高中数学15分钟试讲能讲多少东西-苏教版高中数学必修一视频免费
第二讲 函数及其性质
知识要点一：
函数及其相关概念
⑴映射
：设
A,B
是两个非空集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中的任何一个元
素，在集合
B
中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫
做从集合
A
到集合
B
的映射。
记作：
f:A?B
。
⑵象与原象：给定一个集合
A
到集合
B
的映射，且
a?A,b?B
，如果
a,b
对应那么元素<
br>b
叫做元素
a
的象，元素
a
叫做元素
b
的原
象。
⑶一一映射：设
A,B
是两个非空集合，
f:A?B
是集合<
br>A
到集合
B
的映射，并且对于集
合
B
中的任意一个元
素，在集合
A
中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合
A
到集
合
B
的一一映射。
⑷函数：设集合
A
是一个非空数集，对
A
中的任意数
x
，按照确定的法则
f
，都有唯一确
定的数<
br>y
与它对应，则这种对应关系叫做集合
A
上的一个函数，记作：
y?f
?
x
?
,x?A
这
里
x
叫自变量，自变量
的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合，叫做这
个函数的值域。
这里可以
看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以
决定一个函数的两个条件是：
定义域和对应法则。
⑸函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。
⑹区间：
定
义 名 称 符 号
?
xa?x?b
?
?
xa?x?b
?
?
xa?x?b
?
?
xa?x?b
?
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
?
a,b
?
?
a,b
?
?
a,b
?
?
a,b
?
闭区间是包括端点，开区间不包括端点。实数集
R
可以表示为
?
??,??
?
，“
?
”读作“无
穷大”，例如：“
x?3
”可以表示为
?
3,??
?
，“
x??4
”可以表示为
?
??,?4
?
。
高考要求：
了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质
，能够熟练求解函
数的定义域、值域。
例题讲解：
夯实基础
一、判断下列关系哪些是映射。
1）
A?Z,B?Z,f:
平方；
2）
A?R,B?R,f:
平方；
3）
A?x?1?x?1,B?R,f:
求倒数；
4）
A?N,B
?
?
0,1
?
,f:
当
n
为奇数时，
n?
1
；当
n
为偶数时，
n?0
；
5）
A?C
Z
Z,B?正奇数，
f:n?m?2n?1,
其中
n?A,m?B
；
二、已知
f
?
x
?
?
?
?
?
?
??
2x?3
,
求
f
?
t
?
,
f
?
x?2
?
。
x?1
解：f(t)?
2t?3
t?1
2
?
x?2
?
?3
f
?<
br>x?2
?
?
?
x?2
?
?1
?
2x
?7
x?1
三、求下列函数的定义域。
1）
y?
1
x
2
?2x?3
3
2）
y?49?x
2
解：x
2
?2x?3?0
(x?3)(x?1)?0
?x??3且
x?1
?
x?1
?
0
3）
y?
1?x?1
?
x??1
?
解：
?
1?x?0?x?1
?
?
1?x?1?0 x?0
?
?
xx?1且
x??1且x?0
?
四、求函数解析式：
1）已知
1x
2
求。 2）已知
f(x)f()?,
f(3x?1)?9x?6x?5
，
2
x1?x
求<
br>f(x)
。
1x
解：
Q
f()?
x1?x
2
1
?f(x)?
1
x?
x
x
?f(x)?
2
x?1
t?1
解：3x?1?t x=
3
(t?1)
2
t?1
?f(x)?9??6??5
93
=t
2
?2t?1?2t?2?5
=t?4t?8
=x
2
?4x?8
3）已知
f(x)
是二次函数，且满足
2
f(0)?1,f(x?1)?f(x)?2x,
求
f(x)
。
解：设ax
2
?bx?c(a?0)
?f(0)?1?C
a(x?1)
2
?b(x?1)?c?ax
2
?bx?c?2x
2ax?bx?a?b?bx?2x
?a?1
b??1
f(x)?x
2
?x?1
4）
若函数
f(x)
满足方程
af(x)?
1
f()?ax,x?R,x
?0,a
为常数，且
a??1
，求
x
f(x)
。
11
?
af()?f(x)?a (1)
?
?
xx
解：
?
?
a
2
f(x)?af(
1
)?a
2
x (2)
?
x
?
（a
2
-1）f(x)?a
2
x?a
a
2
x
2
?a
f(x)?
（a
2
-1）x
注意：求函数的解析式大致有如下几种方法：
①拼凑法；②换元法；③待定系数法；④解析法。注意因题型而选择方法。
小结：
求函数的定义域，就是求使得该函数表达式有意义自变量的范围，大致有如下几种
方法：①一次函数、二
次函数的定义域是全体实数；
②函数表达式形式是分式的，分母不为0；
③函数表达式形式
是根式的，如果开偶次方根，被开方式要大于等于零；如果开奇
次方根，被开方式可以取全体实数；
④零指数幂与分数指数幂的底数不能为零；
⑤在有实际意义的解析式中，一定要由实际问题决定其定义域；
⑥多个限制条件取交集。
五、求下列函数的值域
1）
f(x)??4x?1
?
?1?x?3
?
解：f(?1)??4??1?1?5
f(3)??4?3?1??11<
br>f(x)?2x
2
?4x?1
?
2?x?3
?
4解：x??1
2?2
f(2)?2?2
2
?4?2?1?1
f(3)?2?3
?y?
?
1,7
?
2
2）
?4?3?1?7
3）
y??x
2
?2x?3
解：
y??（x
2
?2x?1）?4
2
??（x?1）?4
?0?yp2
4）
y?x?1?x
1
2
5
)?
24
15
)?
44
解：设1?x?t?0
?1?x?t
2
x=1-t
2
??(t?
y?1?t
2
?t??t
2
?t?1??(t
2
?t?
5
?{yy?}
4注意：函数的值域一定是在其定义域下控制的值域，随着所给函数定义域的不同，相同表
达式的函数
的值域也互不相同。在今后我们将会学习更多的新的函数和相关性质，也会对
其定义域和值域在进一步探
讨。
知识要点二：
函数性质
⑴函数的单调性：
①定义：一般地，设<
br>f
?
x
?
的定义域为
I
：
如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
，那么就说
函数
f
?
x
?
在区间
D
上是增函数；区间
D
称为单调递增区间。
如果对于定义域
I
内某个区间
D
上
的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
，那么就说函数
f
?
x
?在区间
D
上是减函数；区间
D
称为单调递减区间。
②复合函数的单调性：同增异减
⑵函数的奇偶性
①设函数
y?f
?
x
?
的定义域为
D
，如果对
D
内的任意一个x
，都有
?x?D
，
且
f
?
?x
?
??f
?
x
?
，则这个函数叫奇函数。
（如果已知函数是
奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出
f
?
0
?
?0）
设函数
y?g
?
x
?
的定义域为
D
，如果对
D
内的任意一个
x
，都有
?x?D
，
若
g
?
?x
?
?g
?
x
?
，则这个函数叫偶函数。
从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域
进行判断，看其定义
域是否关于原点对称。也就是说当
x
在其定义域内时，
?
x
也应在其定义域内有意义。
②图像特征
如果一个函数是奇函数
?
这个函数的图象关于坐标原点对称。
如果一个函数是偶函数
?
这个函数的图象关于
y
轴对称。
③复合函数的奇偶性：同偶异奇。
高考要求：
掌握函数的单调性、奇偶性的概念，掌
握判断一些简单函数的单调性、奇偶
性的方法。
命题趋向：
这一部分历来是考试重点
，在函数的对应法则、定义域、值域，判断函数的
单调性，奇、偶性考查较多，而且对这部分知识的考查
有深度有力度，在客观题中主要考查
一、两个性质，解答题中的综合运用往往是学生解题能力的体现，在
这里也容易拉开学生的
档次。
例题讲解：
夯实基础
一、判断下列函数的单调性。
1
1）
y?
x
当x?
?
0,??
?
证明：任取x
1
,x
2
?(0,??)
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
=
11
x
2
?x
1
???0
x
1
x
2
x
1
x
2
1
? f(x
1
)?f(x
2
) ?y?是?
x
2）
f
?
x
?
??x?1
当
x
?
?
?1,??
?
证明：任取x
1
,x
2
?
?
?1,??)
x
1
?x
2
??1
f
?
x
1
?
??x
1
?1
f
?
x
2
?
??x
2
?1
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
??x
1
?1?x
2
?1
=
x
2
?x
1
x
1
?1?x
2
?1
Q
x
2
?x
1
p
0
x
1
?1?x
2
?1
f
0
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?0 ?f(x)在
?
?1,??)是?
3）
f
?
x<
br>?
?
?3x
在（
?1?x?1
）
x
2
?1
3
二、判断下列函数的奇、偶性。
1）
y??3x?x
奇函数
2）
f
?
x
?
?
?
x?1
?
1?x<
br>
1?x
1?x
?0 1?x?0
1?x
??1?xp1 关于原点不对称. ?非奇非偶
3）
f
?
x
?
?0
既是奇函数，又是偶函数.
4）
?
?x
2
?x(x?0)
f
?
x?
?
?
2
?
x?x(x?0)
解：
x>0 -x<0
f(x)=-x
2
+x
f(-x)=x
2
-x
?f(x)=f(-x)
f(0)=0
x<0 -x>0
f(x)=x
2
+x
f(-x)=-x
2
-x
f(-x)=-f(x)
5）
1?x
2
f
?
x
?
?
x?2?2
解：
Q1-x
2
?
0
x?2?2?0
?-1?x?1
x?-4 x?0
1?x
2
?
f
?
x
?
? x?0
x
f
?
x
?
为奇函数
结论：函数就奇、偶性来划分可以分
成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是
偶函数。
三、已知
y?f
?
x
?
是奇函数，当
x?0
时，
f
?
x
?
?2x?x?1
，求当
x?0
时，
f
?
x
?
得
2
解析式。
解：设
x?0
，则
?x?0
Q
当
x?0
时，
f
?
x
?
?2x
2
?x?1
?f
?
?x
?
?2
?
?x
?
?<
br>?
?x
?
?1?2x
2
?x?1
2
Qy?f
?
x
?
是奇函数，
?
f
?
x
?
??f
?
?x
?
??
?
2x
2
?x?1
?
??2x
2
?x?1
为
所求
x?0
时
y?f
?
x
?
的解析
式。
能力提升
一、已知函数
f
?
x
?
?a?
1
，若
f
?
x
?
为奇函数，求实数
a
的取
值。
2
x
?1
解：首先考虑定义域，知
x?R
，由奇函数
的定义
f
?
?x
?
??f
?
x
?
建立等式求解计算起来
就比较麻烦，我们还知道已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以
得出
f
?
0
?
?0
，
?f
?
0<
br>?
?0
易得
a?
1
。
2
1
，试求
f
?
x
?
与g
?
x
?
的
x?1
二、、已知
f
?
x
?
是偶函数，
g
?
x
?
是奇函数，且
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
表达式。
解：令
f
?
x?
?g
?
x
?
?
11
的
x
取
?x
得
f
?
?x
?
?g
?
?x<
br>?
?
x?1?x?1
Qf
?
x?
是偶函数，
g
?
x
?
是奇函数，
<
br>?f
?
?x
?
?f
?
x
?
,g?
?x
?
??g
?
x
?
,
1
?
fx?gx?
????
?
?
?x?1
?
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
1
?
x?1
?
?111?x?x?121
???,?fx?
??
222
x?1x?1x?1x?1x?1
1?1x?1?x?12xx<
br> 两式相减得
2g
?
x
?
????,?gx?
??
2
22
x?1x?1x?1x?1x?1
两式相
加得
2f
?
x
?
?
三、设
y?f
?
x
?
的定义域是
R
，对于任意
x,y
都有
f?
x?y
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
,x?0
时
f
?
x
?
?0,f?
2
?
??1
，讨论①
y?f
?
x
?
的奇、偶性并加以证明；②
y?f
?
x
?
在
R上的单调
性并加以证明。③求在
?
?6,6
?
上的最值。
解： （1）令y=-x 则有f(0)=f（x）+f(-x)
Q
f(0)?f（x）?f（-x）
f(0)?0
??f（x）?f（-x）
? y=f（x）是奇函数。
解
：在定义域任取
x
1
,x
2
，且
x
1
?x
2
那么令
x?x
1
,y??x
2<
br>?f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(?x
2
)
又?x
1
?x
2
且x
1
?x
2
?0
?f(x
1
?x
2
)?0
又?
f(x)是奇函数
f(?x
2
)??f(x
2
)
f(x1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)?0<
br>?f(x
1
)?f(x
2
)
?x
1
?x2
?f(x)在R上是单调递减
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