

，

设k=2x﹣1，则x=
则===（﹣k﹣2），

）∪（，t），（t＞），

∵x∈（0，t），（t＜），或x∈（0，
∴ k∈（﹣1，2t﹣1），（t＜
∵?a，b∈R，

∴=
∴（
（< br>），或k∈（﹣1，0）∪（0，2t﹣1），（t＞），（*）

﹣k﹣2），在（*）上有解，

﹣k﹣2），在（*）上的值域为R，

（
，

﹣k）﹣1，则g（k）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，

设g（k）=
∴
解得t＞1，

故答案为：（1，+∞）



14．（2016春?沙坪坝区校级期末）若正数x，y满足
小值为 2 ．

+=1，

=1，则的最
【解答】解：∵正数x，y满足
第19页（共38页）

∴=1﹣=
∴
则
﹣1=
∴
+
，

（x＞1）．

≥2=2，当且仅当y﹣1=，即y
（y＞1），∴x﹣1=
=（y﹣1）+
时取等号．

的最小值为2

．

故答案为：2


15．（2016秋?武昌区校级期末）已知集合{φ|f （x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x
﹣2φ）π]为奇函数，且|log
aφ|＜1}的子集个数为4，则a的取值范围为 （
∪（） ．

）
【解 答】解：∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，

∴f（0）=sin（﹣2φπ）+cos（﹣2φπ）=cos2φπ﹣sin2φπ=0，

∴cos2φπ=sin2φπ，即tan2φπ=1，∴2φπ=kπ+
验证φ=+
，则φ=+，k∈Z．

，k∈Z时，f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]

） π]+cos[（x﹣k﹣）π]=sin（πx﹣）+cos（）==sin[（x﹣k﹣
为奇函数．

∴φ=+，k∈Z．

∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π] +cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，且|log
a
φ|＜1}
的子集个数为4，< br>
∴满足|log
a
φ|＜1的φ有2个，即满足﹣1＜log
aφ＜1的φ有2个．

分别取k=0，1，2，3，得到φ=
若0＜a＜1，可得 a∈（
若a＞1，可得a∈（
则a的取值范围为（
，，，，

）时，满足﹣1＜log
a
φ＜1的φ有2个；

）时，满足﹣1＜log
a
φ＜1的φ有2个．

）∪（）．

第20页（共38页）

故答案为：（


）∪（）．

16．（2016秋?清城 区期末）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈
R都有f（x﹣3）=f（x﹣1）成 立，当，x∈（0，1]且x
1
≠x
2
时，有
＜0，给出下列命题：

（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点

（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心

（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴

（4）f（9.2）＜f（π）

则正确的是 （1）（2）（4） ．

【解答】解：对于（1），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）=0，

又f（x﹣3）=f（x﹣1），∴函数y=f（x）是以2为周期的函数，

且f（ 1﹣3）=f（1﹣1），即f（﹣2）=f（0）=0，又f（2）=﹣f（﹣2），∴f（2）
=0 ；

同理可得，f（1）=f（﹣1）=0，

又当x∈（0，1]且x1
≠x
2
时，有＜0，即奇函数y=f（x）在区间（0，
1]上单调递 减，故函数y=f（x）在区间[﹣1，0）上也单调递减，

由函数y=f（x）是以2为周 期的函数可知函数y=f（x）在区间（﹣2，﹣1]、[1，
2）上单调递减，

∴f（x）在区间[﹣2，2]上有±1、0、±2共5个零点，故（1）正确；

对于（2），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴（0，0）为其对称中心，

又函数y=f（x）的是以2为周期的函数，

∴点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，故（2）正确；

对于（3），作出函数y=f（x）的图象如下：

第21页（共38页）

（3）直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴，故（3）错误；

对于（4），∵函数y=f（x）的是以2为周期的函数且在区间[1，2）上为减函数，

∴f（9.2）=f（1.2）＜f（π﹣2）=f（π），故（4）正确．

综上所述，正确的是：（1）（2）（4），

故答案为：（1）（2）（4）．



17．（2016春?扬州 期末）已知函数f（x）=e
x
，对于实数m、n、p有f（m+n）
=f（m）+f （n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于 2ln2
﹣ln3 ．

【解答】解：由f（x）=e
x
得：f（m+n）=f（m）f（n），

∵f（m+n）=f（m）+f（n），

∴f（m）f（n）=f（m）+f（n），

设f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，

则f（m）、f（n）是x
2
﹣tx+t=0的解，

∵△=t
2
﹣4t≥0，

∴t≥4或t≤0（舍去）．

又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），

∴tf（p）=t+f（p），

∴f（p）==1+（t≥4），

显然t越大，f（p）越小，

∴当t=4时，f（p）取最大值，又f（p）=e
p
，

第22页（共38页）

∴f（p）取到最大值时，p也 取到最大值，即p
max
=ln=2ln2﹣ln3．

故答案为：2ln2﹣ln3．



18．（2016秋?江岸区 校级期末）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f
（x）+f（y），若F（x）=f （asinx）+f（sinx+cos
2
x﹣3）在（0，π）上有零点，则
a的取 值范围是 [2，+∞） ．

【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；

再令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，

且f（x）定义域为R，关于原点对称．

∴f（x）是奇函数．

②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos
2
x﹣3）在（0，π）上有零点．< br>
∴f（asinx）+f（sinx+cos
2
x﹣3）=0在（0，π）上 有解；

∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos
2
x﹣3）=f（﹣ sinx﹣cos
2
x+3）在（0，π）上有解；

又∵函数f（x）是R上的单调函数，

∴asinx=﹣sinx﹣cos
2
x+3在（0，π）上有解．

∵x∈（0，π），

∴sinx≠0；

∴a==sinx+﹣1；

令t=sinx，t∈（0，1]；

则a=t+﹣1；

∵y=t+，＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，

∴a≥2．

故答案为：[2，+∞）．



19．（2016春?盐城期末） 已知函数f（x）=，g（x）=（k＞0），
对任意p∈（1，+∞），总存在实数m，n满足m＜0 ＜n＜p，使得f（p）=f（m）
=g（n），则整数k的最大值为 7 ．

第23页（共38页）

【解答】解：显然g（x）=（k＞0），在区间（1，+∞）上为减函数，

于是g（n）＞g（p），若f（p）=g（n），则对任意p＞1，有f（p）＞g（p）．

当x＞1时，＞，∴k＜
=
，

=2（t++2）≥8，

设t=x﹣1（t＞0），则
∴k＜8

∴k≤7．

下面证明：当k=7时，对0＜x＜1，有f（x）＜g（x）．

当0＜ x＜1时，f（x）＜g（x）?
令ψ（x）=
则ψ′（x）=﹣
﹣ln（1﹣x）＞ 0．

﹣ln（1﹣x）（0＜x＜1），

+＜0，故ψ（x）在（0，1）上为减函数，

于是ψ（x）＞0．

同时，当x∈（0，+∞）时，g（x）=∈（0，+∞）．

当x∈（0，1）时，f（x）∈R；当x∈（1，+∞）时，f（x）∈（0，+∞）．
< br>结合函数的图象可知，对任意的正数p，存在实数m、n满足0＜m＜n＜p，使
得f（p）=f （m）=g（n）．

综上所述，正整数k的最大值为7．

故答案为：7．



三．解答题（共11小题）

20．（2016秋?惠来县校级期末）已知f（x）=log
a
（1）求m的值；

（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；

（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．
< br>【解答】解：（1）由题意：f（x）是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，即log
a+=0

是奇函数（其中a＞1）

第24页（共38页）

∴，解得：m=±1，

，

当m=﹣1时，f（x）无意义，所以
故得m的值为1．

（2）由（1）得
则f（x
2
）﹣f（x
1
）=
，设2＜x
1
＜x
2
，

﹣=

∴2＜x
1
＜x2
，∴0＜2x
1
x
2
+2（x
1
﹣x
2
）﹣4＜x
1
x
2
﹣（x
1
﹣x
2< br>）﹣4，

∵a＞1，∴f（x
2
）＜f（x
1
）

所以：函数f（x）在（2，+∞）上的单调减函数．

（3）由（1）得
∴
又∵
，

得，函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

，得f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）

=，解得：．

令f（x）=1，则
所以：f（
当a＞1时，
）=1

＞2，此时f（x）在在（2，+∞）上的单调减函数．

）时，得f（x）∈1，+∞）；

，解得：a=5．

所以：当x ∈（2，
由题意：r=2，那么a﹣2=
所以：当x∈（r，a﹣2），f（x）的取值范围恰 为（1，+∞）时，a和r的值分别
为5和2．



21．（20 16秋?无锡期末）已知向量=（cos
函数f（x）=?﹣m|+|+1，x∈[﹣
（1）当 m=0时，求f（）的值；

，
，sin），=（cos，﹣sin），
]，m∈R．

（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；

第25页（共38页）

（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m
2
，x∈[﹣，]有四个
不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）?=（cos
sinsin=cos（+
，sin）?（c os，﹣sin）=coscos﹣
）=cos2x，

当m=0时，f（x）=?+1=cos2x+1，

则f（）=cos（2×
，
=
）+1=cos
]，

=2cosx，

+1=；

（2）∵x∈[﹣
∴|+|=
则f（x）=?﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos
2
x﹣2 mcosx，

令t=cosx，则≤t≤1，

则y=2t
2
﹣2mt，对称轴t=，

①当＜，即m＜1时，

﹣m=﹣1，得m=（舍），

当t=时，函数取得最小值此时最小值y=
②当≤≤1，即m＜1时，

当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣
③当＞1，即m＞2时，

=﹣1，得m=，

当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），

综上 若f（x）的最小值为﹣1，则实数m=
（3）令g（x）=2cos
2
x﹣2mco sx+
∴方程cosx=或在x∈[﹣
．

或，

m
2
=0，得cosx=
，]上有四个不同的实根，

第26页（共38页）

则，得，则≤m＜，

即实数m的取值范围是


≤m＜．

22．（2016秋 ?义乌市期末）已知二次函数f（x）=ax
2
+bx+c．

（1）若a= c＞0，f（1）=1，对任意x∈|[﹣2，2]，f（x）的最大值与最小值之
和为g（a），求g （a）的表达式；

（2）若a，b，c为正整数，函数f（x）在（﹣
a+b+c的最小值．

【解答】解：（1）a=c＞0，f（1）=1，则a+b+a=1，b=1﹣2a，

∴f（x））=ax
2
+（1﹣2a）x+a=a
当1﹣≤﹣2，即0＜a≤
≤0，即
+，

，）上有两个不同零点，求
时，g（a）=f（﹣2）+f（2）=10a；

时，g（a）=f（1﹣）+f（2）=a﹣
﹣1，

+3，
当﹣2＜1﹣
当a＞
＜a≤
时，g（a）=f（1﹣）+f（﹣2）=9a﹣综上所述，g（a）=；

（2）函数f（x）在（﹣，）上有两个不同零点x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
=﹣＜0，
＞x< br>1
x
2
=＞0

∴a＞16c，

由根的分布可知f（﹣）=a﹣b+c＞0，即a+16c＞4b，

∵a，b，c为正整数，∴a+16c≥4b+1

f（0）=c＞0，△＞0，b，

第27页（共38页）

∴a+16c＞8
∵a＞16c，∴
∴
∴a≥26，

∴b≥
+1，可得（
＞1，

，∴a＞25，

）
2
＞1，

，∴b≥11，c≥1．

f（x） =26x
2
+11x+1，经检验符合题意，故a+b+c的最小值为38．



23．（2016秋?佛山期末）已知函数f（x）=
（1）求f（f（））；

．

（2）若x
0
满足f（f（x
0
））=x0
，且f（x
0
）≠x
0
，则称x
0
为f（x ）的二阶不动点，
求函数f（x）的二阶不动点的个数．

【解答】解：（1）∵f（x）=
∴f（
∴f（f（
））=ln=，

=1；

．x∈[0，），f（x）=2﹣2x∈（1，2]，

．

））=f（）=2﹣2×
（2）函数f（x）=
x∈[，1）， f（x）=2﹣2x∈（0，1]，

x∈[1，e]，f（x）=lnx∈（0，1），

∴f（f（x））=，

若x
0
满足f（f（x
0
））=x
0
，且f（x< br>0
）≠x
0
，则称x
0
为f（x）的二阶不动点，

所以：x
0
∈[0，），ln（2﹣2x
0
）=x
0
，由y=ln（2﹣x
0
），y=x
0
，图象可知：

第28页（共38页）

存在满足题意的不动点．

x
0
∈[，1），﹣2+4x
0
=x
0
，解得x
0
=，满足题意．

x
0
∈[1，e]，2﹣2lnx
0
=x
0
，即2﹣x
0
=2lnx
0
，由y=2﹣x
0
，y=2lnx
0
，图象 可知：


存在满足题意的不动点．

函数f（x）的二阶不动点的个数为：3个．



24．（201 6秋?海安县校级期末）已知a∈R，函数
（1）当a=0时，解不等式f（x）＞1；

（2）当a＞0时，求函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数；

（3）设a＜ 0，若对于t∈R，函数在区间[t，t+1]上的最大值与最小值之差都不
超过1，求实数a的取值范 围．

【解答】解：（1）a=0时，f（x）=
∵f（x）＞1，即
，

．

＞1，∴0＜2
x
＜1，

第29页（共38页）

解得x＜0．

（2）y=2f（x）﹣f（2x）=，

log
2
a}．

∴函数y=2f（x）﹣f（2x）的定义域为{x|x≠log
2
a，且x≠
令y=0得2
2x
+
1
﹣2
x
﹣a=0，
令t=2
x
（t＞0，且t≠a，t），方程为2t
2
﹣t﹣a=0，△ =1+8a＞0，

若a=1，t=1或﹣，方程无解，即函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数为0
若0＜a＜1或a＞1，方程有两个不相等的解，即函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点
个数为 2；

（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，

由题意得f （t）﹣f（t+1）≤1，即
∴2
2t
+
1
﹣（3a+1）?2< br>t
+a
2
≥0，

设x=2
t
（x＞0）， 则2x
2
﹣（3a+1）x+a
2
≥0，

﹣≤1，

∴△≤0或，∴a≤﹣．



25． （2016秋?西陵区校级期末）已知a∈R，函数f（x）=
（1）若f（2）=﹣3，求实数a的值 ；

（2）若关于x的方程f（x）﹣log
2
[（a﹣4）x+2a﹣5] =0的解集中恰好有一个元
素，求a的取值范围．

（3）设a＞0，若对任意t∈[ ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与
最小值的差不超过1，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f（2）=﹣3，

∴log
2
（
∴+a=
解得a=﹣
+a）=﹣3=log
2
，

，


第30页（共38页）

．

（2）由f（x）﹣log
2
[（a﹣4）x+2a﹣5] =0得log
2
（+a）﹣log
2
[（a﹣4）x+2a
﹣5]= 0．

即log
2
（+a）=log
2
[（a﹣4）x+2 a﹣5]，

即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①

则（a﹣4）x
2
+（a﹣5）x﹣1=0，

即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，

当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立

当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立

当a≠4且a≠3时，方程②的 解为x=﹣1或x=
若x=﹣1是方程①的解，则
若x=是方程①的解，则
，

+a=a﹣1＞0，即a＞1，

+a=2a﹣4＞0，即a＞2，

则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．

综上，若方程f（x）﹣log2
[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a
的取值范围是1＜a≤ 2，或a=3或a=4．

（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，

由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，

即log
2
（+a）﹣log
2
（+a）≤1，

=

即+a≤2（+a），即a≥﹣
=设1﹣t=r，则0≤r≤，
当r=0时，
当0＜r≤时，
=0，

=
=，

，

∵y=r+
∴r+
在（0，
≥+4=，

）上递减，

第31页（共38页）

∴=≤=，

∴实数a的取值范围是a≥



26．（2016秋?徐汇区期末）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．

（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；

（2）若存在a∈ （2，4]，使得关于x的方程f（x）=t?f（a）有三个不相等的实
数解，求实数t的取值范围．

【解答】解：（1）当a=3，x∈[0，4]时，f（x）=x|x﹣3|+2x=
可知函数f（x）在区间[0，
则f（）=
]递增，在（
，

，3]上是减函数，在[3，4]递增，

，f（4）=12，

所以f（x）在区间[0，4]上的最大值为f（4）=12．

（2）f（x）=
①当x≥a时，因为a＞2，所以
，

＜a．

所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．

②当x＜a时，因为a＞2，所以
所以f（x）在（﹣∞，
＜a．

，a]上单调递减．

）上单调递增，在[
当2＜a≤4时，知f（x）在（ ﹣∞，
在[，a]上是减函数，

时，

]和[a，+∞）上分别是增函数，

当且仅当2a＜t?f（a）＜
方程f（x）=t?f（a）有三个不相等的实数解．

即1＜t＜
令g（a）=a+
=（a++4）．

，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，

故g（a）
max
=5．

第32页（共38页）

∴实数t的取值范围是（1，）．




27．（2016春?信阳期末）如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取
一点P， 作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩
形PNMQ的面积为y，∠PO B=θ．

（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；

（Ⅱ）求矩 形PNMQ的面积取得最大值时
（Ⅲ）求矩形PNMQ的面积y≥
?的值；

的概率．


【解答】解：（Ⅰ）在Rt△PON中，∠PNO=90°，∠POB=θ，
所以，，


，

在Rt△QMO中，∠QMO=90°，∠QON=60°，QM=P N=
所以OM=
所以：MN=ON﹣OM=
所以y=
即：y=3sinθco sθ﹣sin
2
θ，（



）

sin
2
θ=
）﹣=
﹣


（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=3sinθcosθ﹣
=
∵θ∈（0，）

第33页（共38页）

∴
∴sin（
∴
此时ON=
．

）∈
，即
cos=


时，y的最大值为
=，则?=|
．

|?||cos=×=
（Ⅲ）若矩形PNMQ的面积y≥
则
即sin（）≥
）≥
≥
，

，


，

，

则sin（
∵
∴
即
≤
≤θ≤
≤
，

，

则对应的概率P==



28．（2016 春?苏州期末）已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x
2
﹣1．

（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；

（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．
【解答】解：f（x）≥g（x），a=1时，即解不等式x|x﹣1|≥x
2
﹣1，…（ 1分）

当x≥1时，不等式为x
2
﹣x≥x
2
﹣1，解得 x≤1，所以x=1；…（3分）

当x＜1时，不等式为x﹣x
2
≥x2
﹣1，解得
所以
综上，x∈
；…（5分）

．…（6分）

，

（2）因为x∈[0，2]，当a≤0时，f（ x）=x
2
﹣ax，则f（x）在区间[0，2]上是
第34页（共38页）

增函数，

所以F（a）=f（2）=4﹣2a；…（7分）

当0＜a＜2时，
则f（x）在区间
2]上是增函数，

所以F（a）=max{f（），f（2）}，…（9分）

而
解得
所以当
令
所以当
即
时，
，f（2）=4﹣2a，令
，

时，F（a）=4﹣2a；…（11分）

，解得或，

即，

，

上是增函数，在区间上是减函数，在区间[a，
；…（12分）

当a≥2时，f（x）=﹣x
2
+ax，

当
函数，

则
当
；…（13分）

，即a ≥4时，f（x）在间[0，2]上是增函数，则F（a）=f（2）=2a﹣4；…
即2≤a＜4时， f（x）在间上是增函数，在上是减
（14分）

所以，，…（16分）



29．（2015秋?黄浦区校级期末）已知函数g（x）=
（a＞0， a≠1）奇函数而非偶函数．

（1）写出f（x）在（a，+∞）上的单调性（不必证明）；

第35页（共38页）

，且函数f（x）=log
a
g（x）

（2）当x∈（r，a﹣3）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值；
< br>（3）设h（x）=﹣m（x+2）﹣2是否得在实数m使得函数y=h（x）
有零点？若存在， 求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）函数g（x）=
函数而非偶函数，

可得f（﹣x）=﹣f（x），

即log
a
可得?
=﹣log
a
=1，

，

，且函数f（x）=log
a
g（x）（a＞0，a≠1）奇< br>即p
2
﹣x
2
=4﹣x
2
，

即p
2
=4，解得p=2（﹣2舍去），

即有f（x）=log
a
，

当a＞1时，f（x）在（2，+∞），（﹣∞，﹣2）递减；

当0＜a＜1时，f（x）在（2，+∞），（﹣∞，﹣2）递增．

（2）由（1）得f（x）=log
a
，

函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

又≠1，得f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），

=1，解得x=．

令f（x）=1，则log
a
所以：f（
当a＞1时，
）=1，
＞2，此时f（x）在（2，+∞）上的单调减函数．

）时，得f（x）∈1，+∞）；

，解得：a=3+2．

所以： 当x∈（2，
由题意：r=2，那么a﹣3=
所以：当x∈（r，a﹣3），f（x）的取值范 围恰为（1，+∞）时，a和r的值分别
为3+2和2；

﹣m（x+2）﹣2即

（3）假设h（x）=
h（x）=﹣m（x+2）﹣ 2，存在实数m使得函数y=h（x）有零点．

=m（x+2）+2在{x|x≥﹣2且x≠2}中有实数解，

第36页（共38页）
由题意可知，方程

令=t，则t≥0且t≠2，

问题转化为关于t的方程mt
2
﹣t+2=0①，

有非负且不等于2的实数根．

若t=0，则①为2=0，显然不成立，

故t≠0，方程①可变形为m=﹣2（）
2
+，

问题进一步转化为求关于t的函数（t≥0且t≠2）的值域，

因为t≥0且t≠2 ，所以
所以m=﹣2（）
2
+
＞0且≠，

∈（﹣∞，0）∪（0，]，

]．

所以实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，


30．（2015秋?无 锡校级期末）已知函数f（x）=1+log
2
x，g（x）=2
x
．

（1）若F（x）=f（g（x））?g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；

（2）令G（x）=f（8x
2
）f（
点，求实数k的取值范围；

（3）若H（x）=
的值．

【解答】解：（1）若F（x）=f（g（x） ）?g（f（x））=（1+log
2
2
x
）?
=（1+x）?2× =2x（1+x）=2x
2
+2x=2（x+）
2
﹣

< br>）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零
，求H（）+H（）+H（）+…+H （）
当x∈[1，4]上函数F（x）为增函数，

则函数的最大值为F（4）=40 ，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为[4，
40]．

（2）令G（x） =f（8x
2
）f（）﹣kf（x）=（1+log
2
8x
2
）（1+log
2
）﹣k（1+log
2
x）

=（1+ og
2
8+log
2
x
2
））（1+log
2x）﹣k（1+log
2
x）

=（4+2log
2
x ））（1+log
2
x）﹣k（1+log
2
x）

=（l og
2
x）
2
+4log
2
x+4﹣k﹣klog
2
x=（log
2
x）
2
+（4﹣k）log
2
x +4﹣k，

设t=log
2
x，当x∈[1，4]，则t∈[0，2]，

第37页（共38页）

则函数等价为y=h（t）=t
2
+（4﹣k）t+4﹣k

若函数G（x）在区间[1，4]有零点，

则等价为y=h（t）=t
2< br>+（4﹣k）t+4﹣k在t∈[0，2]上有零点，

即h（t）=t
2
+（4﹣k）t+4﹣k=0在t∈[0，2]上有解，

即t
2
+4t+4﹣k（1+t）=0在t∈[0，2]上有解，

即k===t+1++2，

设m=t+1，则m∈[1，3]，

则k=m+
则k=m+
+2，

+2在m∈[1，3]上递增，

，

则当m=1时，k=1+1+ 2=4，当m=3时，k=3++2=
∴4≤m+
即4≤k≤
+2≤
，

；

，

即实数k的取值范围是4≤k≤
（3）若H（ x）=
则H（x）==
，

，

则H（x）+H（1﹣x）=
=1，

设H（
H（
）+H（
）+H（
+=+=+
）+H（
）+…H（
）+H（
）+…+ H（
）+H（
）=S，

）=S，

两式相加得2015[H（
即2S=2015，

则S=



）]=2S，

．

第38页（共38页）